《数学实验 第4版》课件 第五章 数据的统计与分析

1第五章数据的统计与分析实验5.1统计作图实验5.2参数估计实验5.3假设检验数学实验2实验5.1统计作图一、频率直方图二、统计量四、应用举例三、常用概率分布的MATLAB实现数学实验3一、频率直方图

在这次实验中，我们用MATLAB软件来实现统计量观测值的计算,作出频数直方图.

将数据的取值范围等分为若干个小区间，以每一个小区间为底，以落在这个区间内数据的个数（频数）为高作小矩形，这若干个小矩形组成的图形称为频数直方图.

用MATLAB作频数直方图，首先将数据按行或列写入一个数据文件备用，然后用hist函数(见表5.1)作出图形.4表5.1常用函数函数功能figure(h)figure(h)有两种情况，当h为已存在图形的句柄时，则打开这一图形作为当前图形，供后续绘图命令输出.当h不为句柄且为整数时，则figure(h)可建立一图形窗口，并给它分配句柄hhist(s,k)s表示数组（行或列），k表示将以数组s中的最大和最小值为端点的区间等分为k份.hist(s,k)可以绘制出以每个小区间为底，以这个小区间的频数为高的小矩形组成的直方图5例1

某教师为检查利用多媒体合堂教学效果，对所授课程成绩进行分析，已知该合堂班共有学生144名，成绩（用X表示）如下:648387678166606782848082688475384273757812675480936645517667947582684564717885724161317680767056658167746771746173493556747650765652906888796691518186836567806868675059793935617061817458817271807181745881727161675090957454627335748497748278858372918483667092819692799575786139625550856860根据以上数据作出该门课程成绩的频数直方图和样本分布函数图.6解(1)将以上述数组中的最大和最小值为端点的区间等分为10(见图5.1)、12(见图5.2)、20(见图5.3)等份,分别作频数直方图.在命令窗口输入A=[648387678166606782848082688475384273757812675480936645517667947582684564717885724161317680767056658167746771746173493556747650765652906888796691518186836567806868675059793935617061817458817271807181745881727161675090957454627335748497748278858372918483667092819692799575786139625550856860]7图5.1figure(1),hist(A,10)↙figure(1),hist(A,12)↙图5.28figure(1),hist(A,20)↙图5.3由上面三个图形可见，k的大小要根据数据的取值范围而定为了更清楚地反映.出总体X的特性,通常每个小区间至少包含2～4个数据.9

另外，把频数直方图的纵坐标上的频数换为相应小区间上的频率，频数直方图即为频率直方图.(2)样本分布函数图编写数据排序程序:fori=1:143forj=144:-1:i+1ifA(j)>A(j-1)y=A(j);A(j)=A(j-1);A(j-1)=y;endendenddisp(A)↙10作频数累积图(见图5.4):x=linspace(12,97,51);y=[125689101213171920222326282931373941434756626570747985899498101106114118122126129130131132134136138139140142143144];plot(x,y)↙图5.411c=[y/144];x=linspace(12,97,51);plot(x,c)↙作样本分布函数图(见图5.5)

由频数累积图和样本分布图可见，它们的形状是完全相同的,只要把频数累积图纵坐标上的频数换为相应的累积频率,就得到了样本分布函数图.12二、统计量1.数理统计中常用的统计量（１）样本均值和中位数将由小到大排序后位于中间的那个数称为中位数.（２）样本方差﹑样本标准差和极差样本方差样本标准差极差13数理统计中常用的函数，见下表函数功能及格式mean(x)求x阵列的均值；调用格式：M=mean(x)median(x)求x阵列的中值；调用格式：M=median(x)range(x)求x阵列的极差；调用格式：R=range(x)var(x),var(x,1)求x阵列的方差；调用格式：V=var(x)std(x),std(x,1)求x阵列的标准差；调用格式：S=std(x)14例2

