2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：空间向量与立体几何（原卷版）

第11讲第一章空间向量与立体几何章末题型大总结

一、思维导图

共线向量定理

空

间

向共面向量定理

空

量

间

及

向

其

量

运空间向量分解定理

两个向量的数量积

与

算

立

体平行与垂直的条件

几

空间向量的直角坐标运算

何

空

间

向

量

在

立

体

几

何

中

的

应

用

二、题型精讲

题型01空间向量的概念及运算

【典例1】（2023春•江苏连云港•高二统考期中）平行六面体ABC。-A耳GA中，已知底面四边形ABCD

为矩形，Z^AB=ZAAr>=120°,M=2,AB=AD=1,贝！JAG=（）

A.JlB.2C.5/10D.10

【典例2】（2023春•江苏盐城•高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量向量"与之万

的夹角都是60。，且同=1,向=2,忖=3,试求

（1）（a+2&-c）2；（2）

【典例3】（2023春•山东淄博•高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量

二,距卜纲=1,（词=60°,则使向量a+Ab^Aa-2b的夹角为钝角的实数2的取值范围是.

【变式1］（2023秋•山东滨州•高二统考期末）如图，二面角A-跖-C的大小为45。，四边形ABPE、

CDE尸都是边长为1的正方形，则8、。两点间的距离是（）

【变式2】（2023春•高二课时练习）如图，在长方体ABCD—4与。12中，设AD=A4=1,AB=2,

P是GA的中点.试确定向量凝在平面BCC；上的投影向量，并求配•凝.

【变式3】（2023•全国•高三专题练习）已知空间向量满足Z+B+2=0，同=1，向=2,忖=夕，贝上

与石的夹角为

题型02四点共面问题

【典例1】（多选）（2023春•高二课时练习）下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

——►1—►1—►1—►

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

UUIUUUULUUL11

c.MA+MB+MC=O

D.OM+OA+OB+OC^O

【典例2】（2023•江苏•高二专题练习）设P-ABC是正三棱锥，G是VRC的重心，。是PG上的一

点，S.PD=DG＞若而=》而+＞方+z定，则（x,y,z）为（）

AIM：B.呆：C,[I，14]D-

【典例3】（2023春•高二课时练习）在正方体ABC。-A4GA中，P为CG的中点，£为G2的中点,

尸为4G的中点，0为跖的中点，直线PE交直线于点Q,直线PF交直线B耳于点R,贝K）

—•5—­1—■1―-

A.AO=-AP+-AQ+-ARB.AO=-AP+-AQ+-AR

244

__.2___.i_,i___,c_______________________,?__►9__.

C.AO=-AP+-AQ+-ARD.AO=-AP+-AQ+-AR

366999

【变式1］（多选）（2023秋•江西吉安•高二统考期末）如图，空间四边形Q4BC中，M,N分别是

边。4,CB上的点，且AM=2MO,CN=2NB,点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是

（）

A.AG=-OA+-OB+-OCB.BG=-OA--OB+-OC

636636

—1-.1—.5—■

C.CG=-OA——OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

636636

【变式2］（2023春•高二课时练习）如图，已知空间四边形Q4BC,其对角线为08、AC,M、N分

别是对边Q4、BC的中点，点G在线段上，且砺=2的，现用基向量函，OB,云表示向量，设

OG=xOA+yOB+zOC,贝!|x、y、z的值分别是（）

111

B.x=—yz=—

336

111111

C.x=—J=z=—D.x=—y=一z=—

363633

题型03平面法向量的求解

【典例1】（2023春•高二课时练习）已知人（2,0,0）,3（0,2,0）,。（0,0,2）,则平面ABC的一个单位法向量

是()

A.(1,1,1)

B•昏亍司

1333)Y,dT

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）已知空间四点4（2,C（-1,O,-1）,0（0,0,0）.求

