金融数学课件ch4 随机积分概论

金融数学第四章随机积分概论中国人民大学出版社PAGE金融数学第四章随机积分概论中国人民大学出版社PAGE50/53第四章随机积分概论第四章随机积分概论金融数学中国人民大学出版社本章内容本章内容1普通积分回顾12随机积分的构造23伊藤积分的性质34伊藤引理伊藤过程伊藤引理4普通积分普通积分普通积分回顾对于一个普通确定性积分(deterministicintegral)普通积分回顾R(T)R(T)=g(t)dt000R(T0R(T)=g(t)dt[0T的方式，通过对求[0T进行划分，可以得到(partition)，即：0=t0<t1<···<tn=T普通积分的黎曼和普通积分的黎曼和普通积分回顾普通积分回顾(Riemannsum)，具体形式如下：、 −n−、 −R1= g(ti)(ti+1 ti)i=0我们也可以通过选取[ti,ti+1]时间段中的任何一点的g(ξi)取值作为矩形的高度，即：、 − ∈n、 − ∈R2= g(ξi)(ti+1 ti), ξi [ti,ti+1]i=0黎曼和的图形展示黎曼和的图形展示普通积分回顾g普通积分回顾R(T)=

Tr0r、 −n−、 −

g(t)dtg(ξi)t0

ti−1tiξiti+1

R1= g(ti)(ti+1 ti)、 −i=0n−、 −R2= g(ξi)(ti+1 ti)i=0tntnξi∈[ti,ti+1]黎曼积分黎曼积分普通积分回顾这种基于对定义域切割所进行的积分求解方法，称为黎曼积分(Riemannintegral)普通积分回顾记对时间段[0,T]的划分当中，最长的时间段为∥Π∥，即：∥Π∥=max(ti+1ti), i012n1，于是有：R(T)=

Trg(t)dt= limr∥

n−1

g(ξi)(ti+1−ti)n→∞0 Π∥→0in→∞对于光滑函数g(t)而言，其二次变差为零，相应的每个小区间中g(ξi)取值对最终的积分结果没有影响。黎曼黎曼-斯蒂尔切斯积分普通积分回顾对于光滑函数f(t)和g(t)，以下积分称为黎曼-普通积分回顾(Riemann-Stieltjesintegral)，简称RS积分：RS(T)RS(T)=g(t)df(t)000RS(T0RS(T)=g(t)df(t)与黎曼积分类似，RS积分也有类似的黎曼和形式的表达方式，也就是黎曼-斯蒂尔切斯和(Riemann-Stieltjessum)。、 − l、 − lRS1= g(ti)f(ti+1) f(ti)、 − l ∈i、 − l ∈RS2= g(ξi)f(ti+1) f(ti), ξi [ti,ti+1]i=0黎曼黎曼-斯蒂尔切斯积分(cont.)普通积分回顾r同样，当划分的区间数n→∞普通积分回顾rRS(T)=

Tg(t)df(t)= lim∥

n−1

g(ξi)

f(ti+1)−f(ti)ln→∞0 Π∥→0in→∞由于光滑函数f(t)和g(t)的二次变差均为零，对应的每个小区间中g(ξi)取值对最终的积分结果没有影响。随机积分的形式随机积分的形式随机积分的构造随机积分的构造I(T)=

