2024-2025学年北京171中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京171中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y−3=0的倾斜角为A.45° B.60° C.120° D.135°2.已知圆C的方程为x2+y2A.(1,0)与5 B.(1,0)与5 C.(−1,0)与5 D.(−1,0)与3.圆C1：x2+yA.相交 B.相离 C.内切 D.外切4.圆x2+(y+2)2=4与直线3x+4y+2=0相交于A，B两点，则线段A.4x+3y+6=0 B.3x+4y+8=0 C.4x−3y−6=0 D.4x−3y+6=05.“a=−1”是“直线l1：ax+4y−3=0与直线l2：x+(a−3)y+2=0”平行的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为(

)A.8 B.9 C.8.5 D.9.57.已知P为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.35 B.45 C.548.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1A.12

B.8

C.6

D.49.设动直线l与⊙C：(x+1)2+y2=5交于A，B两点.若弦长|AB|A.x+2y=a B.ax+y=2a C.ax+y=2 D.x+ay=a10.曲线C：x3+y3=1.给出下列结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；

③曲线C只经过2个整点(即横、纵坐标均为整数的点)．A.①② B.② C.②③ D.③二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线l1：2x−y+1=0与直线l2：2x−y−1=0之间的距离为______．12.已知空间a=(2,3,1)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则13.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E是C′D′的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为______．14.由直线y=x+1上的一点向圆(x−3)2+y15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，他们的月收入均在[1000,4000)内.现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000,1500)内)

(1)求某居民月收入在[3000,4000)内的频率；

(2)根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数；

(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，需再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人作进一步分析，则应从月收入在[3000,3500)内的居民中抽取多少人？17.(本小题12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点．

(1)求证：BC1//平面AED1；18.(本小题12分)

已知圆C的圆心在直线2x−y=0上，且与x轴相切于点(1,0)．

(Ⅰ)求圆C的方程；

(Ⅱ)若圆C直线l：x−y+m=0交于A，B两点，_____，求m的值．

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2：1；

条件②：|AB|=22；

条件③：∠ACB=90°19.(本小题12分)

已知F1、F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，F2(2,0)，点P在椭圆C上且满足|PF1|+|PF2|=26．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

20.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=m，E是PB的中点．

(1)证明：AE⊥平面PBC；

(2)若二面角C−AE−D的余弦值是33，求m的值；

(3)若m=2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE，若存在，确定F21.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P(x,y)，定义|OP|=|x|+|y|.任取点A(x1,y1)，B(x2,y2)，记A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此时|OA|2+|OB|2≥|OA′|2+|OB′|2成立，则称点A，B相关．

(Ⅰ)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①A(−2,1)，B(3,2)；②C(4,−3)，D(2,4)．

(Ⅱ)给定n∈参考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.B

9.D

10.C

11.212.213.1014.715.516.解：(1)由频率分布直方图可知，居民月收入在[3000,4000)内的频率为(0.0002+0.0003)×500=0.25．

(2)由频率分布直方图可知，0.0001×500=0.05，0.0004×500=0.20，0.0005×500=0.25，

从而有0.0001×500+0.0004×500+0.0005×500=0.5，

所以可以估计居民的月收入的中位数为2500元．

居民月收入在[3000,4000)内的频率为

(3)由频率分布直方图可知，居民月收入在[3000,3500)内的频率为0.0003×500=0.15，

所以这10000人月收入在[3000,3500)内的人数为0.15×10000=1500，再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人，

则应从月收入在[3000,3500)内居民中抽取100解：(1)证明：在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点，

∴AB//C1D1，且AB=C1D1，

∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1//AD1，

∵BC1⊄平面AED1，AD1⊂平面AED1，

∴BC1//平面AED1；

(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则A1(0,0,2)，A(0,0,0)，D1(2,0,2)，E(0,2,1)，

则AA1=(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，AE=(0,2,1)，

设平面AED1的一个法向量为n=(x,y,z)18.解：(Ⅰ)设圆心坐标为C(a,b)，半径为r．

由圆C的圆心在直线2x−y=0上，知：2a=b．

又∵圆C与x轴相切于点(1,0)，

∴a=1，b=2，则r=|b−0|=2．

∴圆C圆心坐标为(1,2)，则圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4；

(Ⅱ)如果选择条件①：∠ACB=120°，而|CA|=|CB|=2，

∴圆心C到直线l的距离d=1，

以d=|1−2+m|1+1=1，

解得m=2+1或m=−2+1．

如果选择条件②；|AB|=22，而|CA|=|CB|=2，

∴圆心C到直线l的距离d=2，

则d=|1−2+m|1+1=2，

解得m=−1或3．

如果选择条件19.解：(Ⅰ)由c=2，2a=26，

又a2=b2+c2，

解得a2=6，b2=2，

所以椭圆C方程为x26+y22=1，

(2)设直线l的方程为y=x+m，

由x26+y22=1y=x+m得：4x2+6mx+3m2−6=0，

Δ=−12m2+96>0，得m2<8，

解得−22<m<22，

设A(x1,y20.解：(1)证明：因为AD⊥平面PAB，BC//AD，

所以BC⊥平面PAB，

又因为AE⊂平面PAB，

所以AE⊥BC，

在△PAB中，PA=AB，E是PB的中点，

所以AE⊥PB，

又因为BC∩PB=B，

所以AE⊥平面PBC．

(2)因为

AD⊥平面PAB，

所以AD⊥AB，AD⊥PA，

又因为

PA⊥AB，

所以分别以AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,m)，E(1,1,0)，P(2,0,0)，D(0,0,3)，

AC=(0,2,m)，AE=(1,1,0)，

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=0n⋅AE=0，即

2y+mz=0,x+y=0.，

令x=1，则y=−1，z=2m，

所以n=(1,−1,2m)，

因为AD⊥平面PAB，

所以AD⊥PB，

又PB⊥AE，AD∩AE=A，

所以PB⊥平面AED，

又因为PB=(−2, 2, 0)，

所以取平面AED的法向量为m=(−1,1,0)，

所以|cos<n,m>|=|n⋅m||n|⋅|m|=33，即|−1−1|2⋅2+4m2=33，

解得m21.解：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)相关，不妨设x1，y1，x2，y2≥0，

则(x1+y1)2+(x2+y2)2≥(x1+y2)2+(x2+y1)2，

∴(x1−x2)(y1−y2)≥0，