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解第九章微分方程与差分方程9.1常微分方程的基本概念设所求曲线方程为所求曲线方程为例9.1用水管以每分钟

的速度向长方形水池里注水，水池的底面积为.已知注水前水池里的水深为，求水深的表达式.解则，第九章微分方程与差分方程9.1常微分方程的基本概念求不定积分得例9.1用水管以每分钟

的速度向长方形水池里注水，水池的底面积为.已知注水前水池里的水深为，求水深的表达式.设为时刻水池里的水深，解因例2

验证是任意常

数)是二阶微分方程的解.故,

是原方程的解.解将例3

验证是任意常数)是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一个任意常数,原方程是一阶微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.许多情况下,我们关心微分方程满足一定条件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解当中.微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.例如,

都是方程的特解.这样的条件称为初始条件.

带有初始条件的微分方程问题称为初值问题或定解问题.例1的微分方程模型可以改写为:

常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.

在n阶微分方程中形如

的微分方程称为线性微分方程;为已知函数,

其中其它的都是非线性微分方程.都是线性微分方程,都是非线性微分方程.例如,

而

例4试指出下列微分方程的阶数,并说明它们是线性的还是非线性的?

解(1),(4),(6)为一阶微分方程;(2),(5)为二阶微分方程;(3

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