《数学实验 第4版》课件 9.1 数学建模简介

1第九章综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型2实验9.1数学建模简介一、数学建模的基本思想二、数学建模的要求和步骤实验9.1数学建模简介三、应用举例3一、数学建模的基本思想数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，并运用适当的数学工具得到的一个数学结构.它可以是等式、不等式，也可以是图表、图像，框图、命题或逻辑运算、有效算法等.简言之，数学模型是用数学术语对部分现实世界的表述.实验9.1数学建模简介它主要有解释、判断、预测和控制四大功能.1.数学模型和数学建模的概念4实验9.1数学建模简介数学建模就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程.首先利用数学知识和实际问题的背景知识建立数学模型，然后通过数学方法和计算机工具对模型分析求解，进而再解释和验证所得的解，最终为解决现实问题提供数据支持和理论指导.数学建模用于解决实际问题往往是多次循环、不断深化的过程，5实验9.1数学建模简介是综合运用数学知识和计算机工具解决实际问题的过程，是各种应用问题严密化、精确化、科学化的途径，是发现问题、解决问题和探索真理的有力工具，是培养高素质创新人才的一个重要渠道.数学建模的学习和实践过程可以培养和增强我们的自学能力、创新素质以及坚忍不拔的探索、求实精神,践行理论与实践相结合，学以致用，知行合一.6实验9.1数学建模简介2.数学建模的意义数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，因此，数学建模和数学一样有古老历史.欧几里德几何、牛顿万有引力定律都是数学建模的光辉典范.新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，使得数学建模被时代赋予更为重要的意义.数学模型在分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理等各个方面都发挥着不可替代的作用.7实验9.1数学建模简介二、数学建模的要求和步骤1.数学模型的一般要求对一个数学模型的基本要求，简言之即为：简练、精确、正确.(1)数学模型要尽可能的简单，便于处理.模型必须作简化，即非实际问题本质的关系要省略.(2)数学模型要有足够的精确度，能较准确地反映实际问题本质的性质和关系.8实验9.1数学建模简介保留实际问题的本质的东西和关系，去掉非本质的，并且要不影响反映现实的真实程度.(3)构造数学模型的理论要正确，依据要充分，推理要严密，要充分利用科学规律来建立模型.9实验9.1数学建模简介2.数学建模的一般步骤（1）模型准备（2）模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，用精确的语言做出假设，是建模至关重要的一步.了解问题的背景，明确建模目的，弄清对象特征，做好建模的准备.10（3）模型构成用数学的语言、符号描述研究对象的内在规律，构造各个量间的等式关系或其它数学结构，即构成所研究问题的数学模型.会用到广泛的数学知识，包括高等数学、概率论与数理统计、图论、排队论、线性规划、对策论等等.实验9.1数学建模简介工具愈简单愈有价值.11多数情况下，很难获得数学模型的解析解，而只能得到它的数值解，这就需要应用各种数值方法、软件和计算机.因此数学实验在这一步的作用便举足轻重.（5）模型分析（4）模型求解实验9.1数学建模简介有时候需要对模型的求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等.12（6）模型检验并非所有模型都要检验.把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性.（7）模型推广及应用将数学模型及其解应用于实际问题，可推广到解决更多的类似问题，也可对模型进行进一步深化研究.实验9.1数学建模简介13数学建模过程和步骤,可画成下述框图：实验9.1数学建模简介上述步骤只是数学建模过程的一个大致的描述，实际建模时可以灵活应用.14实验9.1数学建模简介三、应用举例1.航行问题例1甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?解:

step1模型假设（作出简化假设，并用符号表示有关量：假设船速、水速为匀速）：设x

表示船速，y

表示水速.15实验9.1数学建模简介step2模型构成（用物理定律列出数学式子.定律：匀速运动的距离＝速度×时间）：则有step3模型求解（求解得到数学解答）：解得step4模型应用（回答原问题）：所以船速是每小时20千米.16实验9.1数学建模简介2.椅子问题例2四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？分析：step1模型假设（将文字转化为数学语言，并做出合理假设，同时用符号表示有关量）.（1）椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；

17实验9.1数学建模简介（3）地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.如图所示，设椅脚的连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，坐标原点O在椅子中心，当椅子绕O点旋转后，对角线AC

变为A'C'，A'C'与x轴的夹角为θ.18step2模型构成（运用数学语言把条件和结论表现出来）：由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行,记A、C

两脚与地面距离之和为f(θ),

B、D

两脚与地面距离之和为g(θ).

实验9.1数学建模简介显然因此椅子和地面的距离之和可令由假设（2）知f(θ)、g(θ)为连续函数，因此h(θ)也为连续函数.19由假设（3）得：实验9.1数学建模简介对任意θ，都有则该问题归结为：已知连续函数且求证至少存在一个使得：step3模型求解（即要找出）：20证：不妨设则有令即旋转90o，对角线