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的微分方程,称为可分离变量的微分方程.2.解法1.定义分离变量9.2.1可分离变量的微分方程9.2一阶微分方程或可化为形如求得积分后,即得原微分方程的通解两端积分注意:如果

则常函数也是方程的一个解.

这样的解并没有包含在通解之中,称之为奇解.

解分离变量得两端积分得从而故原方程的通解为

而也是方程的一个解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分离变量两端积分原方程的通解为

整理得从而化简得解先求其通解,

分离变量,得两端积分,得例3

求解定解问题:整理得

原方程的通解为注意:得特解得特解得于是所求定解问题的特解为的一阶微分方程,称为齐次方程.1.定义9.2.2齐次方程例如,方程可化成是齐次方程.可化为形如分离变量,得两端积分2.解法作变量代换代入原方程,得求得积分后再将代入,即得原方程的通解.化为可分离变量的方程.则例4解方程解将方程改写成令于是上述方程化为即分离变量,得积分得原方程的通解为

则有解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得两端积分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解为即将代入,称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程.9.2.3一阶线性微分方程1.定义未知函数及其导数都是一次的微分方程通常称方程(9-4)是方程(9-3)所对应的齐次方程．

齐次方程的通解为(1)先解线性齐次方程使用分离变量法2.解法积分,得(2)再解线性非齐次方程设非齐次方程通解形式为

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的待定函数方法,称为常数变易法.积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程的特解或解此方程为一阶线性方程(1)先求对应的齐次方程变形方程为

积分,得对应的齐次方程通解为例6求微分方程

的通解.设原非齐次方程通解为代入原方程,得积分,得故,

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