专题03空间向量基本定理4种常见考法归类（原卷版）

专题03空间向量基本定理4种常见考法归类1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？[提示](1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．(2)唯一确定．2．空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→)).推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．3．正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．4．对基底和基向量的理解(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．5．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．6．基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．7．用基底表示向量的三个步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．8．用向量法证明线线平行与垂直(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．9．基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤(1)设出基向量．(2)用基向量表示出直线的方向向量．(3)用|a|＝eq\r(a·a)求长度，用a·b＝0⇔a⊥b，用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求夹角．(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．10．用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？考点一基底的判断考点二用基底表示向量考点三利用空间向量基本定理求参数考点四空间向量基本定理的应用（一）利用空间向量基本定理证明位置关系（二）用基底法求空间向量的数量积（三）利用空间向量基本定理求距离、夹角考点一基底的判断1．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（

）A．，，两两不共线，但两两共面B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得C．，，能构成空间另一个基底D．若，则实数，，全为零2．【多选】（2023·高二课时练习）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．已知，则，与任何向量都不构成空间的一组基C．若，，不构成空间的一组基，那么空间四点共面；D．设是空间的一组基，则也是空间的一组基3．【多选】（2023·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．（2023春·河南开封·高二统考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（

）A． B． C． D．5．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（）A． B． C． D．7．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．8．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A． B．C． D．考点二用基底表示向量9．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（

）

A． B．C． D．10．（2023秋·高一单元测试）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（

）A． B．C． D．11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥PABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（

）A． B． C． D．12．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．13．（2023秋·广西百色·高二统考期末）在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（

）A． B．C． D．14．（2023春·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．15．（2023·江苏·高二专题练习）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则．（用，，表示）16．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．17．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（

）

A． B．C． D．18．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

考点三利用空间向量基本定理求参数19．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）

A．1 B．2C． D．20．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B．1 C． D．21．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（

）A． B． C． D．22．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则，．23．（2023·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，是底面的中心，是侧面对角线上的分点．

(1)化简，并在图中标出其结果．(2)设，试求，，的值．24．（2023·江苏·高二专题练习）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（

）A． B．C． D．25．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则．浙江省七彩阳光联盟20232023学年高二上学期期中数学试题）在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是．考点四空间向量基本定理的应用（一）利用空间向量基本定理证明位置关系27．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．28．（2023·全国·校联考一模）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．29．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．30．（2023·高二单元测试）如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．(1)用，，表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．31．（2023春·浙江杭州·高二统考期末）如图，在四面体中，，，，，．

(1)求证：、、、四点共面．(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．32．（2023春·江西宜春·高二灰埠中学校考期末）在四棱柱中，，，，.

(1)当时，试用表示；(2)证明：四点共面；(3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由.（二）用基底法求空间向量的数量积、投影向量33．（2023·全国·高一假期作业）棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．34．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为．35．（2023秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图，在正四面体中，是棱的中点，，分别记为．(1)用表示；(2)若，求．36．（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．（三）利用空间向量基本定理求距离、夹角37．（2023·高二单元测试）如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．1038．（2023春·江苏泰州·高二统考期末）已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则（

）A． B．2 C． D．39．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段.40．（2023·全国·高一专题练