平面ABC的一个法向量为；

【变式1]（2023秋•云南昆明•高二昆明一中校考期末）空间直角坐标系。-孙z中，已知点

A（2,0,2）,B（2,l,0）,C（0,2,0）,则平面ABC的一个法向量可以是（）

A.（1,2,1）B.（-1,2,1）C.（2,1,2）D.（2,f2）

【变式2]（2023•全国•高二专题练习）平面a经过4（-3,5,1）,3（2,1,4）且垂直于法向量为万=（1,-2,3）的

一个平面，则平面。的一个法向量是（）

A.（2,1,2）B.（1,2,1）C.（4,1,4）D.（0,1,0）

题型04利用空间向量证明平行、垂直关系

【典例1】（2023秋•北京大兴•高二统考期末）如图，在三棱柱ABC-A与G中，CG，平面

ABC,AB=BC=y/5,AC=AAi=2.D,E,P分别为朋,4G,8月的中点，则直线班'与平面3CD的位置

关系是（）

A.平行B.垂直C.直线在平面内D.相交且不垂直

【典例2】（多选）（2023•全国•高三校联考阶段练习）如图，在正方体ABCD-A4GA中，尸是线段⑪

上的动点，则下列结论错误的是（）

A.AP_L平面典°B.AP_L平面ABD

C.AP〃平面ABC1D.AP〃平面BCQ

【典例3](2023春育二课时练习)如图，在直四棱柱ABCO-AAGA中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,

AB=4,BC=CD=2,AAl=2,尸是棱A2的中点.求证：平面4412A〃平面/CC1.

【典例4](2023•江苏•高二专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，尸3,平面ABC,ABLBC,AB=PB=2,

BC=243,E、G分别为PC、Bl的中点.

(1)求证：平面3CG_L平面PAC；

(2)在线段AC上是否存在一点N,使PN,BE?证明你的结论.

【变式1］（2023春•高二课时练习）在正方体A8CD-AAGA中，尸，Q分别为AB,CD的中点，则

（）

A.A4,平面ABGB.异面直线A片与AG所成的角为30°

C.平面A耳2〃平面8G。D.平面平面

【变式2］（多选）（2023春•高二课时练习）如图，平行六面体ABCD-A£CQ的体积为48立，

ZAAB=ZAAD,M=6,底面边长均为4,且/DW=WTT，M,N,P分别为A2,CG，CQ的中点，则下列选

项中不正确的有（）

D.P

AMB

A.MN//APB.AC_L平面3OV

C.APl^CD.AP〃平面肱VC

【变式3］（2023•江苏•高二专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中,底面A3CD为矩形，侧棱24,底

面A3CD,AB<,BC=1,PA=2,E为尸£）的中点.

;

（1）求直线AC与尸8所成角的余弦值；

（2）在侧面E4B内找一点N,使NEL平面PAC.

【变式4］（2023•江苏•高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC-A由0中，A与=AG，尸为4G的中

点，D,E分别是棱BC,C£上的点，且A。，3c.

B

⑴求证：直线A尸〃平面ADE;

（2）若AABC是正三角形，E为GC中点，能否在线段用2上找一点N,使得4N〃平面ADE?若存在，确

定该点位置；若不存在，说明理由.

题型05异面直线所成角

【典例11（2023春•贵州•高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面A3C为等边三角形,

。为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线A3和。E所成角的余弦值为（）

【典例2】（2023•全国•模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面ABC。是边长为2的正方形，E为下

底面圆周上一点，满足BE=2AE，则异面直线AE与8。所成角的余弦值为（）

BE

【典例3】（2023•江苏•高三专题练习）如图，已知正三棱柱ABC-A4G的各条棱长都相等，P为A、B

上一点，=（0<A<l）,RPC1AB.

（2）求异面直线PC与AC,所成角的余弦值.

【变式1］（2023春•山东济南•高一山东省实验中学校考阶段练习）已知四面体ABCD满足

BCLCD,AB=2C=a）=2A，且该四面体的体积为6,则异面直线AD与BC所成角的大小为（）

A.45°B.60°C.45°或60°D.60°或30°

【变式2］（2023•江苏•高三专题练习）如图所示，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABC。的高分别

为1和2,AB=4,则异面直线AQ与尸8所成角的正弦值为.

Q

【变式3］（2023春•江苏宿迁•高二校考阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线

的长都等于。，点/,N分别是AB,8的中点.

（1）求证：MN±AB,MNLCD；

（2）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.

题型06利用向量法求直线与平面所成角(定值)

【典例1】(2023春•浙江舟山•高一舟山中学校考阶段练习)在四棱锥尸-A3CD中，已知侧面PC。为

正三角形，底面ABC。为直角梯形，AB\\CD,ZA£)c=90°,AB=AD=3,CD=4,点M,N分

别在线段AB.PD上，且怒=需=2.

⑴求证：。河||平面4^；

(2)若点P到平面ABCD的距离为2a,求直线AC和平面Q钻所成角交的正弦值.

