35利用导数证明不等式（精练）-2023年高考数学（新高考地区）（原卷版）

3.5利用导数证明不等式【题型解读】【题型一构造单函数证明不等式】1.（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数g(x)＝x3＋ax2.(1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围；(2)已知a>－1，x>0，求证：g(x)>x2lnx.2．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数f(x)＝1－eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥eq\f(2,x).【题型二构造双函数比较最值证明不等式】1.（2022·山东青岛高三期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求、的值；（2）证明：当，且时，．2．（2022·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝eq\f(x2＋mx＋1,ex)(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋lnx)＋eq\f(1,ex)＞f(x)－xf(1)．【题型三放缩法证明不等式】1.（2022·河南高三期末）已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若a＝1，求证：当x>0时，f(x)<e2x－x2－2．2．（2022·广东·高三期末）已知函数f(x)＝aex－lnx－1．(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值并求f(x)的单调区间；(2)求证：当a＝eq\f(1,e)时，f(x)≥0．【题型四双变量不等式证明】1.（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝eq\f(a,x－1)＋lnx．(1)若函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，＋∞))内有极值，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，对任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求证：f(t)－f(s)>e＋2－eq\f(1,e)．2.（2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋alnx(a>0)．(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)>eq\f(－3－2ln2,4)．3.（2022·全国高三课时练习）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当，,为两个不相等的正数，证明：．【题型五数列不等式证明】1.（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f(x)＝ln(1＋x)．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，eq\f(x,1＋x)<f(x)<x；(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈N*，eq\r(e)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n2)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,n2)))<e．2.（2022·江