Trg(t)dW(t)r0其中：W(t)是F(t)可测的布朗运动，并且W(t)∼N(0,t)；g(t)是一个布朗运动处处连续且处处不可微，我们无法像普通积分那样，将dW(t)写成W′(t)dt布朗运动处处连续且处处不可微，我们无法像普通积分那样，将dW(t)写成W′(t)dt。所以普通的积分方法对这里的随机积分是无效的。注意：I(T)= grT0(t)dW(t)随机积分的构造[0T{t0t1tI(T)= grT0(t)dW(t)随机积分的构造g(t[titi+1),i12n1内均是常数，分g(ti){g(ti)(simpleprocess)。I(T)= grTI(T)= grT0(t)dW(t)(cont.)W(tt每股股票的价格；g(ti[titi+1)随机积分的构造g(t0)[W(t)−W(t0)]=g(0)W(t) t∈[t0,t1]I(t)= g(0)W(t1)+g(t1)[W(t)−W(t1)] t∈[t1,t2]··············· ···g(0)W(t1)+g(t1)[W(t2)−W(··············· ···因此：若t∈[tk,tk+1]，则有：、 − −k、 − −I(t)= g(ti)[W(ti+1) W(ti)]+g(tk)[W(t) W(tk)]i=0II(t)= g(t)[W(t、k−1i i+1)−W(t)]+g(t)[W(t)−W(t)]ikki=0g(titi+1的左侧端点而确定的。注意：I(T)= grT0(t)dW(t注意：I(T)= grT0(t)dW(t)(cont.)随机积分的构造随机积分的取值，受到函数g(t)在[ti,ti+1)上取点的影响。I(t)=寸k−1i=0g(t)[I(t)=寸k−1i=0g(t)[W(tii+1)−W(t)]+gi(t)[Wk(t)−W(t)]k随机积分的构造根据各区间的左侧端点进行的随机积分，在金融中具有重要的意义，意味着我们只能根据当前时刻的信息决定持有金融资产的数量。这种形式的随机积分称作伊藤

积分(Itôintegral)。KiyosiItô1915–2008伊藤积分的伊藤积分的RS和表达式随机积分的构造[0T∥Π∥max|ti+1ti|长度趋于零时，伊藤积分可以写成如下的黎曼-随机积分的构造I(T)=

Trg(u)dW(u)= limr∥

n−1

g(ti)

W(ti+1)−W(ti)l注意：n→∞0 Π∥→0i注意：n→∞不同于确定性积分，以伊藤积分为代表的随机积分，由于是针对布朗运动进行积分求解，因而求算的结果仍然是随机变量。因此，对随机积分不同于确定性积分，以伊藤积分为代表的随机积分，由于是针对布朗运动进行积分求解，因而求算的结果仍然是随机变量。因此，对随机积分的研究不可避免地要涉及对积分的期望、方差等数字特征的求解和计算。伊藤积分的微分形式伊藤积分的微分形式I(T)=

随机积分的构造随机积分的构造rg(t)dW(t)r0上式的伊藤积分还可以写成如下的微分形式(differentialform)：dI(t)=g(t)dW(t)斯特拉托诺维奇积分斯特拉托诺维奇积分随机积分的构造如果选取时间段的中点，则由此构成的随机积分称作斯特拉托诺维奇积分(Stratonovichintegral)，为了与伊藤积分加以区分，记作：随机积分的构造SI(T)=

Tr◦g(u) dW(u)r◦0

RuslanL.Stratonovich1930–1997伊藤积分的性质伊藤积分的性质伊藤积分的性质0假设g(t),t∈[0,T]是满足平方可积条件1，并且F(t)可测的随机过程。对于形如I(t)=rtg(u)dW(u)伊藤积分的性质0鞅性：I(t)是鞅期望：E[I(t)]=0, 0≤t≤TI(tI(t)= grt0(udW(u(cont.)伊藤积分的性质E[I2(t)]=E相应地：

trg2(u)dur0rtVar[I(t)]=E[I2(t)]−[EI(t)]2=E[I2(t)]=E伊藤积分的二次变差

g2(u)du0⟨I,I⟩(t)=

trg2(u)dur0伊藤积分的性质伊藤积分的性质(cont.)伊藤积分的性质伊藤积分的性质可加性(additive)：对于两个过程X1(t)和X2(t)，下面的等式成立rbrX1(t)dW(t)+a

brX2(t)dW(t)=ra

rbaa

1(t)+2(t)l

dW(t)积分区间可加性：对于a<b<c，下面的等式成立rcrX(t)dW(t)=a

brX(t)dW(t)+ra

crX(t)dW(t)rbrr标量乘法(scalarmultiplication)成立：对于任意常数k，下面的等式成立rrbkX(t)dW(t)=ka

bX(t)dW(t)a确定性函数伊藤积分之伊藤等距确定性函数伊藤积分之伊藤等距0假设W(s)是一个布朗运动；f(s)是关于时间s的确定性函数。则确定性函数(deterministicfunction)伊藤积分I(t)=rtf(s)dW(s)具有以下0伊藤积分的性质r伊藤积分的性质r