求例1中，A的均值﹑中位数﹑极差﹑方差﹑标准差.解

在命令窗口输入:M=[mean(A)median(A)range(A)var(A)std(A)]↙M=69.847272.000085.0000228.787715.1257

由例1的频率直方图及统计量的观测值可见,均值和中位数表示数据分布的位置;方差﹑标准方差、极差表示数据对均值的离散程度.152．几个重要概率分布（１）正态分布随机变量X的概率密度为当时，称X服从标准正态分布，记作

它的分布函数记作（２）分布若随机变量相互独立，且均分从标准正态分布，则

16服从自由度为的分布，记作（３）t分布若随机变量

且它们相互独立，则称随机变量为服从

自由度为n的t分布,记作

（４）F分布若随机变量，且它们相互独立，则称随机变量服从

第一自由度为,第二自由度为

的F分布,记作17三、常用概率分布的MATLAB实现在统计中，正态分布﹑分布、

t分布、F分布是经常用到的四种分布,在MATLAB统计工具箱，给出它们的概率密度和分布函数函数功能normpdf(x,mu,sigma)均值为mu﹑标准差为sigma的正态分布的密度函数，其中

x可以是标量﹑数组或矩阵.当mu＝0,sigma＝1可以缺省normcdf(x,mu,sigma)均值为mu﹑标准差为sigma的正态分布的分布函数，

其中x可以是标量﹑数组或矩阵.当mu＝0,sigma＝1可以缺省chi2pdf(x,n)分布的密度函数，其中x可以是标量﹑数组或矩阵chi2cdf(x,n)布的分布函数，其中x可以是标量﹑数组或矩阵tpdf(x,n)分布的密度函数，其中x可以是标量﹑数组或矩阵tcdf(x,n)分布的分布函数，其中x可以是标量﹑数组或矩阵fpdf(x,n1,n2)分布的概率密度fcdf(x,n1,n2)分布函数18例3

分别在同一张图上作出：（1）正态分布N(0,0.62)﹑N(0,12)﹑N(-1,12)﹑N(1,22)的概率密度图;分布的概率密度图;

（2）

（3）分布的概率密度图;

（4）分布的概率密度图.解

在命令窗口输入：x=-4:0.1:4;p1=normpdf(x,0,0.6);p2=normpdf(x,0,1);p3=normpdf(x,-1,1);p4=normpdf(x,1,2);19figure(1),plot(x,p1,x,p2,x,p3,x,p4)↙图5.620（2）输入:x=0:0.1:30;p1=chi2pdf(x,5);p2=chi2pdf(x,10);figure(1),plot(x,p1,x,p2)↙分布的数学期望，方差当自由度增加时，数学期望、方差增大，因此概率密度曲线向右移动，且变平，如图5.7所示.21（3）输入:x=-4:0.1:4;p1=tpdf(x,1);p2=tpdf(x,10);p3=tpdf(x,20);p4=normpdf(x,0,1);figure(1),plot(x,p1,x,p2,x,p3,x,p4)↙图5.822此图从直观上验证了统计理论中的结论：当

时，

实际上,从在图5.8可见，当

时，它与就相差无几了.（4）输入：x=0:0.01:4;p1=fpdf(x,5,10);p2=fpdf(x,10,10);P3=fpdf(x,10,5)；figure(1),plot(x,p1,x,p2，x，p3)↙23图5.924四、应用举例计算机模拟掷硬币实验

通过计算机模拟掷硬币实验.用1代替国徽向上，0代替国徽向下，n表示试验次数.（1）随着试验次数的增加，观察国徽向上的一面频率的变化情况.（2）进行n次重复独立的掷硬币实验，分别用表示这n次试验的结果，求它们的均值及方差.（3）设,其中进行n次重复独立的掷硬币试验，对ξ来说称为一次试验，得到的结果称为25这次试验的结果.做N次这样的试验，将所得结果记为,取足够大的N和n,观察随机变量ξ的分布函数的变化情况并与标准正态分布函数相比较.解

