湖南省郴州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省郴州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈N∣2x2−x−15≤0,B=A.{x∣−1≤x≤1} B.{0,1}

C.{−1,0,1} D.{1}2.已知集合A={z|z=in+1inA.1 B.2 C.3 D.43.已知向量a=1,2，向量b满足b=2，若a⊥b，则向量a−A.255 B.54 4.已知a，b均为正实数，且满足1a+3b=2，则A.2 B.22 C.25.设a，b为正实数，则“a>b”是“2a>log2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数fx=sin2xA.−π2,−π3 B.−π7.已知过点Pa+1,b+1的直线l与圆M:(x−a)2+(y−b)2=4交于A.23 B.3 C.8.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息(复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息)，则该学生家长每年的偿还金额是(

)A.

am B.ap(1+p)m+1(1+p)m+1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人为第一轮传染，第一轮被传染的R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染，….假设某种传染病的基本传染数R0=4，平均感染周期为7A.第三轮被传染人数为16人

B.前三轮被传染人数累计为80人

C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列

D.被传染人数累计达到1000人大约需要35天10.已知双曲线C：x2a2−y2=1a>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为AA.双曲线C的离心率e=233

B.PA⋅PB为定值

C.|AB|的最小值为3

D.若直线y=k1x+m与双曲线C的渐近线交于M、N两点，点D为11.已知f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.f(x)=2sin4x+π3

B.|f(x)|的

最小正周期为π2

C.不等式f(x)≥1的解集为x|−π24+kπ2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx满足fx=fx+4，当x∈−1,3时，fx=2x+a，且13.某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第3分钟时，他距地面大约为

米.

14.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且NM=xAB+yAD+zAP，PM=2MC，PN=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinBsinA+sinAsinB−4cosC=0．

(1)证明：a2+b2=216.(本小题15分)已知数列an满足a(1)求an(2)求数列an2n+2的前n项和T17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点．

(1)证明：若DM=2MP，直线MN//平面PAB;

(2)求二面角C−PD−N的正弦值;

(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26?若存在，求出PMPD的值;若不存在，说明理由．18.(本小题17分)

如图，已知椭圆C1:x22+y2=1，双曲线C2:x22−y2=1(x>0).P是C1的右顶点，过P作直线l1分别交C1和C2于点A，C，过(Ⅰ)若直线AB过椭圆C1的右焦点，求k1(Ⅱ)若k1⋅k219.(本小题17分)已知函数fx=ae(1)当a=1时，判断函数fx在区间−(2)令gx=f′x，若函数gx在区间(3)求证：当a≥1时，fx≥0．参考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.−7,−5∪13.25

14.2315.(1)证明：由正弦定理及条件可得ba+ab−4cosC=0，

由余弦定理可得b2+a2ab−4⋅a2+b2−c22ab=0，

整理得：a2+b2=2c2，得证；

(2)解：由余弦定理得

cosB=a16.解：(1)当n=1时，a1当n≥2时，由a1+a则ann=n⋅因为a1也符合上式，所以a(2)由(1)可知，an则Tn则2T两式相减得−T则Tn

17.解：(1)证明：如图所示，在线段AD上取一点Q，使AQ=13AD，连接MQ，NQ，

∵DM=2MP，∴QM//AP，

又AD=3，AB=BC=2，AD/​/BC，点N为BC的中点，

∴AQ//BN且AQ=BN，四边形ABNQ为平行四边形，

∴NQ//AB，又NQ∩MQ=Q，AB∩AP=A，

∴平面MNQ/​/平面PAB，

∵MN⊂平面MNQ，

∴MN/​/平面PAB;

(2)如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，

又N是BC中点，则N(2,1,0)，

所以PD=(0,3,−3)，CD=(−2,1,0)，DN=(2,−2,0)，

设平面PCD的法向量n1=(x1,y1,z1)，则PD⋅n1=3y1−3z1=0,CD⋅n1=−2x1+y1=0,

令x1=1，则n1=(1,2,2)，

设平面PND的法向量n2=(x2,y2,z2)，

则PD⋅n2=3y2−3z2=0,DN⋅n2=2x2−2y2=0,令x2=1，则n218.解：(Ⅰ)依题意AB斜率不为0，P点坐标为P2,0，椭圆C1的右焦点为(1,0)

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB方程为x=my+1，

联立直线AB与椭圆方程x=my+1x22+y2=1，

消去x得(m2+2)y2+2my−1=0，

Δ=4m2+4(m2+2)=8m2+8>0恒成立，

y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2，

x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，

x1x2=(my1+1)(my2+1)=−2m2+2m2+2，

所以k1⋅k2=y1x1−2·y2x2−2=y1y2x1x2−2(x1+x2)+2=−3+219.解：(1)a=1时，fx显然，f′x在区间−所以f′x<f′0所以fx在区间−(2)gx=f′x即g′x=ae令aex+2记ℎx=−2cosxexℎ′x易知ℎ′x>0在0,π2