E[I2(t)]=

tf2(s)ds0确定性函数伊藤积分的性质确定性函数伊藤积分的性质伊藤积分的性质r假设W(s)是一个布朗运动；f(s)是关于时间s的确定性函数伊藤积分的性质rI(t)=

tf(s)dW(s)00对任意t≥0，随机变量I(t)服从均值为零，方差为rtf2(s)ds的正态分0r＼布，即：r＼

I(t)∼N

tf2(s)ds0只有在被积函数只有在被积函数f(s)是确定性的情况下，该结论才成立。如果f(s)包含随机项，该结论是不成立的。伊藤过程的概念伊藤过程的概念伊藤过程伊藤引理对于随机过程{X(t)伊藤过程伊藤引理dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)随机过程{X(t)}的瞬时增量受到两方面因素的影响：一个是确定性因素的影响，以随机过程{F(t)}随时间的变化来刻画；另一个是随机性因素的影响，以随机过程{G(随机过程{X(t)}的瞬时增量受到两方面因素的影响：一个是确定性因素的影响，以随机过程{F(t)}随时间的变化来刻画；另一个是随机性因素的影响，以随机过程{G(t)}随布朗运动的变化来刻画。伊藤过程伊藤过程dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)伊藤过程伊藤引理假设F(t)=µ，G(t)=σ，其中µ和σ均是常数，则由此得到的随机微分方程dX(t)=µdt+σdW(t)就是带有漂移的布朗运动伊藤过程伊藤引理如果µ=0,σ=1，则dX(t)=dW(t)，此时X(t)就是标准布朗运动(standardBrownianmotion)。[0T上的伊藤过程，其积分形式如下：rTrdX(t)=0

TrF(t)dt+r0

TrG(t)dW(t)r0积分形式更正式且严谨，而微分形式则相对容易理解。伊藤引理的重要意义伊藤引理的重要意义伊藤引理伊藤引理伊藤引理伊藤引理仍需强调的是，由于布朗运动的二次变差不为零，因此随机微分理论具有全新的特征。Doeblin KiyoshiItô1915–1940 1915–2008回顾：普通微积分的链式法则回顾：普通微积分的链式法则伊藤引理伊藤引理对于一个光滑的函数G(t)而言，若有一个可微的函数f(x)，根据普通微积分的链式法则伊藤引理伊藤引理dtdfG(t)l=f′G(t)lG′(t)dt上式也可以写成对应的微分形式：dfG(t)l=f′G(t)lG′(t)dt=f′G(t)ldG(t)回顾：泰勒展开式回顾：泰勒展开式伊藤引理伊藤引理伊藤引理2!fG(t)l=f′(t)l(t)+1f′′G(t)l[d()]22!3!+1f(3)()l[d(t)]3+···3!由于G(t)是光滑函数，因此其高阶变差均等于零，即：[dG(t)]2=[dG(t)]3=···=0 l l l因此，对于光滑函数G(t)，dfG(t)=f′G(t)G′(t)dt=f′G(t)dG l l l已经足以用来刻画fG(t)l的微分。dfdfW(t)l的求解W(t的二次变差不为零。考虑到这一因素，我们就伊藤引理伊藤引理2fW()l=f′W()lW()+f′′W(t)l[W(t)]222=f′W(t)ldW(t)+f′′W(t)ldt2更高阶的变差均为零，因此泰勒展开式后面的各项均不再体现。伊藤引理伊藤引理(一维)伊藤引理伊藤引理定义过程Z(t)=f(t,X(t))，并且X(t伊藤引理伊藤引理dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t){ }则随机过程Z(t)满足如下形式的随机微分方程(stochasticdifferentialequation,SDE){ }(,)(,)=

＿f(t,

Ft∂f(t,X)

1G2t

∂2f(t,X)ldt()+G(()