(1)n

=100在命令窗口输入:x=rand(1,100);y=fix(2*x);p=0;fori=1:100;p=p+y(1,i);enddisp(p/100)↙0.4400把上述程序中的n换为1000,10000,100000分别得

p=0.4880,p=0.5059，p=0.5007.26

通过模拟试验可见，随着试验次数的增大，国徽向上的频率逐渐逼近它的概率0.5.从直观上验证了频率的稳定性.(2)

n=10000

x=rand(1,10000);y=fix(2*x);a=[mean(y)var(y)]↙a=0.50590.2500(3)n

=2500当N=500时，取ξ的500个样本观测值：x=zeros(1,500);y=fix(2*rand(500,2500));fori=1:500;forj=1:2500;x(1,i)=x(1,i)+y(i,j);endx(1,i)=（2＊（(x(1,i)-1250)）/50;Enddisp(x)↙27将ξ的500个样本观测值排序:fori=1:499;forj=500:-1:i+1;ifx(1,j)>x(1,j-1);t=x(1,j);x(1,j)=x(1,j-1);x(1,j-1)=t;endendenddisp(x)↙

取适当的数d，对任意实数x（最好不超出样本观测值的最大值和最小值），计算出落在区间28的概率密度,作ξ的概率内的样本观测值的频数.用作为随机变量ξ密度与标准正态分布的概率密度图(见图5.10).图5.1029在命令窗口输入:x=-3:0.3:3;y1=[1613324879117147183211222204199146977235231084]/500;y2=normpdf(x);plot(x,y1,x,y2)↙30当n=10000,N=500时,的概率密度图及标准正态分布如图15.11所示;图5.1131n=40000,N=500时,的概率密度和标准正态分布的概率密度如图5.12所示.图5.12这一事实从直观上验证了中心极限定理.而当n及N足够大时，

的概率密度函数与标准正态分布的概率密度函数逼近程度会更好.

32第五章数据的统计与分析实验5.1统计作图实验5.2参数估计实验5.3假设检验数学实验33实验5.2参数估计一、参数估计二、参数估计的MATLAB实现三、应用举例数学实验34一、参数估计

参数估计问题分为两类，一类是用某一函数值作为总体未知参数的估计值，即点估计.点估计又分为矩估计和最大似然估计，这里我们主要介绍最大似然估计.1．参数的点估计

另一类是区间估计，就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值.设是取自总体X的一个简单随机样本，

是

相应的一个样本观测值.最大似然估计是利用样本观测值构造似然函数.

35其中是离散型随机变量X在处的概率，θ是概率函数中的未知参数.或其中是连续型随机变量X的概率密度，θ是概率密度中的未知参数.通过求解使似然函数取得最大值的

，而便是θ的最大似然估计值.362．参数的区间估计

参数的点估计虽然给出了待估计参数的一个数值，但是我们并不知道用这个数值代替未知参数的精确性与可靠性.既然不能从样本观测值确定未知参数的真值，一般地，在给定样本容量的条件下，给出真值所在的一个取值范围.其中，称随机区间

为θ的置信区间，分别称为置信下限称为置信概率或置信水平，记总体的待估计参数为θ，由样本算出的估计量，通常使θ满足α称为显著性水平.置信区间的大小给出了估计的精度，置信水平给出了可靠性.和置信上限，37二、参数估计的MATLAB实现在MATLAB统计工具箱中，给出了计算总体均值、标准差和区间估计函数，见表5.4.表5.4常用函数函数功能[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)著性水平为alpha时，正态分布的均值﹑标准差的的最大似然估计值为mu和sigma,它们的置信区间为muci和sigmaci.

