微积分 第3版 课件 第1章 函数

1.1函数设D为实数集R的非空子集,如果对任意的

都存在唯一的与之对应,可用表示,并称x为自变量,y为因变量.则称y是x的一元函数,而定义域就是自变量的取值范围,分别记为因变量的取值范围,值域就是或者简记为

第一章函数例如,令D到R的对应关系是:

3对应15.

1对应5;2对应10;这个对应方式满足唯一性的要求,因此是一个函数,记之为

f.

函数f

可以描述为:D中的每个数值都对应其自身的5倍.把集合

D中的每个数值用x表示,

1,2,3这三个数值中的任意一个.即x取值可以是则函数f

可以描述为:x对应5x,记为定义域值域需要注意的是,f与是有所不同的:

f是对应关系,即函数,而则表示函数f在x处的值.另外,函数的表示与自变量和因变量所使用的字母是无关的,也不一定有表达式.是单调递增函数;如果对任意的都有1.单调函数1.2几种具有特殊性质的函数一个函数往往在其定义域中的某些区间上是递增的,如果对任意的都有是单调递减函数.单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.这样的区间称为函数的单调区间.而在另外的区间上是递减的,2.奇函数与偶函数如果对任意都有我们就说D关于原点对称.关于原点对称,而且的图形关于坐标系原点对称,即如果对任意就称函数为奇函数.都有则称为奇函数.关于原点对称,而且的图形关于y轴对称,即如果对任意就称函数为偶函数.都有则称为偶函数.3.周期函数如果存在正数T,使得对定义域中的任意x成立,

通常情况下,我们关心周期函数的最小正周期,就称函数为周期函数,T是一个周期.

也有例外的情况,例如常函数是周期函数,任意正数都是它的周期,因此它没有最小正周期.简称周期.有界无界4.有界函数yxoDyxoD有六个常见的有界函数:设是一元函数,如果

都存在唯一的使得

1.3反函数

则称函数f有反函数.

函数f的反函数记为函数的反函数可以记为也可以记为函数与的图像是相同的,与的图像关于直线对称.

1.4函数的表示

通常可以用集合,图表,数据对应,图形和解析称为显函数.

1.解析表达式(显函数)2.分段函数

一个函数在其定义域的不同部分可以有不同

表达式等表示函数.

的表达式,即所谓的分段函数.例1.1

符号函数xyo例1.2

分段函数例1.3取整函数表示不超过x的最大整数.如当阶梯曲线

定义域值域例1.4狄里克莱(Dirichlet)函数狄里克莱十分特殊:它是有界函数,偶函数,也是周期函数,以任意的正有理数为周期,由于没有最小的正有理数,也就没有最小正周期.另外,我们无法画出D(x)的图像.3.隐函数通常情况下,隐函数不一定能化成显函数.如果

都存在唯一的y,满足方程

则称y是由方程确定的x的隐函数.例如,1.幂函数1.5基本初等函数微积分中除了常数函数外最常见的函数分为五类,幂函数的定义域与的取值有关.称为基本初等函数,包括幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数.特别地，2.指数函数与对数函数

称为自然对数.特别地，记为定义域为值域为正弦函数3.三角函数与反三角函数该函数是奇函数.定义域值域反正弦函数该函数是奇函数.定义域为值域为余弦函数该函数是偶函数.定义域值域反余弦函数该函数非奇非偶.定义域值域正切函数定义域值域反正切函数定义域值域余切函数反余切函数定义域值域正割函数常用三角函数公式:余割函数和、差化积公式:积化和、差公式:1.6复合函数

设函数

的定义域为则称函数

为x的复合函数.x是自变量,u称为中间变量,y是因变量.注意:

复合函数可由两个以上的函数复合而成.函数的值域,设定义种形式多层复合得到.基本初等函数只有11种形式,复合函数的11种形式如下：简单的复合函数也只有11种形式,更复杂的复合函数则可以由这11其中

形如的函数称为幂指函数,

也是复合函数,幂指函数因

由常数函数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的函数,叫作初等函数.初等函数一定可以用一个解析式表示.1.7经济学中常用的函数

1.8极坐标系与极坐标方程

1.极坐标系在平面上取定一点O,

取定一个长度单位,称为极轴,称为极点,这样就组成了极坐标系.以O为起点作射线并平面上的任一点P都可用称为点P的极径,称为点P的极角,通常限定极角取值范围为

一对有序数`组确定:

直角坐标与极坐标有如下关系2.极坐标方程某些平面曲线用极坐标方程表示更为简单.例如,表示以原点为圆心,以a为半径的圆.表示以原点为起点,与x轴正向夹角为的一条射线.解例1.5将下列直角坐标方程化为极坐标方程:(1)由有解得极坐标方程为:(2)由有极坐标方程为:例1.6将下列