2024-2025学年新教材高中数学第3章函数3.1.3第1课时奇偶性的概念课后素养落实含解析新人教B版必修第一册

PAGE课后素养落实(二十三)奇偶性的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列说法中错误的个数为()①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图像关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图像肯定过坐标原点；④偶函数的图像肯定与y轴相交．A．4B．3C．2D．1C[由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝eq\f(1,x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y轴相交，所以④说法错误．故选C．]2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，则f(1)＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)A[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).故选A．]3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)B[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.故选B．]4．(多选题)下列函数为偶函数的是()A．y＝－|x| B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝－x2＋8AD[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选AD．]5．若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．1A[因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，化简得2x2(2a－1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).]二、填空题6．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)的值为________．0[∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(a)＋f(－a)＝0.]7．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m2[∵f(x)为偶函数，故m－2＝0，∴m＝2.]8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.－5[由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.]三、解答题9．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图像如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解](1)由于f(x)是奇函数，则其图像关于原点对称，其图像如图所示．(2)视察图像，知f(3)<f(1)．10．已知函数f(x)＝1－eq\f(2,x).(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值．(2)试推断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．[解](1)由已知g(x)＝f(x)－a，得g(x)＝1－a－eq\f(2,x).因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq\f(2,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a－\f(2,x)))，解得a＝1．(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调递增函数，证明如下：设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x2)))＝eq\f(2x1－x2,x1x2).由于x1－x2<0，x1x2>0，从而eq\f(2x1－x2,x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调递增函数．1．(多选题)下列四个选项中不正确的是()A．偶函数的图像肯定与y轴相交B．奇函数的图像在[a，b]，[－b，－a]上的单调性肯定相同C．偶函数的图像关于y轴对称D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过(－a，f(a))AD[偶函数的图像肯定关于y轴对称，但不肯定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图像与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的．奇函数的图像关于原点对称，若在[a，b]内单调递增(单调递减)，则在[－b，－a]内也为单调递增(单调递减)，故B正确．若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像上，则点(－a，－f(a))也在其图像上，故D是错误的．]2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．21 B．－21C．26 D．－26B[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．]3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－c，则c＝________，f(－2)＝________.1－3[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x－c，所以f(0)＝1－c＝0，所以c＝1，又当x≥0时，f(x)＝2x－1，所以f(2)＝3，又由函数f(x)为奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3.]4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．[－6，－3)∪(0,3)[由f(x)在[0,6]上的图像知，满意f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．]已知函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．[解]因为函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故eq\f(a－x2＋1,b－x＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，即eq\f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.所以f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx).而f(1)＝eq\f(a×12＋1,b×1)＝eq\f(a＋1,b)＝3，所以a＋1＝3b. ①由f(2)＝5，即eq\f(