2025届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理的应用举例学案理含解析

PAGE第七节正弦定理和余弦定理的应用举例[最新考纲][考情分析][核心素养]能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题．可能是2024年的考查点，题型是选择题、填空题.1.数学建模2.数据分析3.直观想象‖学问梳理‖1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫eq\x(1)仰角，在水平线下方的角叫eq\x(2)俯角(如图①)．2．方位角从指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向eq\x(3)顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向eq\x(4)逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．►常用结论区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：某一正方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与eq\x(5)水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，eq\f(π,2).()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定视察点与目标点之间的位置关系．()(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√二、走进教材2．(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m答案：A3．(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在水平地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．答案：eq\f(\r(3),2)a三、易错自纠4．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°5.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它接着沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8eq\r(2)nmile，则此船的航速是______nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，由题意得，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，则v＝32.答案：32eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(测量距离问题))【例1】如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq\r(3)m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.[解析]由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，PA＝ABtan60°＝900，故PQ＝900，∴P，Q两点间的距离为900m.[答案]900►名师点津测量距离问题的实质和解题关键测量距离问题，无论题型如何改变，即两点的状况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知状况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．|跟踪训练|1.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，视察者找到一个点C，从C点可以视察到点A，B；找到一个点D，从D点可以视察到点A，C；找到一个点E，从E点可以视察到点B，C．测量得到：CD＝2，CE＝2eq\r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________．取cos48.19°＝eq\f(2,3)解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝2eq\r(2)，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝eq\f(CEsin60°,sin45°)＝3eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝10，解得AB＝eq\r(10).答案：eq\r(10)eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(测量高度问题))【例2】如图，一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶，到A处时测得马路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析]由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BCtan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．[答案]100eq\r(6)►名师点津求解高度问题的留意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)精确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，留意方程思想的运用．|跟踪训练|2.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)解析：选D在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).eq\a\vs4\al(\x(考点三)\a\vs4\al(测量角度问题))【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.依据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－2×10×12xcos120°，解得x＝2，故AC＝28，BC＝20.依据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14).►名师点津测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解．[提示]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必需先弄清晰是哪一个点的方向角．|跟踪训练|3．(2025届惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度肯定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，依据以上数据可得cosθ＝________．解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理，得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，依据正弦定理，得eq\f(50,sin