57三角函数的应用（备作业）2021-2022学年高一数学（人教A版2019）

5.7三角函数的应用一、单选题1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，∴，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，∴.故选：C2．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】由题意可知，A＝，32＋2＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin.由sinφ＝，得sinφ＝.∵|φ|＜，∴φ＝.因此频率是，初相为.故选：C3．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，由图像可知：解得：；从到为函数的半个周期，即，所以，即，解得：；所以又有图像经过，所以，解得：所以，当x=12时，.故选：C4．已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米 B．100米 C．105米 D．110米【答案】C【详解】设该游客在摩天轮上离地面高度（米）与时间t（分钟）的函数关系为，由题意可知，，，所以，即．又，得，故，所以，所以．故选：C．5．某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：即，解得：，所以，所以该市8月份的平均气温为，故选：A.6．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，，解得，又，．又（3），，．，．故选：A7．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在披测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频串相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意：，故，即，故.故选：C8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（）A．6 B． C． D．【答案】A【详解】由题意得：，，所以，所以，当时，，可得，即，因为，所以，所以，所以，当时，，此时，即点，所以，故选：A.二、填空题9．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；（2）这段曲线的函数解析式为______________.【答案】5030【详解】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，故，所以，又由图象可得半周期为，，故，又时，，∴，∴.故.故答案：50，30，.10．如图，某地一天从时到时的温度变化曲线近似满足函数,则时的温度大约为________℃(精确到).【答案】.【详解】由图像可得,,.图像最低点的坐标为,,得,于是,.取,.当时,.故答案为:.三、解答题11．如图，某年某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式．（2）猜测当年3月1日该动物的种群数量．【答案】（1）．（答案不唯一）（2）750【详解】（1）设种群数量y关于时间t的表达式为，则，解得，．又周期，∴，∴．又当时，，∴，∴，∴，∴可取，∴．（答案不唯一）（2）当时，，即当年3月1日该动物种群数量约是750．12．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面的最近处．（1）已知在t(min)时点P距离地面的高度为，求t=2019时，点P距离地面的高度．（2）当离地面（）m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌．【答案】（1）10m；（2）0.5min.【详解】解：（1）依题意知，A＝40，h＝50，T＝3，由T＝＝3，解得ω＝，所以f（t）＝40sin（t+φ）+50．因为f（0）＝10，所以sinφ＝﹣1，又|φ|≤，所以φ＝﹣．所以f（t）＝40sin（t﹣）+50（t≥0），所以f（2019）＝40sin（×2019﹣）+50＝10．即t＝2019时点P距离地面的高度为10m．（2）由（1）知f（t）＝40sin（t﹣）+50＝50﹣40cost（t≥0）．令f（t）＞50+20，即cost＜﹣，解得2kπ+＜t＜2kπ+（k∈N*），即3k+＜t＜3k+（k∈N*）．又3k+﹣（3k+）＝＝0.5（k∈N*），所以转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌．13．用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在上的图象，并回答下列问题．（1）小球在开始振动时（即时）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多长时间小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复运动多少次？【答案】（1）小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处（2）都是2厘米（3）秒（4）【详解】（1）函数在上的图象如图．当时，（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置厘米处．（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．（3）小球往复运动一次就是一个周期，易知秒，即经过秒往复运动一次．（4）每秒钟往复运动的次数．14．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y20.017.310010.117.220.017.210.3010．117.320.0（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；（2）画出该函数在的图象；（3）在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．【答案】（1）（2）图象见解析（3）【详解】（1）设函数解析式为，，由表格可知：，，则，即．由函数图象过点，得，即，可取．则这个振子的位移关于时间的函数解析式为；（2）列表：t00.150.30.450.60y20020020由表格数据知，，的图象如图所示．；（3）由题意得，即，则或，所以或．又，所以或0.4．所以在这次全振动过程中，位移为时t的取值集合为．15．某商圈准备在其室外广场上设计一个绿化人文景观带，具体操作如下：下图中的正方形的边长为40米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域作为绿化人文景观排，其中，根据预测，修好后人