其中x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[mu,muci]=expfit(x,alpha)显著性水平为alpha时，指数分布均值的最大似然估计值为mu,置信区间为muci.其中x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[a,b,aci,bci]=unifit(x,alpha)显著性水平alpha时，均匀分布区间端点的最大似然估计值为a,b，它们的置信区间为aci,bci.其中

x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[p,pci]=binofit(x,n,alpha)显著性水平alpha时，二项分布的最大似然估计值为p,置信区间为pci.其中

x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.05[lambda,lambdaci]=poissfit(x,alpha)显著性水平alpha时，泊松分布的最大似然估计值λ,置信区间为lambdaci.其中x是样本（数组或矩阵）.当alpha缺省时设定为0.0538例4

从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（mm）为19.720.119.819.920.220.019.920.220.3.设零件直径服从正态分布

，

求这批零件的直径的均值μ，方差σ的最大似然估计值，及置信水平为0.95解当置信水平为0.95时，在命令窗口输入：x=[19.720.119.819.920.220.019.920.220.3]；[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x)↙和0.99

的置信区间.39mu=20.0111sigma=0.2028muci=19.855320.1670sigmaci=0.13700.3884置信水平为0.95时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（19.8553，20.1670），（0.1370，0.3884）.40当置信水平为0.99时，在命令窗口输入：x=[19.720.119.819.920.220.019.920.220.3][mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.99)↙mu=20.0111sigma=0.2028muci=19.784320.2379sigmaci=0.12240.4946置信水平为0.99时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（19.7843，20.2379），（0.1224，0.4946）.41三、应用举例1．产品质量问题

某厂一流水线生产大批220V，25W的白炽灯泡，其光通量（单位：流明）用X表示，X即是总体.现在从总体X中抽取容量为n=120的样本（由于个体数量很大，可用不放回抽样），进行一次观测得光通量的120个数据，它们就是容量为n=120的样本观测值，数据如下:

21620319720820620920620820220320621321820720820219420321321119321320820820420620420620820921320320620719620120820721320821020821121121422021120321622421120921821421921120822121121842218190219211208199214207207214206217214201212213211212216206210216204221208209214214199204211201216211209208209202211207202205206216206213206207200198200202203208216206222213209219根据以上数据分析这批灯泡的质量.（1）灯泡的质量，可以从灯泡的光通量所服从的分布、均值、方差进行分析.根据直方图初步假设出光通量所服从的分布.在命令窗口输入：A=[216203197208206209206208202203206213…….213209219]此处省略部分数据43figure(1),hist(A,10)↙X的频数直方图,如图图5.1344(2)样本分布函数图编写数据排序程序:fori=1:119forj=120:-1:i+1ifA(j)>A(j-1)y=A(j);A(j)=A(j-1);A(j-1)=y;endendenddisp(A)↙作频数累积图(见图5.14):x=linspace(189.5,224.5,30)；y=[123…….118119120];plot(x,y)↙图5.1445作样本分布函数图（见图5.15）:c=[y/120];z=linspace(189.5,224.5,30);plot(z,c)↙图5.1546根据频率直方图及样本分布函数图，假设灯泡的光通量服从.

求均值μ、标准差σ的最大似然估计，及置信水平为mu=0.99的置信区间.在命令窗口输入:[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(A,0.99)↙mu=208.8167sigma=6.3232muci=207.3056210.3277sigmaci=5.41147.570547置信水平为0.99时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（207.3056,210.3277），（5.4114，7.5705）.为验证根据频率直方图及样本分布函数图作出的假设以上述估计值为均值和标准差的正态分布图，及样本分布函数图作在同一坐标系中，进行比较.在命令行窗口输入：p=normcdf(X,208.8167,6.3232);figure(2),plot(X,c,'b-',X,p,'g-')48图5.16比较图5.16两条概率函数曲线，可知选取及

作为作为总体的均值、标准差的估计值，精确度和可靠性都是很高的.

