微积分 第3版 课件 第九章　常微分方程

解第九章微分方程与差分方程9.1常微分方程的基本概念设所求曲线方程为所求曲线方程为例9.1用水管以每分钟

的速度向长方形水池里注水，水池的底面积为.已知注水前水池里的水深为，求水深的表达式.解则，第九章微分方程与差分方程9.1常微分方程的基本概念求不定积分得例9.1用水管以每分钟

的速度向长方形水池里注水，水池的底面积为.已知注水前水池里的水深为，求水深的表达式.设为时刻水池里的水深，解因例2

验证是任意常

数)是二阶微分方程的解.故,

是原方程的解.解将例3

验证是任意常数)是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一个任意常数,原方程是一阶微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.许多情况下,我们关心微分方程满足一定条件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解当中.微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.例如,

都是方程的特解.这样的条件称为初始条件.

带有初始条件的微分方程问题称为初值问题或定解问题.例1的微分方程模型可以改写为:

常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.

在n阶微分方程中形如

的微分方程称为线性微分方程;为已知函数,

其中其它的都是非线性微分方程.都是线性微分方程,都是非线性微分方程.例如,

而

例4试指出下列微分方程的阶数,并说明它们是线性的还是非线性的?

解(1),(4),(6)为一阶微分方程;(2),(5)为二阶微分方程;(3)为三阶微分方程;其中(2),(3),(5),(6)是线性微分方程;(1),(4)是非线性微分方程.的微分方程,称为可分离变量的微分方程.2.解法1.定义分离变量9.2.1可分离变量的微分方程9.2一阶微分方程或可化为形如求得积分后,即得原微分方程的通解两端积分注意:如果

则常函数也是方程的一个解.

这样的解并没有包含在通解之中,称之为奇解.

解分离变量得两端积分得从而故原方程的通解为

而也是方程的一个解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分离变量两端积分原方程的通解为

整理得从而化简得解先求其通解,

分离变量,得两端积分,得例3

求解定解问题:整理得

原方程的通解为注意:得特解得特解得于是所求定解问题的特解为的一阶微分方程,称为齐次方程.1.定义9.2.2齐次方程例如,方程可化成是齐次方程.可化为形如分离变量,得两端积分2.解法作变量代换代入原方程,得求得积分后再将代入,即得原方程的通解.化为可分离变量的方程.则例4解方程解将方程改写成令于是上述方程化为即分离变量,得积分得原方程的通解为

则有解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得两端积分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解为即将代入,称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程.9.2.3一阶线性微分方程1.定义未知函数及其导数都是一次的微分方程通常称方程(9-4)是方程(9-3)所对应的齐次方程．

齐次方程的通解为(1)先解线性齐次方程使用分离变量法2.解法积分,得(2)再解线性非齐次方程设非齐次方程通解形式为

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的待定函数方法,称为常数变易法.积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程的特解或解此方程为一阶线性方程(1)先求对应的齐次方程变形方程为

积分,得对应的齐次方程通解为例6求微分方程

的通解.设原非齐次方程通解为代入原方程,得积分,得故,原方程通解为解原方程可化为设原方程通解为即例7求微分方程的通解.如果

与

是方程(1)的两个线性无关的特解,其中p,q为常数,称为二阶常系数齐次线性方程.9.3二阶常系数线性微分方程1.定义方程

则

就是方程(1)的通解.由线性微分方程解的结构理论:

称为方程(9-6)对应的二阶常系数齐次线性方程，9.3二阶常系数线性微分方程

二阶常系数非齐次线性方程的标准形式为其中不恒为零.而方程其中p,q为常数.一般地,我们称

称为特征方程,称的根为特征根.为方程(9-6)和(9-7)的特征多项式,

容易验证以下结论：齐次线下微分方程解的叠加原理,即如果y1(x),y2(x)是二阶齐次线性方程(9-7)的两个解,则y=y1(x)+y2(x)也是方程(9-7)的解.特别的,如果不恒等于常数(此时称y1(x)与

y2(x)线性无关),则y=y1(x)+y2(x)是方程(9-7)的通解,其中C1和C2是任意常数.(2)如果是二阶非齐次线性方程(9-6)的一个特解,Y是对应的齐次方程(9-7)的通解,则是二阶非齐次线性方程(9-6)的通解.是方程的解,和方程

则的解.(3)如果

故有9.3.1二阶常系数齐次线性方程解法做变量代换，代入方程（9-7）,得解得特征根为可得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为(1)若特征方程有两个不相等的实根特征根为(2)若特征方程有两个相等的实根得一特解故齐次方程的通解为特征根为设另一特解为于是(3)若特征方程有一对共轭复根故齐次方程的通解为特征根为用欧拉(Euler)公式:为了得到实数形式的解,得两个线性无关的特解及齐次方程解的叠加原理得特征方程常系数齐次线性方程通解的表达式特征根的情况实根复根实根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法,称为特征方程法.解特征方程为特征根为例1求方程的通解.故所求通解为解特征方程为特征根为故所求通解为例2求方程的通解.解特征方程为特征根为故所求通解为例3求方程的通解.解特征方程为特征根为所以方程的通解为练习

求解初值问题故所求特解为1.多项式这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为

其中

是m次多项式.因多项式的导数仍是多项式,我们猜测这类方程

的特解也是多项式.9.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程

例4求下列方程的一个特解:解(1)做两次积分取积分常数为零,得特解为设代入方程整理得

比较系数得即

比较方程两边次数,

应为2次多项式.则积分并取积分常数为零,得特解设,则代入方程得

整理得

比较系数得解得

特解为

应为2次多项式.为此只需要做变量代换

其中z是未知函数.

2.多项式与指数函数的乘积这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为其中是x的m次多项式,

是常数.注意到只要能消去指数ex即可归结为上一种情形.解令代入方程,整理得设则比较系数,得例5求方程的一个特解.

则解得原方程的一个特解为解(一)求对应齐次微分方程通解特征方程为特征根为对应的齐次方程通解例6求方程的通解,并求满足条件的特解.

(二)求非齐次微分方程通解特征多项式为

令原方程通解为因此,原方程的一个特解为得特解则原方程化为

其中即有解得所以,原方程满足初始条件的特解为(三)确定非齐次微分方程满足初始条件的特解求导得解特征方程为则例7求方程的通解.

特征根为对应的齐次方程通解令则代入方程,整理得设该方程特解为解得原方程的一个特解为原方程通解为令则或3.正弦和余弦这种类型方程的标准形式为

其中是x的m次实系数多项式,

p,q,是实常数.的解.的特解求法与前面的讨论完全相同,和由线性微分方程解的结构理论

的解实部和虚部分别是方程方程只不过加入了复数的运算,其求导法则与实数相同.故可设特解为

例8求方程的特解.解特征多项式为

则

代入原方程得于是原方程的特解为解得解原方程可化为第九章常微分方程习题课例1求方程的通解.

是可分离变量的微分方程.即分离变量,得两端积分故,原方程的通解为例2求方程的通解.

解原方程可化为是一阶线性微分方程.为所求通解.设例3求方程的通解.

解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得

分离变量得

两边积分

将代入,

得通解得求

例4设为可微函数,且满足解等