25.4 相似三角形的判定 同步练习

第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定基础过关全练知识点1两角对应相等的两个三角形相似1.(2023河北张家口桥西期中)在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙两位同学的观点如下，甲：相似；乙：不相似.对于两人的观点，下列说法正确的是()A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对2.如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，∠BEF=90°，则图中①②③④四个三角形中，一定相似的是()A.①和② B.③和④ C.①和③ D.②和③3.如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是()A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE4.(2022山东菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.知识点2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似5.(2023河北邯郸永年期中)如图，已知∠DAB=∠CAE，添加下列条件后，仍不能判定△DAE∽△BAC的是()A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.ADAB=6.在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，在下列各项中沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是() A B C D7.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF=2，求FC的长度.知识点3三条边对应成比例的两个三角形相似及直角三角形相似的判定8.(2023河北乐亭期中)如图所示，网格中相似的两个三角形是()A.①与② B.①与③ C.③与④ D.②与③9.在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列条件不能判定它们相似的是()A.∠A=∠B'B.AC=BC，A'C'=B'C'C.AB=3A'B'，BC=3B'C'D.△ABC中有两边长为3，4，△A'B'C'中有两边长为6，810.如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取点A'，B'，C'，使得OA'OA=OB'OB=OC'OC=3，连接A'B'，B'C'，A'C'，所得能力提升全练11.(2022江苏扬州中考)如图，在△ABC中，AB<AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正确结论的序号是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 第11题图 第12题图12.(2022河北中考)如图所示的是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E.(1)AB与CD是否垂直?(填“是”或“否”)

(2)AE=.

13.(2022江苏盐城中考)如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'D'，若，则△ABD∽△A'B'D'.请从①BDCD=B'D'C'D'；②ABCD=A'B'C'D'；③∠BAD14.(2022江西中考)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB=6，AC=4时，求AE的长.素养探究全练15.探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在边BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO∶CO=1∶3，求AB的长. 图1 图2 图3经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，如图2所示，通过构造△ABD就可以解决问题.请你写出求AB长的过程.应用：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=75°，BO∶OD=1∶3.若AO=33，请你求出AB的长.

第二十五章图形的相似25.4相似三角形的判定基础过关全练答案全解全析基础过关全练1.C根据两角对应相等的两个三角形相似可知，有一个锐角相等的两个直角三角形相似，∴甲的观点对，乙的观点不对.2.B∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF，∴△ABE∽△DEF，即③和④一定相似.3.C∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°.∵∠FBE=∠ABD，∴△FBE∽△ABD.∵∠BFE=∠CFD，∴△BFE∽△CFD，∴∠FCD=∠EBF，∴∠EBF=∠ACE，∴△BFE∽△CAE.综上所述，题图中与△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE.故选C.4.证明∵BE=BC，∴∠C=∠CEB，∵∠CEB=∠AED，∴∠C=∠AED，∵AD⊥BD，∴∠D=90°=∠ABC，∴△ADE∽△ABC.5.C∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，故添加A，B选项后可根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定△DAE∽△BAC.添加D选项后可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△DAE∽△BAC.只有添加C选项后无法证出△DAE∽△BAC.6.D∵三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，∴D项中，2BC=24=1又∠B=∠B，∴由相似三角形的判定定理可知，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似，故D选项符合题意.故选D.7.解析(1)证明：∵BD=2AD，CE=2AE，∴ADAB又∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF8.B设网格中的小正方形的边长均为1，题图中图形①的三边长分别为2，10，2；图形②的三边长分别为3，5，2；图形③的三边长分别为2，22，25；图形④的三边长分别为3，2，17.∵222=22，1025=9.DA.利用“两角对应相等”，可判定相似；B.利用“两边成比例且夹角相等”，可判定相似；C.利用“两个直角三角形直角边和斜边对应成比例”，可判定相似；D.当长为3，4的边是Rt△ABC的两直角边，而长为6，8的边是Rt△A'B'C'的一直角边和斜边时，两个三角形不相似.故选D.10.解析△A'B'C'∽△ABC.证明：∵OA'OA=OC'OC=3，∠AOC∴△AOC∽△A'OC'，∴A'C'AC=同理B'C'BC=3，A'B'AB∴A'C'AC=B'C'BC=A'B'能力提升全练11.D∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，∠E=∠C，∴∠B=∠ADB，∴∠ADE=∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合题意；∵∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合题意；∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE=∠CDF，∴∠CDF=∠BAD，∴③符合题意.故选D.12.答案(1)是(2)4解析(1)如图，在△ACM和△CFD中，AC∴△ACM≌△CFD(SAS)，∴∠CAM=∠FCD，∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠FCD+∠CMA=90°，∴∠CEM=90°，∴AB⊥CD.(2)在Rt△ABH中，AB=AH∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴AEBE∴AE2∴AE=455.经检验，AE=45513.解析选③(也可选①，选择的条件不同，下面的证法也不同).证明：∵△ACD∽△A'C'D'，∴∠ADC=∠A'D'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'，又∵∠BAD=∠B'A'D'，∴△ABD∽△A'B'D'.14.解析(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠BCA，∵∠ACD=∠ABE，∴∠BCA=∠ABE，∵∠BAC=∠EAB，∴△ABC∽△AEB.(2)∵△ABC∽△AEB，∴ABAE∵AB=6，AC=4，∴6AE∴AE=364=9素养探究全练15.解析探究：∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，∴ODOA又∵AO=33，∴OD=13∴AD=AO+OD=43.∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=43.应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示.∵AC⊥AD