结合小初高数学学习聊一聊抽象思维

结合小初高数学学习聊一聊抽象思维上面这幅图大家也许不熟悉，但应该都见过。巴勃罗·毕加索的《公牛》是一组创作于1945年的十一幅平版版画。它描绘了牛在不同的抽象阶段的形态，在这个过程中，毕加索不断简化形式、拉直线条，展平平面，最后得到的是描绘公牛的简单线条图。这个过程中，毕加索把复杂的主题，简化成抽象的形式。抽象，不仅仅在艺术中是一种手法或风格，在数学学习中，在我们人类认识世界、追寻世界本质规律的过程中，抽象思维也是非常重要的工具和能力。那么，什么是抽象思维？如果在英文中，你会发现抽象思维、抽象这些词语，对应的一个共同的单词就是——abstract。它有三个意思：n.

摘要;抽象派艺术作品;(文献等的)概要adj.

抽象的(与个别情况相对);纯理论的vt.

把…抽象出;提取;抽取;分离;写摘要除了形容词性中的抽象的之外，我们在名词、动词的含义中，会发现它与抽取、提取、摘要关系紧密。事实上，一开始的抽象就是如此。比如现在我是一个原始人，每天快快乐乐地去打猎、采摘，今天打了3头野猪，明天摘了3个苹果。这里的3，都和具体的物体——野猪、苹果对应。但当我的事业越来越红火，打的猎物种类越来越多，我慢慢的就发现，野猪是野猪、苹果是苹果，不尽相同，但都是3个！3就被抽象出来，从具体的与物体结合在一起，被抽象成单纯的表达数量概念的数字了。再比如，小明爱吃苹果，第一次买了1个苹果，花了2块，第二次买了2个苹果，花了4块，第三次买了3个苹果，花了6块。时间一久，他就发现了规律，买几个苹果，就把苹果个数乘以2，就能得到钱数。小明欣喜莫名，这其实也是一种抽象，从具体的实例中抽象出对应关系，如果用符号表示，那就是y=2x，其实就是函数。再比如物理中各种各样的公式，都是物理学家从各种各样、千变万化的实验中，剥去那些非本质的干扰因素，直达本质，寻找到量与量之间的关系，并用公式来表示。这也是一种抽象。所以什么是抽象思维？抽象思维凭借科学的抽象概念对事物的本质和客观世界发展的深远过程进行反映，使人们通过认识活动获得远远超出靠感觉器官直接感知的知识。科学的抽象是在概念中反映自然界或社会物质过程的内在本质的思想，它是在对事物的本质属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开其非本质属性，使认识从感性的具体进入抽象的规定，形成概念。但仅仅是如此吗？就比如我们还是之前那位勤劳的原始人，当我们从具体的物体数量抽象出数字之后，都是什么数字呢？自然数！紧接着，我们会在日常生活中发现整数、无理数，最后会得到复数，可以说复数已经与我们的日常生活毫无关系了！就仅仅是从纯粹的数学中对数域进行的拓展。最后，我们又有了数域的概念。设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q。再比如，我们是苹果达人小明，通过苹果的购买，发现了函数y=2x，之后他又发现了各种其他函数——一次函数、二次函数、反比例函数，之后有一天他突然意识到，这些函数未必需要有一个现实背景，于是他创造了一个新的函数：D(x)=1，当x为有理数；D(x)=0，当x为无理数。这是不是个函数呢，如果从生活中，你找不到它的现实案例，但是从我们对函数的定义角度判断，它就是一个函数。函数定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域。上面这两个事例，是不是抽象思维呢？当然是！抽象思维作为一种重要的思维类型，具有概括性、间接性、超然性的特点，是在分析事物时抽取事物最本质的特性而形成概念，并运用概念进行推理、判断的思维活动。正因为抽象思维具有以上的特点，那么在平时的数学学习过程中，抽象思维的体现就有了抓手。