通过上述分析，就灯泡的光通量而言，根据灯泡光通量的分布、均值及方差灯泡的质量还是稳定的，机器工作正常.根据标准差的估计值，如果再进一步改进技术，使标准差变小产品的质量会更好.492．学生身体素质问题

青少年的身高是评价身体素质的重要指标之一.某地为了解当地高一学生的身高情况，随机抽取100名学生测量其身高，所得数据如下（单位cm）：154.0173.3177.4157.9171.2156.8150.9157.6172.0174.1170.5172.4158.3174.7165.8148.8152.9163.8165.2168.7167.2167.6154.1170.6183.2166.9145.8151.6176.1167.6184.2175.1172.2168.4155.4164.3171.5178.0175.1172.3151.8161.7161.9176.2180.1166.0169.0156.9165.2171.6167.3164.8167.0171.0164.9161.2173.7159.0165.5156.8174.2176.1150.9166.7156.2162.9180.0168.2178.3175.2166.4181.0161.4171.6186.0183.0165.3167.7170.0168.5168.1167.4160.9159.5173.2159.0165.5161.7170.3163.2181.3174.2158.5181.0172.5171.0180.1171.5181.4174.4158.9181.0172.4171.2161.9167.0150.8180.1175.0174.2154.3162.7173.4155.8174.7184.2167.9174.1182.0178.6根据这些数据估计当地高一学生的平均身高，并给出估计的误差范围.50解由以上数据作出学生身高X的频率直方图，图5.17根据学生身高X的频率直方图，假设，记由学生身高数据组成的数

据组为S,求均值μ、标准差σ的最大似然估计，及置信水平为0.99的置信区间.51[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(S，0.01)↙mu=168.0800sigma=8.9359muci=165.9446170.2154sigmaci=7.647310.6986置信水平为0.99时，均值及标准差的最大似然估计值分别是均值及标准差的置信区间分别为（165.9446,170.2154），（7.6473，10.6986）.52第五章数据的统计与分析实验5.1统计作图实验5.2参数估计实验5.3假设检验数学实验53实验5.3假设检验一、参数的假设检验二、参数假设检验的MATLAB实现三、应用举例数学实验54一、参数的假设检验假设检验是根据样本所提供的信息，对提出的假设作出接收还是拒绝的判断.假设检验的基本思想是检验所作出的假设是否正确.在假定正确的条件下，利用样本的统计

量构造一个小概率事件，根据样本观测值验证，这个小概率事件是否发生.

如果一次抽样使得小概率事件发生了，则认为不合理的现象发生了，拒绝假设,否则接受假设.双侧U检验法左侧U检验法右侧U检验法在假设检验中，把要检验的假设称为原假设，把假设的对立面称为备择假设.55常见的假设有以几种情况：（1）单个正态总体均值的假设检验双侧检验单侧检验单侧检验（2）单个正态总体方差的假设检验双侧检验单侧检验单侧检验56

对于两个正态总体的情况，假设两个总体的均值、方差相等或不等关系情况与上类似.

二、参数假设检验的MATLAB实现1．单个正态总体均值的假设检验

总体方差

已知时，均值的检验用U检验法，在MATLAB中由函数ztest来实现，调用格式为：[h,p,ci]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)其中，输入样本x（数组或矩阵），mu是原假设中的，sigma是总体的标准差,alpha是显著性水平α，tail是对的选择.备择假设57原假设当tail=0时，备择假设当tail=-1时，备择假设当tail=1时，备择假设p为当原假设为真时，样本均值出现的概率，p越小越值得怀疑.ci是的置信区间.输出参数表示“在显著性水平alpha的情况下，接受

”

输出参数表示“在显著性水平alpha的情况下，拒绝”

总体方差

未知时，均值的检验用t检验法，在MATLAB中,由函数ttest来实现，调用格式为:[h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail)与上面的函数ztest比较，除了不需要输入总体的标准差外，其余完全一样.58例5

某工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定每袋500g.现在随机抽取10袋，测得每袋葡萄糖的质量（g）为485510505488503482502505487506设每袋葡萄糖的质量服从正态分布.如果已知解原假设用双侧U检验法，已知.输入：x=[485510505488503482502505487506][h,p,ci]=ztest(x,500,5,0.05,0)↙59h=0p=0.0877ci=494.2010500.3990从输出结果来看，h=0接受,p=0.0877说明在原假设几乎不可能出现，不可信。如果取时，其结果如下：[h,p,ci]=ztest(x,500,5,0.1,0)↙下，均值60h=1p=0.0877ci=494.6993499.9007输出结果，h=1拒绝下，均值几乎不可能出现，所以拒绝思考：以上输出的两个不同结果说明什么问题？612．单个正态总体方差的假设检验设总体，是取自总体的一个简单随机样本，是相应的一个样本观测值.