【典例2](2023春•江苏淮安•高二金湖中学校联考阶段练习)如图所示，在直四棱柱A8CD-44GR

中，AD//BC,ZBAD=90°,AB=^3,BC=1,AD=AAi=3.

(1)证明：ACYB.D.

(2)求直线B©与平面ACD,所成角的正弦值.

【典例3](2023•安徽•合肥一中校联考模拟预测)截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适

当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.现将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点

分别作平行于各底面的截面，截去四个顶点处的小棱锥，得到所有棱长均为1的截角四面体，如图所示.

(1)求证：BDLEF;

(2)求直线9与平面ACK所成角的正弦值.

【变式1](2023•广东梅州•大埔县虎山中学校考模拟预测)如图①，在RtaABC中，B为直角,

一TT

AB=BC=6,AE=2,沿EF将△眄折起，使44班=§,得到如图②的几何体，点。在

线段AC上.

图①图②

(1)求证：平面AEFL平面ABC；

(2)若AE//平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.

【变式2]（2023春•重庆南岸•高二重庆市第十一中学校校考期中）吴老师发现《九章算术》有“刍藁”

这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个学探究题，如图：E,F,G分别是正方形的三边AB、CD、

AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形EDG裁掉，再将剩下的五边形ABC产G着线段。折

起，连接AB、CG就得到一个“刍薨”.

图1图2

（1）若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO\\^GCF；

⑵若二面角A-EF-B的大小为7京，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.

题型07利用向量法求直线与平面所成角（最值或范围）

【典例1】（2023春•重庆•高一重庆一中校考期中）如图，在三棱台ABC-A再G中侧面BCC由为等腰

梯形，2。=8,耳弓=口^=4,/为86中点.底面金。为等腰三角形，AB=AC=5,O为8C的中点.

（1）证明：平面ASC1平面AOM；

⑵记二面角A-BC-4的大小为氏

①当。=三时，求直线Bq与平面A41GC所成角的正弦值.

6

冗7T

②当时，求直线8月与平面AAGC所成角的正弦的最大值.

【典例2】（2023•广东茂名•茂名市第一中学校考三模）如图1,在边长为4的等边AABC中，D,E分

别是AC,A8的中点.将VADE沿折至△尸QE（如图2）,使得=

（2）若点加在棱PD上，当MB与平面PDE所成角最大时，求MB的长.

【典例3】（2023春•福建龙岩•高二校联考期中）如图，在三棱柱ABC-A用G中，侧面2片GC为菱形,

（2）若AC1A/NCBBT=（,AB=BC,点M在直线声上，求直线A3与平面M4G所成角的正弦值

的最大值.

【变式11(2023春•湖北•高三统考阶段练习)如图所示，六面体ABC。-ABIGA的底面A3CD是菱形,

冗

/BAD=§,A4,〃3耳〃CC,//DDX,且BB}1平面

ABCD,AAi=CCl,AE^X随,CF=ACQ(O<2<1),西=2瓯，平面BEF与平面ABCD的交线为I.

(1)证明：直线U平面用BAR；

(2)已知族=2,三棱锥片-8。/的体积%，若2/与平面所成角为。，求sin，的取值范

围.

【变式2](2023春•江苏连云港•高二校考阶段练习)如图，圆台。。2的轴截面为等腰梯形AACQ,

AC=2A41=2AC1=4,3为底面圆周上异于A,C的点.

B

(1)在平面BCG内，过G作一条直线与平面4人8平行，并说明理由；

(2)设平面AABn平面GCB=/，Qel,BG与平面QIC所成角为当四棱锥B-AACG的体积最大时,

求sina的取值范围.

题型08利用向量法解决直线与平面所成角的探索性问题

【典例1】(2023春•江苏南京•高二南京市雨花台中学校联考期中)如图，四面体A3CD中，ADYCD,

AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

(1)证明：AC_L平面8DE；

(2)设DE=1,ZACB=60°,点尸在8。上，若CF与平面ABD所成的角的正弦值为速，求此

7

时/点的位置.

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)如图(1),在正三角形ABC中，分别为AB,4c中点，将VADE

沿DE折起，使二面角A-DE-B为直二面角，如图(2),连接AB,AC,过点£作平面EFG与平面曲平

行，分别交8cAe于£G.

(1)证明：EGABC；

(2)点H在线段加上运动’当班与平面屏G所成角的正弦值为平时'求警的值.