比如初中的一些应用题。像这种题就是对抽象思维能力的直接考察。其实在小学阶段，对抽象思维能力的考察也是应用题。有些孩子在小低年级存在读不懂应用题的情况，其实质就是抽象思维能力不足，无法通过条件抽象出准确的数量关系，这种问题到了中高年级一般会有一定的改善，也是那时候抽象思维能力有所进步的关系。再比如高中数学中的大部分内容与题目。高中数学教材中虽然在知识的引入上强调结合实际，但其主要内容，大部分都是比较抽象的，所以我们才强调数形结合，也就是把抽象思维与形象思维结合在一起。根本不给具体解析式，就是一个抽象函数问题，考察大家对函数本质概念的认识。这道题虽然是高中数学第一章集合的内容，但是能读懂题目的家长朋友请举手。到了大学，抽象思维的直接应用就是数学建模。数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。其实高中也有建模比赛，只不过大学更重视，也更正规。和建模问题有些类似的是高中的物理，为什么有些孩子初中数学、物理学得似乎不错，但是到了高中之后，物理却总是掌握不好。根子上也是在于抽象思维能力的欠缺。中学物理虽然有大量的实证内容，但是具体的解决问题时，却是将复杂的情况抽象、简化，有些孩子在这方面有些欠缺，导致其在分析过程中无法提取、概括。可以说，孩子们的学习过程伴随着他们抽象思维能力的提升，也伴随着他们所学内容的抽象化程度的不断提升。到了大学数学，这一过程臻于顶点。所以到这里，我们可以抛开枯燥的定义，把抽象思维在孩子们学校过程中的体现给定义一下：1、要能够从具体的实例中抽象出抽象的概念；2、要能够理解抽象概念，并能够应用；3、要能够将具体问题用函数、方程等形式转化并解决；4、要能够利用抽象概念进行推理、运算、证明。当然，在这里我们也要注意，不是说我们讲抽象思维，就仅仅只运用抽象思维。就像我之前说的数形结合，将形象思维与抽象思维结合在一起，才是更好的解决问题的良策。另一方面，抽象思维能力其实并不是先天就非常完备的，而是随着孩子的成长，随着他在学习中所受到的各种训练而逐渐提升的，有时候你让他运用抽象思维，他运用不起来啊！最直接的一个例子，家长们都比较熟悉——方程。很多小学家长在辅导孩子解决应用题的时候，都会不由自主的想去用方程解决问题，但真正实践下来，有些孩子能够接受，但也有相当比例的孩子是比较蒙圈的，这其实就是抽象思维能力还不够完善的原因。所以我们说一个孩子是数学神童，有天赋，其实很大一方面就是这些孩子的抽象能力特别强，对于一些概念理解的很透彻。那么抽象思维的发育阶段是什么样的呢？来，我们掌声有请教育学届的大V，皮亚杰先生，来通过他的认知发展阶段理论来捋一捋：皮亚杰的认知发展阶段是四个前后相继而又有质的差异的阶段：1、感知运动阶段（出生-2岁）相当于婴儿期。这是语言和表象产生前的阶段。本阶段主要特点是：儿童只是依靠感知动作适应外部世界，构筑动作格式。本阶段儿童在认知上的主要成就是：主体和客体分化和因果联系的形成。2、前运算阶段（2-7岁）较之前一阶段其质的飞跃表现在：由于信号功能或象征功能的出现，这一阶段的儿童开始从具体动作中摆脱出来，可以凭借象征性格式而在头脑里进行表象性思维。这一阶段还可再分为前概念或象征思维阶段（2-4岁）与直觉思维阶段（4-7岁）这样两个小阶段。3、具体运算阶段（7、8-11、12岁）这一阶段的儿童认知和思想有两个特点，一是思维开始具有较大的变易性，出现了可逆性（“运算”概念在皮亚杰理论中本身就意味着一种可逆的动作），能解决守恒问题，能凭借具体事物或形象进行分类和理解逻辑关系；另一是能对具体事物进行群集运算，包括组合性、逆向性、结合性、同一性、重复性或多余性等运算。