第一章空间向量与立体几何重点题型复习-2022-2023学年高二数学上学期讲与练(人教A版2019选择性)（原卷版）

第一章：立体几何与空间向量重点题型复习题型一空间向量的线性表示【例1】如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（）A．B．C．D．【变式11】如图，设，，，若，，则（）A．B．C．D．【变式12】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（）A．B．C．D．【变式13】如图，在四面体中，，，，且，，则（）A．B．C．D．题型二空间向量的共面问题【例2】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【变式21】已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（）A．B．2C．D．【变式22】已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）A．B．C．D．【变式23】，若三向量共面，则实数（）A．3B．2C．15D．5【变式24】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．题型三空间向量的数量积问题【例3】如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（）A．B．1C．D．【变式31】四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（）A．B．C．D．【变式32】已知、都是空间向量，且，则（）A．B．C．D．【变式33】四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（）A．B．C．3D．【变式34】如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______．题型四空间向量的对称问题【例4】求点关于x轴的对称点的坐标为（）A．B．C．D．【变式41】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A．B．C．D．【变式42】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A．B．C．D．【变式43】点关于轴的对称点为，则（）A．B．C．D．题型五利用空间向量证明平行与垂直【例5】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；【变式51】如图，在正方体中，，分别为，的中点．求证：平面；【变式52】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，为的中点，证明：平面平面.【变式53】在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面.题型六利用空间向量计算空间角【例6】在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为______．【变式61】如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且.（1）求证:平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.【变式62】如图所示，在四棱锥PABCD中，，且，若，，则二面角APBC的余弦值为______．【变式63】如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．（1）求证：；（2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．题型七利用空间向量计算空间距离【例7】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（）A．B．C．D．【变式71】如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．【变式72】如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．【变式73】空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）A．B．C．D．题型八利用空间向量探究动点存在问题【例8】如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大小；（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【变式81】如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．（1）设，当为何值时，的面积最小？（2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由．【变式82】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．（1）求证：直线平面；（2