福建省宁德市2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷含答案

福建省宁德市2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（

）A． B． C． D．4．对任意实数,“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知，则（

）A． B．C． D．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（

）

A． B．C． D．的解集为10．已知函数，则（

）A．与的图象有相同的对称中心B．与的图象关于轴对称C．与的图象关于轴对称D．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B．关于中心对称C． D．函数有最大值三、填空题12．已知复数满足，则．13．已知，则的最小值为．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为．四、解答题15．已知函数为上的奇函数．(1)求；(2)若函数，讨论的极值．16．在锐角中，内角的对边分别为，且.(1)求角A的大小；(2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．在三棱锥中，底面，，，，分别为的中点，为线段上一点．(1)求证：平面；(2)若平面底面且，求二面角的正弦值．18．已知函数，其中是实数．(1)若，求的单调区间；(2)若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；(3)若恒成立，求的最小值．19．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．(1)若函数是偶函数，求的最小值；(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；(3)设函数，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的“级周期函数”，周期为T．请探究是否存在非零实数，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，并证明你的结论．参考答案：题号12345678910答案ACDCCDBDACDABD题号11答案BD1．A【分析】通过解不等式求出的元素，进而利用集合的交集运算即可求解.【详解】不等式的解集等价于不等式组的解集，即，得，又，解得，于是，，则.故选：A2．C【分析】由题意得到，进而求解即可.【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得：，即，即.故选：C.3．D【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，根据诱导公式得出，即可求得C角的值.【详解】由题意，，所以，由，故，又，所以.故选：D4．C【分析】我们需要先求出在上的取值范围，再根据充分必要条件的定义来判断.【详解】对于函数，根据均值不等式（当且仅当时取等号），则.当即时取等号，但是，所以判断充分性:若，因为时，那么，所以充分性成立.判断必要性:若，当时，显然，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C.5．C【分析】利用函数的奇偶性和特殊函数值验证求解.【详解】函数的定义域为，，则函数为奇函数，排除选项和；当时，函数值为，取，排除选项,故选：.6．D【分析】由导数确定函数的单调性，然后确定，利用此性质化简不等式为形式，再由单调性求解．【详解】由已知，当且仅当时等号成立，所以是上的增函数，又，所以不等式化为，所以，解得或．故选：D．7．B【分析】利用计算即可.【详解】令，则，显然时，时，所以在0,+∞上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以（时取得等号），（时取得等号），故，即.故选：B8．D【分析】利用同构分离参数，构造函数证明得出即可计算参数范围.【详解】，即，令，显然时，时，即在0,+∞上单调递增，在上单调递减，所以，则，又，当且仅当时，等号成立．．故选：D．【点睛】思路点睛：对于指对结合的复杂函数，有时利用同构思想处理比较方便，通过常用的函数放缩计算参数范围即可.9．ACD【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项.【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、，设，则，可得，由奇函数的定义可得f−x=−fx所以，可得，则，由题意可得，可得，则，由图可知，函数的单调递增区间为−1,1，故不等式的解集为−1,1，所以，对于A选项，由题意可知，，由导数的定义可得，故A正确；对于B选项，，，由，，所以，故B错误；对于C选项，，所以，故C正确；对于D选项，由，可得，解得或，因此，不等式的解集为，故D正确.故选：ACD10．ABD【分析】根据诱导公式先得出，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】，即与的图象关于轴对称，令，且有相同的对称中心，故A、B正确，C错误；由不等式，令，故D正确.故选：ABD11．BD【分析】利用赋值法及抽象函数的性质一一判定即可.【详解】令，则，又，故A错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B正确；由B得，当时，，故C错误；由B得，在时取到最大值，故D正确．【点睛】方法点睛：对于抽象问题利用赋值法是常用方法，结合B的结论确定函数解析式即可判定C、D.12．1【分析】利用复数的除法运算，共轭复数的定义及模长公式计算即可.【详解】由，则.故答案为：113．；【分析】凑配出积的定值，再由基本不等式得最小值．【详解】因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：．14．【分析】先通过导数研究的单调性与最值，结合换元法将问题化为的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可.【详解】设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.15．(1)(2)极大值为；无极小值.【分析】（1）由，解得，再代入检验即可；（2）利用导数求解即可.【详解】（1）因为函数为R上的奇函数，由，此时，则，所以为奇函数．所以；（2）由（1）得：定义域为R，，由，得；由，得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，极大值；无极小值.16．(1)；(2).【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解.（2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解.【详解】（1）因为，所以由正余弦定理得，又，所以，又是锐角三角形，所以，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理可得，即，又，所以，又由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，所以，所以线段长的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角.【详解】（1）解法一：连接交与点，则，，，故，从而，从而，底面，底面，∴，又，平面，故平面解法二：连接，由分别为，的中点，所以，，又因为，，，所以，故，从而，∵底面，底面，∴，又，平面，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,,，则，，,因为平面底面，且，则平面，则,易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，可得，令可得，设二面角为，则，故二面角的正弦值为．18．(1)在单调递增，单调递减；(2)(3)．【分析】（1）利用导数研究函数的单调性计算即可；（2）根据函数单调分类讨论确定导函数的符号，利用二次求导确定导函数的单调性及最值即可；（3）取特殊值先得到，再构造函数，利用导数研究其单调性与最值证明成立即可.【详解】（1）当时，，则，易知单调递减，且时，，所以令f′x>0，解得，令f′所以在单调递增，0,+∞单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．令，显然在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，①若在定义域内恒成立，只需，即，②若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：；（3）若恒成立，则，当时，，即，下证成立，由得，恒成立，即，易知在上分别单调递增、单调递减，又记，要满足题意需零点相同，即，解得，即只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．【点睛】思路点睛：第三问根据不等式恒成立选择特殊值得出，之后验证满足题意，利用消元思想将双变量问题转化为单变量问题，借助因式分解及函数单调性确定a的值，最后利用导数研究函数单调性与最值计算即可.19．(1)．(2)(3)存在，证明见解析【分析】（1）利用三角函数的周期性及过点坐标先确定，再根据奇偶性计算参数即可；（2）结合（1）的结论转化零点个数为函数交点问题，根据三角函数的图象与对称性计算即可；（3）根据定义得出恒成立，利用三角函数的有界性得出，分类讨论时构造函数，根据零点存在性定理判定其零点唯一，得出，再讨论时，通过指数函数与一次函数的性质与图象排除即可.【详解】（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，，又的图象过点．，因为函数是偶函数，．的最小值．（2）由可得，，设，由与图象可知在共有8个交点．，，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数