但由于这一阶段的运算仍脱离不了具体事物或形象的支持，所以，其运算还是零散的、孤立的，难以组成完整的系统。4、形式运算阶段（12岁以上）亦称命题运算阶段。本阶段的最大特点在于：儿童思维已能摆脱具体事物的束缚，不受具体事物的内容的局限，能把形式与内容分开，进行抽象的逻辑思维，即能运用符号进行命题演算，能根据假设进行逻辑推理。在这一阶段里，尽管儿童少年并未意识到某些形式运算结构的存在，但能运用这些结构去解决实际问题。这个阶段的孩子，不仅有抽象运算能力，同时还能根据概念、假设为前提，进行假设、演绎推理，得出结论。让.皮亚杰还认为，这个阶段的青少年，不仅能进行假设演绎思维，还能够进行一切科学技术所需要的基本运算，这些运算除具体运算阶段的加加减减乘除外，还包话这样的一些基本运算：考虑一切可能性；分离和控制变量，排除一切无关因素；观察变量之间的函数关系，将有关原理组织成有机整体。显然我们会发现抽象思维在学生思维中所占的比例随着年龄增大由小增多。并不是说孩子在低幼年级就没有抽象思维，就只有形象思维，但是所含比例的确比较少，随着年龄增大，到小初衔接阶段，抽象思维能力会有一个飞跃，其实我看过一个研究，到高中——大学这个阶段，还会有一个跃升。但是，抽象思维的提升并不是说就只要静待花开就可以了，通过平时的学习、练习，孩子的抽象思维能力也会有所提升。我们从小学开始。在小学阶段有大量的计算教学，可以说计算就是贯穿小学数学的一条主线。现在小学的计算教学都是将算理教学用直观实例来展示，然后通过讲解、练习，上升到算法的抽象。这个过程也是符合小学生的认知规律的：先通过直观实例让孩子形成感性认识，再通过大量的练习和讲解，帮助学生理解算理，形成算法。这个过程中，形象思维或者说直观思维与抽象思维并不是割裂的，而是在一体演进，是一个完整过程的有机组成部分。如果说小学阶段花了整整六年让学生体会从形象思维到抽象思维的转化。那么到了初中之后抽象思维就登堂入室，成为了主角。从七年级一开始的代数内容到之后的几何内容，可以说我们对学生的抽象思维能力越来越高。是的，几何虽然是很直观的一个内容，但是你的证明过程，你的思考过程，你的解题过程缺少不了抽象思维能力的参与。进入高中，符号化、形式化更是极为普遍，以至于我们要通过数形结合来辅助我们学习、解题。所以在初高中数学之间一个比较大的区别，就是高中数学代数化内容很多，对学生的抽象思维能力要求更高。自然有家长会问，那么如何锻炼抽象思维能力。其实大家不要焦虑，就像我们之前所说的那样，孩子的抽象思维能力随着年龄会逐渐增长，孩子平时所收到的教育也会促进其抽象思维能力进步，我们需要做的其实就是在平时学习过程中做到位就可以了。这算是我一直以来的一个观点，即我们不需要完全否定学校，完全抛开学校完全自己再去从头给孩子搭一个学习体系出来，而是应该因势利导，结合孩子所学做补充，这样可能大家都轻松，效果也不差。什么叫做到位呢？比如孩子学了某个知识，会了某种方法，比如让他把背后的原理讲出来，对于某道题目，某个定理，让他用自己的话把其翻译过来，尤其是一些比较抽象的内容，把其转换成具象的语言叙述，反而是一种锻炼抽象思维能力的手段。因为要想说出来，要想用自己的语言组织出来，就必须要先理解。比如在刷题练习时，围绕同一种题型或者知识点反复组织各种题型练习，在不同的不同题型练习过程反复体会同一个知识，让孩子在实践中体会所学的抽象知识，最终融会贯通。比如重视数形结合，在解决问题时有意识的引入图像，通过将问题转化为图像特征或者图像间关系，帮助我们直观的理解题意、找到解题方法。重视应用题的练习，通过解决应用题锻炼我们阅读、提取条件、抽象模型的能力。比如重视基本概念的推导、理解、掌握，深入理解概念的内涵与外延。比如有意识的多使用符号语言，提高对于符号语言的阅读能力。比如注重对学生的归纳概括能力的培养