数学课后训练导数的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后训练1．把长为80cm的铁丝分为两段，分别围成正方形,要使两个正方形面积之和最小，则两段铁丝的长分别为（)A．20cm和60cmB．30cm和50cmC．35cm和45cmD．40cm和40cm2．用边长为36cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大,在四角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm3．容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱,要使用料最省，它的高为（)A．2分米B．3分米C．4分米D．6分米4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(）A．B．C．D．5．已知圆柱的表面积为定值S，则当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h的值为()A．B．C．D．6．已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B,C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最大时的边长分别为__________．7．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位:元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？8．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系：（0≤x≤10)，若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式;(2）求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．

参考答案1.答案：D2.答案：A3。答案：B设水箱的底面边长为a分米，高为h分米,则V＝a2h＝108，即。用料最省，即表面积最小．S表＝S底＋S侧＝a2＋4ah＝a2＋4a×＝a2＋。S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(分米）．4。答案：C设底面边长为x,则表面积(x＞0)，S′（x)＝（x3－4V），令S′（x）＝0，得唯一极值点.5。答案：B设圆柱的底面半径为r，高为h，则S＝2πr2＋2πrh。∴。又圆柱的体积V(r）＝πr2h＝(S－2πr2）＝。而,令V′（r）＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，又,∴.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.6。答案：，设矩形的边长AD＝2x，则AB＝4－x2，∴矩形面积为S＝2x（4－x2）＝8x－2x3（0＜x＜2)．∴S′＝8－6x2.令S′＝0，解之，得,(舍去)．当0＜x＜时，S′＞0;当＜x＜2时，S′＜0。∴当时，S取最大值为.∴矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．7。答案：分析：由每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30)的平方成正比,可得多卖出商品件数为kx2。又由商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．可得k＝6。从而得到商品利润与x之间的函数关系，进而用导数求利润的最大值．解：（1）设商品降价x元，则多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意，有f(x）＝（30－x－9)(432＋kx2)＝（21－x)（432＋kx2）．又由已知条件，24＝k·22,于是有k＝6，所以f（x）＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈［0，30]．(2）根据(1），有f′(x）＝－18x2＋252x－432＝－18（x－2）（x－12）。x［0，2)2(2，12）12(12，30］f′(x)－0＋0－f(x)866411664故x＝12时，f（x）达到极大值,因为f(0）＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大．8。答案:分析：由于不建隔热层时，每年能源消耗费用为8万元，可得C(0)＝＝8，即k＝40.再由题意得到f（x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10），进而利用导数求其最小值．解：（1)由题意知，C(0)＝＝8，解得k＝40.故.所以f（x）＝6x＋20×＝6x＋（0≤x≤10）．(2）.令f′（x)＝0，即，