陕西省咸阳市乾县2024−2025学年高二上学期第一次阶段性检测数学试题含答案

陕西省咸阳市乾县2024−2025学年高二上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．2．在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．3．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（

）A． B． C． D．4．已如向量，，且与互相垂直，则（

）．A． B． C． D．5．若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（

）A．3 B． C． D．6．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C．3 D．7．在中，，则的长为（

）A． B．4 C． D．58．已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设，为随机事件，且，是，发生的概率.，，则下列说法正确的是（

）A．若，互斥，则 B．若，则，相互独立C．若，互斥，则，相互独立 D．若，独立，则10．已知空间三点，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是.13．方程的两根为，且，则.14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为.

四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角所对的边分别为．(1)若，求的值；(2)求面积的最大值．16．已知空间三点.(1)求(2)求的面积；17．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．(1)证明“三元不等式”：．(2)已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．18．如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.19．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.(1)写出最小的“漂亮数”；(2)当时，求出所有的“漂亮数”.

参考答案1．【答案】D【分析】根据指数幂运算求解.【详解】对A：原式，所以A选项错误；对B：原式，所以B选项错误；对C：原式，所以C选项错误；对D：显然，所以原式，所以D选项正确.故选D.2．【答案】C【详解】如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，所以，所以.故选：C3．【答案】B【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.4．【答案】B【解析】计算，根据向量垂直得到答案.【详解】，，则，与互相垂直，则，.故选：B.5．【答案】C【详解】如图，正三棱锥，，取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，∴平面即三棱锥的高为，∵，∴，∴，∴，∴.故选：C6．【答案】D【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得.【详解】因为，，，所以，，则，，，所以，又因为，所以，则以，为邻边的平行四边形的面积.故选D.7．【答案】C【详解】根据三角形内角和为，所以可知，则，根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C8．【答案】A【详解】设球的半径为，记正方形中心为，因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面．所以过点且的中点为球心，设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，当且仅当时等号成立，设直线所成的角为，则，又，所以．故选：A．9．【答案】ABD【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，故选：ABD.10．【答案】AC【详解】因为，，，所以所以，，所以不共线.故选：AC11．【答案】AD【详解】对A：，，，由在0,+∞上单调递增，故其等价于，化简可得，故满足题意，故A正确；对B：，，，取，，可得，，又，故此时不满足题意，故B错误；对C：，，，化简得恒成立，不满足题意，故C错误；对D：，，，左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.故选：AD.12．【答案】或【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或，故答案为：y=2x或．13．【答案】-3【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.【详解】∵方程的两根为，∴，，由题意得：；，∵，∴，，故，故答案为：-3.14．【答案】/【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第一空：因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，即四点共面，所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形，因为正方体棱长为4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为，所以梯形的高为，故所求截面面积为；第二空：由题意，且，所以，在中，当时，，所以表示经过点且法向量为的平面，即点在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有，由题意设，而，设平面的法向量为n1=所以，令，解得，所以可取，显然平面的一个法向量可以是，二面角的余弦值为.故答案为：18，.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，可得，（2），，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值16．【答案】(1)(2)【详解】（1），（2）设向量，的夹角为，由，，，，又三角形中，.17．【答案】(1)见解析(2)①；②.【详解】（1）因为，则（当且仅当时取等），所以（当且仅当时取等），同理（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），三式相加可得：，又因为，所以，所以（当且仅当时取等）.（2）①由可得：，所以，即，即，则，所以，解得：.②因为当x∈0,+∞时，，当且仅当，即时取等，所以当x∈0,+∞时，，对任意x∈0,+∞，恒成立，则，所以，解得：.所以实数的取值范围为：.18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接交于点，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，又因为平面，所以平面，又平面，所以．又因为，所以，又平面，所以平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，即点，则三棱锥的体积，解得，所以，则，设平面的法向量，由，令，则，即可得平面的一个法向量，由轴平面，故为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是．

【点睛】19．【答案】(1)6(2)【详解】（1）若是“漂亮数”，设，满足，则，所以，即，故，得，则，所以，此时，假设，则，又，所以的全部可能取值为，经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.所以，又，故6为“漂亮数”，所以最小的