检验假设，需要编写一个简单的程序如下：x=[x1,x2,…,xn]chi2=(n-1)*var(x)/sigma^2u1=chi2inv(alpha/2,n-1)u2=chi2inv(1-alpha/2,n-1)ifchi2<u1h=1elseifchi2>u2h=1elseh=0end↙其中,函数x=chi2inv(p,n)是求时，P(X<x)=p中的x即卡方分布的逆概率函数.62例6

在例5中能否认为每袋葡萄糖质量的标准差？解

检验假设，输入：x=[485510505488503482502505487506]chi2=9*var(x)/5^2u1=chi2inv(0.05/2,9)u2=chi2inv(1-0.05/2,9)ifchi2<u1h=1elseifchi2>u2h=1elseh=0end↙63chi2=39.5240u1=2.7004u2=19.0228h=1由输出结果拒绝接受H0,接受即每袋葡萄糖的标准差不等于5(g）.再由置信区间知x的方差大于25.643．两个正态总体均值的假设检验设总体，通常需要检验两个总体均值是否相等或不等关系.以检验假设

为例，其余情况与一个正态总体均值的假设检验类似.

调用格式为：检验由函数ttest2来实现，[h,p,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)65例7

某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率如下：处理前：0.190.180.210.300.410.120.27处理后：0.150.130.070.240.190.060.080.12

假定处理前后的含脂率都服从正态分布，且标准差不变，问处理后含脂率的均值是否显著降低？（取显著性水平）解

已知检验假设输入:x=[0.190.180.210.300.410.120.27]y=[0.150.130.070.240.190.060.080.12][h,p,ci]=ttest2(x,y,0.05,1)↙66h=1p=0.0095ci=0.0372Inf由输出结果可知，拒绝接受H0，接受，即处理后含脂率的均值显著降低了.

两个正态总体方差的假设检验与单个正态总体方差的假设检验类似，由同学们自己完成.67三、应用举例质量控制图在假设检验中，如果已知总体未知,要检验是否成立，就是根据样本观测值来判别小概率事件在一次实验中是否发生.一般在控制图上进行.在生产过程中作这种检验，通常取的控制上限的控制下限，样本均值的控制图上的中心线681.均值的控制图在实际问题中，从X中抽取k个样本容量为n

的样本第i个样本为样本均值和极差分别为:k个样本均值的均值为极差的均值为69用μ和σ的无偏估计来近似代替μ和σ，其中(见表5.6)是与在均值的控制图上取中心线的控制上限的控制下限作出样本均值的控制图后，还需要进行修正，检查是否都落在n有关的常数.控制限内.70

控制限内时为止.

例8

某厂一流水线生产大批220V，25W的白炽灯泡，其光通量（单位：流明）用X表示，现在要制订灯泡的光通量的质量控制图，从20批灯泡中各抽取6个灯泡测得光通量的数见表5.5:如果有个别的在控制限外，将该样本剔除去，再重新计算和

，并根据它们计算出新的的控制限.重复上述步骤，直至剩下的每一个

都落在71批号12345678910光通量2162031972082062092062082022032062132182072082021942032132111932132082082042062042062082092132032062071962012082072132082102082112112142202112032162242112092182142192112082212112182082082102092072082052082112122310217151917181421批号11121314151617181920光通量218190219211208199214207207214206217214201212213211212216206210216204221208209214214199204211201216211209208209202211207202205206216206213206207200198200202203208216206222213209219208205210211210208212209207208182716201014812162172解

均值的控制图绘制方法:（1）计算和在命令窗口输入：x=[2082082102092072082052082112122082052102112102