2024-2025学年重庆市乌江新高考协作体高三（上）调研数学试卷（10月份）（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市乌江新高考协作体高三（上）调研数学试卷（10月份）（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有(    )个元素．A.15 B.16 C.17 D.182.若直线y=2x是曲线f(x)=x(e2x−a)的切线，则a=A.−e B.−1 C.1 D.e3.已知tanα=2，则1+cos2αA.2 B.12 C.−2 D.4.若A(1,0)，B(0,b)，C(−2,−2)三点共线，则b=(

)A.−23 B.−32 C.5.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是(

)

A.由图1和图2面积相等得d=2aba+b

B.由AE≥AF可得a2+b24≥a+b26.已知设z=x+yi(x,y∈R)，则|(x−3)+(y+3)i|=2，则|z+1|的最小值为(

)A.3 B.4 C.5 D.67.若数列{an}为正项等比数列，a3=1，数列{bn}为公差为6，首项为1A.1874 B.1674 C.14748.设a=tan0.21，b=ln1.21，c=2122，则下列大小关系正确的是(

)A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a9.已知非零向量a,b,cA.若a(b⋅c)=0，则b⊥c

B.若(a+b)⊥(a−b10.已知m，n∈(0,1)∪(1,+∞)，若logm2=11−2a，A.若a=2，则mn=2 B.若a>2，则mn>2

C.若mn=1，则a=1 D.若mn>1，则a>111.已知{cosα,cos2α,cos3α}={sinα,sin2α,sin3α}，则α可以是(

)A.π8 B.−3π8 C.−12.1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数到更高的维次(复数可视为平面上的点).他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿立刻将此方程刻在BrougℎantBridge.对四元数u=a+bi+cj+dk，a，b，c，d∈R的单位i，j，k，其运算满足：i2=j2=k2=−1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=−k，kj=−i，ik=−j；记u−=a−bi−cj−dk，N(u)=uA.集合{1,i,j,k}的元素按乘法得到一个八元集合

B.若非零元u，v∈V，则有：u−1vu=v−1

C.若u，v∈V，则有：N(uv)=N(u)N(v)

D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若函数f(x)=x2−4ax−3在区间(−4,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

14.若f(x)=asin(x+π6)+3sin(x+π315.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A，B中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入B中，直到无法继续游戏.那么游戏结束时B中没有糖的概率是______．16.已知a>0，如果有且仅有四个不同的复数z，同时满足|(z−1)(z+1)2|=a和|z|=1，则a三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10分）已知函数f(x)=log21−x1+x．

(1)判断并证明f(x)的奇偶性；

(2)若对任意x∈[−13,1318.（12分）海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：时刻：x(时)03.16.29.312.415.518.621.724水深：y(米)5.07.45.02.65.07.45.02.64.0(1)根据以上数据，可以用函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<π2)来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；

(2)某条货船的吃水深度(水面高于船底的距离)为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据19.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=33sinC+cosC．

(1)求角B；

(2)若D是△ABC边AC上的一点，且满足20.（12分）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．

(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ近似为样本标准差s．

(i)利用该正态分布，求P(250.25<X<399.5)；

(ii)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)．

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9973．

(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都是12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(n,0)的概率为Pn(1≤n≤60)，试证明数列{Pn21.（12分）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanC=3tanB．

(1)若a=2b，求C；

(2)若a=6，b+c=3，求△ABC的面积．22.（12分）设函数f(x)=2ex+2sinx−(a+1)x，

(1)当a=1时，求f(x)在[0,+∞)上的最小值；

(2)若g(x)与f(x)关于y轴对称，当x≥0时，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.ABD

10.ABC

11.B

12.ACD

13.(−∞,−2]

14.−15.11716.(0,1617.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下：

由解析式易知1−x1+x>0⇒(x−1)(x+1)<0⇒−1<x<1，函数定义域为(−1,1)，

而f(−x)=log21+x1−x=−log21−x1+x=−f(x)，故f(x)为奇函数．

(2)由m=1−x1+x=21+x−1在x∈[−13,13]上为减函数，

而y=log2m在定义域上为增函数，所以f(x)在x∈[−13,13]18.解：(1)由表格中的数据知，y的最大值为7.4，最小值为2.6，

所以A+b=7.4−A+b=2.6，解得A=2.4，b=5，

由题意知T=12.4−0=12.4，

所以ω=2πT=2π12.4=5π31，

所以y=2.4sin(5π31x+φ)+5，

将点(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sin(5π31×3.1+φ)+5，

所以5π31×3.1+φ=π2+2kπ,k∈Z，

解得φ=2kπ，k∈Z，

又因为|φ|<π2，所以φ=0，

所以y=2.4sin5π31x+5,0≤x<24．

(2)货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米，

所以进港条件为y≥6.2．

令2.4sin5π31x+5≥6.2，

即sin5π31x≥12，

所以π6+2kπ≤5π31x≤5π6+2kπ,k∈Z，

解得3130+62k5≤x≤316+62k5,k∈Z，

因为0≤x<24，

所以k=0时，3130≤x≤316，

k=1时，40330≤x≤52719.解：(1)因为ab=33sinC+cosC，可得a=33bsinC+bcosC，

由正弦定理可得sinA=33sinBsinC+sinBcosC，

所以sinA=sin[π−(B+C)]=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC，

所以sinBcosC+cosBsinC=33sinBsinC+sinBcosC，

可得cosBsinC=33sinBsinC，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，

则cosB=33sinB，tanB=3，

又因为0<B<π，

所以B=π3；

(2)因为BA⋅BD|BA|=BD⋅BC|20.解：(1)x−≈205×0.1+255×0.2+305×0.45+355×0.2+405×0.05=300．

(2)(i)P(250.25<X<399.5)=0.6827+0.9545−0.68272=0.8186．

(ii)∵Z服从二项分布B(20,0.8186)，

∴E(Z)=20×0.8186=16.372．

(3)当3≤n≤59时，Pn=12Pn−1+12Pn−2，Pn−Pn−1=−12(Pn−1−Pn−2)，

P1=12，P2=12×1221.解：(1)因为tanC=3tanB，

所以sinCcosC=3sinBcosB，则sinCcosB=3sinBcosC，

因为a=2b，由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

所以2sinB=4sinBcosC，由B为三角形内角，故sinB≠0，

所以cosC=12，又0<C<π，

故C=π3；

(2)由(1)知，sinCcosB=3sinBcosC，

则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

由正弦定理可得a=4bcosC，

由a=6，且cosC=a2+b2−c22ab=6+b2−c226b22.解：(1)a=1时，函数f(x)=2ex+2sinx−2x，f′(x)=2ex+2cosx−2，

当x∈[0,π2]时，2ex≥2，2cosx≥0，所以f′(x)≥2+0−2=0，函数f(x)单调递增；

当x∈(π2,+∞)时，2ex>2eπ2>4，2cosx≥−2，所以f′(x)>4−2−2=0，函数f(x)单调递增；

所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，最小值为f(0)=2；

(2)因为g(x)与f(x)关于y轴对称，所以g(x)=f(−x)=2e−x−2sinx+(a+1)x，

设ℎ(x)=f(x)−g(x)=2ex−2e−x+4sinx−2(