∂f(t,X)∂X

+∂t+∂X 2()∂X2+∂t+∂X 2()∂X2(Itô’slemma)(Itô’sformula)或伊藤-(Itô-Doeblinformula)。伊藤引理伊藤引理(cont.)伊藤引理伊藤引理伊藤引理2f(,)=＿t+(t)fX+2(t)fXXlt+(t)XW()2通过伊藤引理，我们可以将随机过程X(t)的随机微分方程，通过变量替换的方式转变为随机过程Z(t)=f[t,X(t)]的随机微分方程。伊藤引理伊藤引理伊藤引理布朗运动变化量的乘法法则布朗运动变化量的乘法法则(productrule)表dtdW1(t)dW2(t)dt000dW1(t)0dtρdtdW2(t)0ρdtdt其中：W1(t)和W2(t)均是标准布朗运动，并且两者的相关系数为ρ。例1伊藤引理伊藤引理已知F(t)可测的随机过程例1伊藤引理伊藤引理2(t)=exp＿θW(t)−1θ2tl2其中：W(t)是标准布朗运动，θ是常数。求X(t)的随机微分方程。例例1：解法一伊藤引理伊藤引理伊藤引理−Y(t)=θW(t) 1θ2t, X[Y(t)]=exp[Y(t)]−2根据伊藤引理，可得：dX[Y(t)]=Xtdt+XYdY(t)+1XYY[dY(t)]2lll=X(t)

＿θdW(t)−

θ2dt+2

X(t)2

＿θdW(t)−

2θ2dt2=X(t)θdW(t)−1X(t)θ2dt+1X(t)θ2dt2 2=θX(t)dW(t)因此：dX(t)=θX(t)dW(t)例例1：解法二伊藤引理伊藤引理伊藤引理dX(t)=Xtdt+XWdW(t)+1XWW[dW(t)]22=−X(t)θ2dt+θX(t)dW(t)+1X(t)θ2dt2 2说明：=θX(t)dW(t)说明：X[Y(t进行求偏导的计算，相应地，Xt[Y(t0；而第二种方法则是针对X[t,W(t)]进行求偏导的计算，相应地，1Xt[t,W(t)]=−θ2X(t)。2例2伊藤引理伊藤引理已知F(t)可测的随机过程例2伊藤引理伊藤引理X(t)=W2(t)使用泰勒展开式，可得：dX=Xtdt+使用泰勒展开式，可得：dX=Xtdt+XWdW(t)+1XWW[dW(t)]2=0+2W(t)dW(t)+ ×2dt212=2W(t)dW(t)+dt例3伊藤引理伊藤引理已知F(t)可测的随机过程f(S(t))=lnS(t)，其中例3伊藤引理伊藤引理dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：W(t)是标准布朗运动，µ和σ均是常数。求f[S(t)]的随机微分方程。例例3解答伊藤引理伊藤引理l令µ(t)=µS(t)，σ(t)=σS(t伊藤引理伊藤引理l＿df=＿ft+µ(t)fS+＿

σ2(t)fSS dt+σ(t)fSdW(t)2=0+µS1+S

1σ2S2（−1＼ldt+σS

dW(t)S222S=（µ−σ2＼dt+σdW(tS222S这里也可以使用泰勒展开式进行求解，具体如下：df=ftdt+fSdS+1fSS(dS)221 （1＼ 22=0+SµSdt+σSdW(t)+22=（µ−σ2＼dt+σdW(t)2

−S2

(σS

dt)例4伊藤引理伊藤引理f(StSKe−r(T−t)例4伊藤引理伊藤引理dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：W(t)是标准布朗运动，µ和σ均是常数。求f(S,t)的随机微分方程。例例4解答伊藤引理伊藤引理伊藤引理df=ftdt+fSdS+1fSS(dS)22=−Ke−r(T−t)·rdt+dS+0=−rKe−r(T−t)dt+µSdt+σSdW(t)=−rKe−r(T−t)+µSldt+σSdW(t)说明：此处的随机微分方程常常用于金融远期合约的建模。因此：说明：此处的随机微分方程常常用于金融远期合约的建模。

