湘教版七年级数学上册专项素养巩固训练卷(十)四种数学思想在线段和角度计算中的应用课件

专项素养巩固训练卷(十)四种数学思想在线段和角度计算中的应用(练方法)类型一分类讨论思想1.(★★☆)如图,已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从点A出发,

以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动.

(1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时,点P在数轴上表示的数是

.(2)另一动点R从点B出发,以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R

同时出发,则点P运动多长时间追上点R?(3)若M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变

化?若发生变化,请你说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度.

第1题图解析

(1)因为点A,B表示的数分别为6,-4,所以AB=10,因为PA=PB,点P在数轴上,所以PA=PB=5,所以点P表示的数是6-5=1.(2)设点P运动x秒后追上点R,则6x-4x=10,解得x=5,所以点P运动5秒后追上点R.(3)线段MN的长度不发生变化.易知分两种情况:点P在A、B之间运动时,如图,

MN=MP+NP=

AP+

BP=

(AP+BP)=

AB=5;点P运动到点B左侧时,如图,

MN=MP-NP=

AP-

BP=

(AP-BP)=

AB=5.综上所述,线段MN的长度不发生变化,其长度为5.归纳总结对于动点问题,一般用点运动的速度乘运动时间等于运动的路程

来表示线段的长度.2.(2024河南郑州期末,25,★★☆)已知:如图①,点A、O、B在直线MN上,现将射

线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转,同时射线OB绕点O沿逆时针方

向以每秒4°的速度旋转,如图②,设旋转时间为t秒(0≤t≤90).(1)用含t的代数式表示∠MOA和∠NOB的度数.(2)在运动过程中,当∠AOB第二次达到60°时,求t的值.(3)在旋转过程中是否存在这样的t,使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线

ON中的两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线?如果存在,请直接

写出t的值;如果不存在,请说明理由.

①②

第2题图解析

(1)∠MOA=2t°,当0≤t≤45时,∠NOB=4t°,当45<t≤90时,∠NOB=360°-4t°=(360-4t)°.(2)如图:

根据题意知∠AOM=2t°,∠BON=4t°,当∠AOB第二次达到60°时,∠AOM+∠BON-∠MON=60°,即2t+4t-180=60,解得t=40,故当t=40时,∠AOB第二次达到60°.(3)存在.射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的两条组成的角的平分线,

分以下三种情况:①OB平分∠AOM时,有

∠AOM=∠BOM,所以t=180-4t,解得t=36;②OB平分∠MON时,有∠BOM=

∠MON,所以∠BOM=90°,所以4t=90或4t-180=90,解得t=22.5或t=67.5;③OB平分∠AON时,有∠BON=

∠AON,所以4t=

(180-2t),解得t=18.综上,当t的值为18、22.5、36或67.5时,射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON

中的两条组成的角的平分线.类型二方程思想3.(2024吉林四平铁西期末,19,★☆☆)已知一个角的余角比它的补角的

还少5°,求这个角的度数.解析设这个角的度数是x°,则90-x=

(180-x)-5,解得x=27.故这个角的度数是27°.4.(★★☆)如图,C,D,E将线段AB分成2∶4∶4∶6四部分,M,P,Q,N分别是AC,CD,

DE,EB的中点,且MN=24,求线段PQ的长度.

第4题图解析设AC=2x,则CD=DE=4x,BE=6x,因为M,N分别是AC,BE的中点,所以MC=

AC=x,EN=

EB=3x,因为MN=24,所以x+4x+4x+3x=24,解得x=2,所以CD=DE=4x=8,因为P,Q分别是CD,DE的中点,所以DP=

CD=4,DQ=

DE=4,所以PQ=DP+DQ=4+4=8.类型三整体思想5.(★★☆)如图,O是直线AB上的一点,C是直线AB外的一点,OD是∠AOC的平分

线,OE是∠COB的平分线.

(1)已知∠1=23°,求∠2的度数.(2)无论点C的位置如何改变,图中是否存在一个角,它的大小始终不变(∠AOB除

外)?如果存在,求出这个角的度数;如果不存在,请说明理由.

第5题图解析

(1)因为OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线,所以∠2=∠DOC,∠1=∠COE.因为∠AOC+∠COB=180°,所以∠2+∠COD+∠1+∠COE=2(∠1+∠2)=180°,所以∠1+∠2=90°.因为∠1=23°,所以∠2=67°.(2)存在,∠DOE的度数始终不变,为90°.因为OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线,所以∠2=∠COD,∠1=∠COE.因为∠AOC+∠COB=180°,所以∠2+∠COD+∠1+∠COE=2(∠COD+∠COE)=180°,所以∠COD+∠COE=90°,即∠DOE=90°.类型四数形结合思想6.(2024湖北襄阳谷城期末,23,★★☆)如图,已知点B在线段AC上,点D在线段AB

上.(1)如图①,若AB=6cm,BC=4cm,D为线段AC的中点,求线段DB的长度.(2)如图②,若BD=

AB=

CD,E为线段AB的中点,EC=12cm,求线段AC的长度.

第6题图解析

(1)因为AC=AB+BC,AB=6cm,BC=4cm,所以AC=6+4=10(cm).因为D为线段AC的中点,所以DC=

AC=

×10=5(cm),所以DB=DC-BC=5-4=1(cm).(2)设BD=xcm,因为BD=

AB=

CD,所以AB=4BD=4xcm,CD=3BD=3xcm,因为CD=BD+BC,所以BC=CD-BD=3x-x=2x(cm),因为AC=AB+BC,所以AC=4x+2x=6x(cm),因为E为线段AB的中点,所以BE=

AB=

×4x=2x(cm),因为EC=BE+BC,所以EC=2x+2x=4x(cm),又因为EC=12cm,所以4x=12,解得x=3,所以AC=6x=6×3=18(cm).7.(★★☆)(1)如图所示,线段AB=4,点O是线段AB上一点,C,D分别是线段OA,OB的中点,小

明很轻松地求得CD=2,小明是怎样求出来的?(2)小明突发奇想:若点O运动到线段AB的延长线上,其他条件不变,原有的结论

“CD=2”是否仍然成立?请帮助小明画出图形并说明理由.

第7题图解析

(1)因为C,D分别是线段OA,OB的中点,所以OC=

OA,OD=

OB,所以CD=OC+OD=

(OA+OB)=

AB=2.(2)当点O在线段AB的延长线上时,原有的结论“CD=2”仍然成立.理由如下:如图所示,

因为C,D分别是线段OA,OB的中点,所以OC=

OA,OD=

OB,所以CD=OC-OD=

(OA-OB)=

AB=

×4=2.8.(2024广东汕头澄海期末,23,★★☆)如图①,已知点O为直线AB上一点,∠COD

=90°,OE平分∠BOD.

(1)若∠COE=25°,则∠BOC的度数为

.(2)请判断∠AOD与∠COE的数量关系,并说明理由.(3)在(2)的基础上,如图②,在∠AOD的内部作射线OF,使OF平分∠AOD,若∠BOC=3∠DOF,求∠DOE的度数.

第8题图解析

(1)因为∠COD=90°,∠COE=25°,所以∠DOE=90°-25°=65°,因为OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE=65°,所以∠BOC=∠BOE-∠COE=65°-25°=40°.故答案为40°.(2)∠AOD=2∠COE.理由如下:设∠COE=x,因为∠COD=90°,所以∠DOE=90°-x,因为OE平分∠BOD,所以∠BOD=2∠DOE=2(90°-x)=180°-2x,所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-(180°-2x)=2x,所以∠AOD=2∠COE.(3)由(2)