河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷 含解析

2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科命题人：陈雅梦审核人：毋小艳郑州市第一〇一中学考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合交集定义求解即可．【详解】因为，，所以.故选：B2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即，解不等式即可求解.【详解】由，则，解得且，所以函数的定义域为故选：B3.已知p：，q：，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解方程和，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由，得或，由，得或，因为或成立推不出或成立，反之也不成立，所以既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.故选：D4.若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由得：，即，由解得：，由，排除BC．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D．故选：A5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】，即，解得或，令，则的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，又是增函数，在上单调递减，在上单调递增.故选：B.6.若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，要使函数是R上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数是R上的增函数，所以，解得：，故选：.7.已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解.【详解】设且，对任意，都有即，,，，又当时,，,在上是增函数，令,则,令,，则，，结合的定义域为，且在上是增函数，又恒成立，，，不等式的解集为，故选：B.8.已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案.【详解】，即，故函数在上单调递增，是上的奇函数，故是上的偶数，，，.，故.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数，使B.“”是“”的充分不必要条件C.命题“”的否定是假命题D.“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件【答案】BD【解析】【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确；【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误；对于B，若，则，充分性成立，若，如，此时，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于C，命题“”的否定是，由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误；对于D，若集合中只有一个元素，当时，；当时，可得，所以必要性成立，故D正确；故选：BD.10.已知正实数满足，则下列说法不正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为2C.的最大值为2 D.的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC，利用乘“1“法即可判断D，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A，因为，所以，因为为正实数，所以，解得：，，由二次函数的性质可知的无最大值，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以的最大值为1，故C错误；对于D，因为，所以，，当且仅当，即时取等，故D正确.故选：AC.11.给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（）A.函数值域为B.函数是偶函数C.函数在上单调递增D.函数图象关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】根据的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据的定义知函数的定义域为,又，则即所以故函数值域为，正确；函数的图象如下图所示，有图可知函数是偶函数，正确；函数上有增有减，错误；由图可知的图象关于对称，正确.故选：三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】3【解析】【分析】将代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为，所以.故答案为：3.13.已知函数，计算_________．【答案】【解析】【分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由，得，所以.故答案为：.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若，则的最大值为②当时，函数的最大值为1③若正数满足，则的最小值为④若为不相等的正实数，满足，则【答案】③④【解析】【分析】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得，再利用基本不等式计算即可得；对③：由可得，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由可得，再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①：由，则，故当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故①错误；对②：，当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为，故②错误；对③：由，故，又为正数，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故③正确；对④：若为不相等的正实数，满足，则由，则，又为不相等的正实数，故，则，当且仅当，或，时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果；（2）由平方可得的值，再对平方可得的值，代入即可得出答案.【详解】（1）（2），16.设全集，集合.（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】分析】（1）得到集合后，结合并集定义即可得，结合交集与补集定义即可得；（2）由可得，分及计算即可得解.小问1详解】当时，，则，或，故；【小问2详解】因为，所以，若，则，即，若，则，无解；综上，当时，的取值范围是.17.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）当时，（i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；（ii）解关于的不等式.【答案】（1）（2）（i）；（ii）答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.(2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意，关于的方程的两个根为1和2，于是得，解得，所以.【小问2详解】当时，，（i）函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，则，解得，所以实数的取值范围是；（ii）不等式为，即，当时，解得或，当时，解得，当时，解得或，综上可知，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为，所以；【小问2详解】当时，，由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，当时，，由不等式性质可知，当且仅当，即时，等号成立，所以，综上当时，.19.已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设．（1）求的值;（2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围;（3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.小问1详解】解:由题知,因为,所以为开口向上的抛物线,且有对称轴为,所以在区间上是单调增函数,则,即,解得;【小问2详解】由(1)得,则,因为在上有解,即,使得成立,因为,所以有成立,令,因为,所以,即,使得成立,只需即可,记,因为,得,所以k的取值范围是;【小问3详解】因为有三个不同实数解,即有三个不同的根,令,则,则图象是由图象先向下平移一个单位,再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个的函数