【变式1X2023•广东•高三专题练习)如图，在四棱台ABC。-4月G0中，底面A3CD是菱形，ZBAD=|TT,

梯形G2〃C-L底面ABC。，CD=CCj=DDX=3,CQ=L设。为。C的中点.

⑴求证：A瓦，平面。即；

(2)OR上是否存在一点M,使得AM与平面瓦汨内所成角余弦为:，请说明理由.

【变式2](2023•湖北荆州•沙市中学校考模拟预测)如图，正三棱柱ABC-A再C的所有棱长均为6,。

为A4的中点，E为BC上一点,

B

⑴若CE=2,证明：DC〃平面AB|E；

(2)当直线8。与平面BXED所成角的正弦值为二，求CE的长度.

题型09利用向量法求二面角（定值）

【典例11（2023•内蒙古赤峰•赤峰二中校联考模拟预测）如图1,在五边形ABCDE中，四边形ABCE为

正方形，CDLDE,CD=DE,如图2,将AABE沿BE折起，使得A至4处，.

（2）求二面角的余弦值.

【典例2】（2023秋•云南大理•高二统考期末）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，平面A3CD,

PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB，相＞,BC//AD,BC=4,点M为PC的中点.

⑵点E为BC边上的点,若BE=1,求二面角P-DE-M的余弦值.

【变式1](2023•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测)如图，多面体A耳2-42皿中，四边形ABCD

c1AB

是菱形，ZABC=60°,AB//A耳，AB=2AlB]=4,AD/ZA^,AD=2A]D1,例_L平面A3CZ),A\­

⑴求知

(2)求二面角C4,-。的正弦值.

【变式2】(2023春•江苏徐州•高二统考期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,正四棱锥P-ABCD

O

的体积为§，点M为尸c的中点，点N为的中点.

(1)求证：1W〃平面PAD；

⑵求二面角P--N的余弦值.

题型10利用向量法求二面角（最值或范围）

【典例11（2023春•安徽•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，所

有棱长都相等，ABLAD,E,歹分别是棱PC,尸8的中点，G是棱A8上的动点，且而=4题.

⑴若彳=（，证明：GF〃平面BDE.

（2）求平面瓦应与平面POG夹角余弦值的最大值.

【典例2]（2023秋•重庆万州•高二重庆市万州第二高级中学校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中,

AB//CD,AP1PD,AB1BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2,£是依的中点.

（1）求CE的长;

（2）设二面角尸-45-8平面角的补角大小为0,若，求平面B4D和平面形。夹角余弦值的最小

值.

【变式1](2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考阶段练习)如图，在三棱柱ABC-中，底面

是边长为2的等边三角形，CQ=2,2ACq=60。.。,E分别是线段AC,CG的中点，二面角Q-AC-B为直

二面角.

(1)求证：4C，平面比)E；

(2)若点P为线段BC上的动点(不包括端点)，求锐二面角尸的余弦值的取值范围.

【变式2](2023•全国•高三专题练习)如图①所示，长方形ABCD中，AD=2,AB=3,点加是边CO

靠近点C的三等分点，将△ADM沿AM翻折到△B4M,连接尸8,PC,得到图②的四棱锥尸-ABQW.

P

(1)求四棱锥尸-ABCM的体积的最大值；

(2)设P-AM-。的大小为0,若，求平面24〃和平面PBC夹角余弦值的最小值.

题型11利用向量法解决二面角中的探索性问题

【典例1】(2023•全国•高三对口高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,

AB±AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱依上一点.

(1)若因W=2MP,求证：〃平面MAC；

(2)若平面上钻_1_平面至。。，平面上M>_L平面ABCD,求证：PA_L平面A3CD；

(3)在(2)的条件下，若二面角3-AC-M的余弦值为三7，求P笠M的值.

3PB

【典例2】(2023春•安徽•高二马鞍山二中校联考阶段练习)如图所示，在四棱锥S-4JCD中，侧面SAB

为边长为2的等边三角形，底面ABC。为等腰梯形，AB//CD,CD=1,底面梯形的两条对角线AC和30

互相垂直，垂足为。，SO=&,点/为棱S3上的任意一点.

(1)求证：ACLDM；

⑵是否存在点M使得二面角3C的余弦值为*若存在求出点M的位量若不存在请说明理由.

