江苏省宿迁市宿城区多校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案)

2024—2025学年度第一学期期中调研测试九年级数学答题注意事项1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.2.答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案.注意不要答错位置，也不要超界.4.作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚.一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.把方程化为一元二次方程的一般形式后为（）A. B. C. D.3.关于的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B，有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根4.已知的半径是6.5cm，点是直线上一点，且.那么直线与的公共点的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.无法确定5.如图在5×5正方形网格中，一条圆弧过点，，，则这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点 B.点 C.点 D.点6.如图，在中，弦的长为10，圆周角，则这个圆的直径为（）A. B. C. D.7.如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为60°的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.无法确定8.已知一元二次方程中，下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根.其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9.一元二次方程的根是__________.10.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________.11.一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为___________.12.圆内接四边形中，，则___________°.13.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”其意思是：如图，为的直径，弦于点，寸，尺，那么直径的长为多少寸?（注：1尺=10寸）根据题意，该圆的直径为_________寸.14.如图，在中，，是的内切圆，切点分别为、、，若，，则的半径为__________.15.将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点.则_________°.16.已知，，是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）.17.对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则__________.18.如图，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，则的面积的最大值为__________.三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题8分）解方程：（1）； （2）.20.（本题8分）如图，内接于，是的直径，若，求的度数.21.（本题8分）如图，的弦、相交于点，且，求证：.22.（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值.23.（本题10分）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的古典风情.如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图.已知拱门圆的半径为1.5m，拱门下端为1.8m.（1）在图2中画出拱门圆的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若拱门最高点为点，求点到地面（）的距离.24.（本题10分）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件.（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.（2）从7月份起，商场决定釆用降价促销的方式回馈顾客，经调査，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元?25.（本题10分）如图，为的直径，点，都在上，，交于点，点在的延长线上，且.（1）求证：为的切线；（2）若且，求的半径.26.（本题10分）用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边的长为m.（1）如图1，若矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当花园面积为时，求的值；（2）如图2，若矩形花园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，花园面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由.27.（本题12分）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题：（1）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根；（2）如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”；①求的度数；②直接写出的长（用含、的式子表示）.28.（本题12分）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1，线段、组成折线段.若点在折线段上，，则称点是折线段的中点.【理解应用】（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点.若，则____________；（2）如图3，中，，是上一点，，垂足为.求证：点是折线段的中点；【拓展提升】（3）如图4，，，，是上的四个点，，，则的值为____________.

2024—2025学年度第一学期期中调研测试九年级数学参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，合计24分）题号12345678答案BDACBBAC二、填空题（每题3分，合计30分）9.， 10. 11. 12.9013.26 14.1 15.30 16.钝角17. 18.三、解答题（共10小题，合计96分）19.（本题8分）【解答】解：（1）∵，∴，∴或，∴，；（2）∵，∴，∴，∴，.20.（本题8分）【解答】解：连接，如图所示：∵是的直径，∴，∵内接于，∴，∴.21.（本题8分）【解答】证明：如图，连接.∵，∴.∴.∴.∴.∴.22.（本题8分）【解答】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴，整理得：，解得：；（2）∵一元二次方程为，∴，，∵，∴，∴，整理得：，解得：，，∵，∴.23.（本题10分）【解答】解：（1）如图2，点即为所求，（2）连接，如图3，设点为的中点，∵点为圆心，连接并延长交圆于点，∴点即为拱门为最高点，∴，∵，，，，在中，，∴，∴点到地面（）的距离为2.7m.24.（本题10分）【解答】解：（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；（2）设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元.25.（本题10分）【解答】（1）证明：如图，连接.∵，∴，∴，∵，∴.又∵，∴.∵，∴.∴，即，∴是的切线；（2）解：设的半径为，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴.在中，，∴，解得或（不符合题意，舍去）.即的半径为6.26.（本题10分）【解答】解：（1）由题意得：；解得：，∵，∴舍去，∴；答：的值为6m；（2）设；则；整理得，，∵，∴原方程无实数根，即花园面积不能为.27.（本题12分）【解答】（1）证明：∵关于的一元二次方程是“勾系方程”，∴且，，∴，∵，∴∴方程必有实数根；（2）解：①作于，延长交于，连接，，如图，∵，∴，∴，，∵，∴，∵关于的方程是“2倍—勾系方程”，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②过点作的垂线，垂足为，则