df(S,t)=−rKe−r(T−t)+µS(t)ldt+σS(t)dW(t)例5伊藤引理伊藤引理假设f(S,t)=Ser(T−t)，并且其中的随机过程例5伊藤引理伊藤引理下：dS(t)=µS(t)dt+σS(t)dW(t)其中：W(t)是标准布朗运动，µ和σ均是常数。求f(S,t)的随机微分方程。例例5解答伊藤引理伊藤引理伊藤引理df=ftdt+fSdS+1fSS(dS)22=−Ser(T−t)·rdt+er(T−t)dS+0=−rSer(T−t)dt+er(T−t)[µSdt+σSdW(t)]（ )=er(T−t)−rS+µSdt+σSdW(t)（ )=Ser(T−t)[(µ−r)dt+σdW(t)]说明：此处的随机微分方程常常用于金融期货合约的建模。=f(S,t)[(µ−r)dt+σdW(t)]说明：此处的随机微分方程常常用于金融期货合约的建模。二维伊藤引理二维伊藤引理伊藤引理伊藤引理令函数f(t,x,y)的各一阶和二阶偏导数均存在且连续。假设X(t伊藤引理伊藤引理Y(t)均是伊藤过程，则相应的二维伊藤公式如下：df=ftdt+fxdX(t)+fydY(t)+fxy[dX(t)dY(t)]+1fxx[dX(t)]2+1fyy[dY(t)]22 2伊藤乘法法则伊藤乘法法则伊藤引理伊藤引理假设X(t)和Y(t伊藤引理伊藤引理dX(t)Y(t)l=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY(t)注意：对于普通的函数F(t)和G(t)，其微分的乘法法则如下：注意：dF(t)G(t)l=F(t)dG(t)+G(t)dF(t)相比之下，在伊藤过程中，其微分的乘法却多出一项dX(tdY(t)，称为(crossvariationterm)，出现这项的原因在于：布朗运动的二次变差不为零。伊藤乘法法则伊藤乘法法则(cont.)伊藤引理伊藤引理 l对dX(t)Y(t)=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+dX(t)dY伊藤引理伊藤引理 lrltrldX(u)Y(u)=0

trX(u)dY(u)+r0rt0

trY(u)dX(u)+r0rt0

trd⟨X,Y⟩(u)r00X(t)Y(t)=X(0)Y(0)++rt+00

X(u)dY(u)+0

Y(u)dX(u)0+0d+0d⟨X,Y⟩(u)其中：d⟨X,Y⟩(u)=dX(u)dY(u)，也就是交叉变差项。伊藤乘法法则的推论伊藤乘法法则的推论伊藤引理伊藤引理假设X(t)是伊藤过程，G(t伊藤引理伊藤引理注意：dX(t)G(t)l=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)注意：此处没有了交叉变差项此处没有了交叉变差项dG(t)dX(t)，这是因为确定性函数G(t当中不X(tdG(tdX(t0，自然可以将之忽略。伊藤乘法法则的推论伊藤乘法法则的推论(cont.)伊藤引理伊藤引理对dX(t)G(t)l=X(t)dG(t)+G(t)dX(t伊藤引理伊藤引理rrrltrrrldX(u)G(u)=0

tX(u)dG(u)+0rt0

tG(u)dX(u)0rt0X(t)G(t)=X(0)G(0)+进一步可以得到：

X(u)dG(u)+0

G(u)dX(u)0tt0rrttX(u)dG(u)=X(u)G(u)0−0rrttttG(u)dX(u)=X(u)G(u)0−

trG(u)dX(u)r00rtrX(u)dG(u)00此处的结果，与普通积分中的分部积分非常相似。0例6伊藤引理伊藤引理假设随机过程例6伊藤引理伊藤引理−dX(t)= bX(t)dt2−

1σ22求Y(t)=X(t)exp（1bt＼的随机微分方程。2例例6解答伊藤引理伊藤引理2注意到Y(t)是由确定性函数G(t)=exp（1bt＼与随机函数X(t伊藤引理伊藤引理2构成的。因此：dY(t)=X(t)dG(t)+G(t)dX(t)=(t)·1bexp（bt＼t+exp（1b＼＿−b(t)t

1σW(t)l（＼2（＼=1σexp2

bt2

2 2 2 2dW(t)例7伊藤引理伊藤引理已知关于例7伊藤引理伊藤引理S()=µS()dt+/V(t)(t)W1(t)其中：dV(t)=[a+bV(t)]dt+ξV(t)αdW2(t)并且W1(t)和W2(t)均是标准布朗运动，两者的相关系数为ρ。求f(t,S,V)的随机微分方程。例例7解答伊藤引理伊藤引理伊藤引理[dW1(t)]2=[dW2(t)]2=dt, [dW1(t)dW2(t)]=ρdt由泰勒展开式可得：2df(t,S,V)=ftdt+fSdS+fVdV+fSVdSd