山西省晋中市榆次区2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

山西省晋中市榆次区2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．若向量，则（

）A． B．3 C． D．3．向量，若，则（

）A． B．C． D．4．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（

）A． B． C．2 D．5．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（

）A．2或 B． C．3 D．或36．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（

）A． B．C． D．7．已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为（

）A．1 B． C．2 D．38．在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（

）A．l的倾斜角等于 B．l在x轴上的截距等于C．l与直线垂直 D．l与直线平行10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，按如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．B．向量与所成角的余弦值为C．平面AEF的一个法向量是D．点D到平面AEF的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数．13．已知，，则在上的投影向量的坐标为.14．动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．在平行六面体中，设，，，分别是的中点.(1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值.16．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.18．设直线l的方程为.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.19．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，侧面侧面，在线段上移动（不含端点），为棱的中点.(1)若为线段的中点，为的中点，连接并延长交于点，求证：∥平面；(2)若二面角的平面角的余弦值为，且，求的值.

参考答案1．【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.【详解】设斜率为，倾斜角为，∵，，，∴.故选D.2．【答案】D【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得.【详解】由于向量，，所以，故故选D.【思路导引】根据空间向量的坐标计算求得，再根据空间向量模的坐标运算即可得解.3．【答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.【详解】因为，所以，由题意可得，所以则.故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.4．【答案】A【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点关于z轴的对称点为B，所以.故选A.5．【答案】A【分析】由直线平面，所以求解.【详解】因为直线平面，所以或.故选A.【思路导引】由线面平行可得直线的方向向量与平面的法向量垂直，即，利用空间向量垂直的坐标公式即可得到答案.6．【答案】C【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可.【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且，所以．故选C．7．【答案】C【分析】运用空间点到线的距离公式计算即可.【详解】由题知，，，则到直线的距离为.故选C.8．【答案】C【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；设，，，，，，，即，关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，，解得：，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则令，解得：，，，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.故选C.9．【答案】CD【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为()，则，所以，所以A错误；因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误；因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以与直线垂直，所以C正确；因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确.故选CD.10．【答案】ABD【分析】由空间向量的基本定理和空间基底逐一判断即可.【详解】对于A，设，则此方程无解，所以，，不共面，故A正确；对于B，设，则此方程无解，所以，，不共面，故B正确；对于C，，所以，，共面，故C错误；对于D，设，则此方程无解，所以，，不共面，故D正确.故选ABD.11．【答案】BCD【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.【详解】对于A，在正方体中，，，，所以，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，设，则，，又，所以平面的一个法向量是，故C正确；对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确.故选BCD.12．【答案】【详解】因为，而且斜率存在，所以，又，是关于的方程的两根，所以，解得．故答案为：13．【答案】【分析】由投影向量的计算求解即可.【详解】，，所以在上的投影向量的坐标为.故答案为：.14．【答案】【分析】因为平面平面，所以可知的移动轨迹，进而可以通过建立空间直角坐标系，求解直线与平面所成角正弦值的取值范围.【详解】如图，连接，易知，所以平面平面.因为点与平面的距离保持不变，所以点的移动轨迹为的三条边，建立如图所示的空间直角坐标系，假设正方体的边长为2，则，所以，设平面的一个法向量为，则令则，所以，当点在线段时，设，所以，设直线与平面所成角为，则，令，则，所以，所以当，即时，，此时点为线段的中点.当在线段时，同理可求得，此时点与点重合.综上所述，直线与平面所成角正弦值的取值范围为.故答案为：.15．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得；（2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得.【详解】（1）在平行六面体中，，由分别是的中点，得.（2），而，且不共面，所以.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系，则，A1,0,0，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，所以，即，又平面，所以平面.（2）因为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案；（2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值.【详解】（1）由题意得，所以；（2），所以，，，，故，由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，所以直线与AC所成角的余弦值为.18．【答案】(1)或；(2)6，.【分析】（1）分截距是否为0两种情况，求得参数a，即可得答案；（2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为.当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，故，解得，可得直线l的方程为:.综上所述，直线l的方程为或.（2）由题意知，令，解得，解得；令，解得，解得或，综上有.∴，当且仅当，即时取等号.∴（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程，即.19．【答案】(1)见解析；(2)的值为.【分析】（1）构造平面∥平面，再利用面面平行的性质得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的方法求出二面角的余弦值，列方程求即可.【详解】（1）如图，取中点，连接，在中，为中点，∴∥，∵为三棱柱，∴四边形为平行四边形，又分别为的中点，∴∥，又且，且，∴平面∥