【变式11（2023•山东荷泽•山东省邺城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱ABC-4用G中，其中

44,=2/^=4,48=8仁/为8耳的中点，点£是CQ上靠近G的四等分点，A/与底面A3c所成角的余弦

值为立.

（1）求证：平面AFC_L平面AEF；

⑵在线段旷上是否存在一点N,使得平面A“与平面惭所成的锐二面角的余弦值为手，若存在,

确定点N的位置，若不存在，请说明理由.

【变式2］（2023春•湖北武汉•高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知如图1直角梯形ABC。，

AB\\CD,ZDAB=90°，AB=4,AD=CD=2,E为A3的中点，沿EC将梯形ABC。折起（如图

2）,使平面班Z）J_平面AECO.

（2）在线段CD上是否存在点尸，使得平面E钻与平面防C所成的锐二面角的余弦值为g,若存在，求出

点厂的位置：若不存在，请说明理由.

题型12利用向量法求点到直线的距离

【典例11（2023春•福建泉州•高二校联考期中）如图，ABCD—EFGH是棱长为1的正方体，若Pe平

面BDE,且满足》=:方+22而-丸）/，则尸到的距离为（）

A.B.当C.手D..

【典例2】（2023•江苏南京•统考二模）在梯形ABCD中，AB//CD,ZD=90°,AB=2五,ADDC=y/2,

如图1.现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-3,如图2,点加在线段3尸上.

（1）求证：AP1CM；

⑵若点“到直线AC的距离为半，求篝的值.

【变式1](2023春•山东荷泽・高二统考期末)已知空间直角坐标系中的三点42,0,2),8(0,0,1),C(2,2,2),

则点A到直线BC的距离为()

A."B.-C.拽D.75

333

【变式2](2023春江苏连云港•高二连云港高中校考阶段练习)如图，在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD

是直角梯形，AD\\BC,ZABC=900.&4,底面ABC。，SA=ABBC=2AD=2.建立适当的空

间直角坐标系.

S

(1)求平面SAB与平面SCD夹角的正弦值;

⑵求S到直线的距离.

题型13利用向量法求点到平面的距离

【典例1】(2023春•福建宁德•高二校联考期中)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，尸£＞，底

面45a),£为PC的中点，PD=DC=2.

(1)证明：PA//平面BDE;

(2)求点E到平面PAB的距离.

【典例2】(2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测)如图，棱长为2的正方体ABC。-44GR中,

P为线段8Q上动点.

(1)证明：CP〃平面ABD；

(2)当直线5P与平面\BCD,所成的角正弦值为立时，求点D到平面\BP的距离.

【变式1](2023•重庆•统考模拟预测)在多面体42CCM4中，四边形2BCC是边长为4的正方形,

AB1B.B,AA6C是正三角形.

(1)若4为A3的中点，求证：直线AC〃平面ABG；

(2)若点4在棱A可上且例=24耳，求点C到平面的距离.

【变式2](2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知多面体PQA88,四边形ABC。是

qr

等腰梯形，AD〃BC,BC=2AD=2AB=4,四边形PQ4。是菱形，ZQAD=^,E,尸分别为QA,BC

的中点，QF=e

(1)求证：平面。尸平面A3CD；

(2)求点E到平面。阳的距离.

题型14利用向量法解决点到平面的距离的探索性问题

【典例1X2022秋•重庆沙坪坝福二重庆八中校考阶段练习)图1是直角梯形ABCD,AB//CD,ZD=90°,

四边形A3CE是边长为4的菱形，并且N3CE=6O。，以班为折痕将△以⑦折起，使点C到达4的位置，

且AG=2灰，如图2.

(1)求证：平面8GE,平面ABE。；

(2)在棱DG上是否存在点P,使得p到平面ABG的距离为手？若存在，求出直线E尸与平面ABC1所

成角的正弦值.

【典例2】(2022秋•湖北孝感•高二大悟县第一中学校联考期中)如图在四棱锥P-ABCD中，侧面a

底面ABC。，侧棱PA=PD=2&,底面ABCD为直角梯形，其中3C〃AD,A5，AD,AD=2A5=23C=4,

。为AD的中点.

BC

(1)求证：PO1平面ABCD；

(2)求平面PCD与平面PA。夹角的正弦值；

(3)线段AZ)上是否存在Q,使得它到平面PC。的距离为6?若存在，求出器的值；若不存在，说明理

由.

【变式1](2022春•江苏常州•高二常州高级中学校考期中)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形