2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题25 图形面积的计算含答案

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题25图形面积的计

算

阅读与思考

计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型：

।.常见图形面积的计算

由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解.

2.非常规图形面积的计算

非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规

图形面积的和或差来表示.

计算图形的面积还常常用到以下知识：

（1）等底等高的两个三角形面积相等.

（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比.

（3）等高的两个三角形面根的比等于对应底的比.

（4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积.

（5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积.

（6）平行四边形的对角线平分它的面积.

熟悉如下基本图形：

例题与求解

［例1］如图，在直角△A8C的两直角边AC,8c上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W,

连接GW,若AC=14,8c=28,则SZ\AG“U.

（2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题）

解题思路：△AGW的面枳可以看做△AG"和的面积之差.

【例2】如图，己知△/WC中的面积为24,点D在线段AC上，点尸在线段的延长线上，且BC=4b.

四边形8DCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

（2013年全国初中数学竞赛广东试题）

解题思路：设4A5c底边5c上的高为/?.本例关键是通过适当变形找出〃和DE之间的关系.

【例3】如图，平行四边形A8C。的面积为30cm2,E为AO边延长线上的一点，仍与。C交于F

点，已知三角形FBC的面积比三角形OE尸的面积大9cm2,AD=5cm,求。£长.

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用QE及

其它线段表示.

【例4】如图，四边形ABC。被AC与。B分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知8E=80cm,CE=60

cm,DE=4（）cm,AE=30cm,问：内、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？

（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）

解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的

突破口.

OE----------T\'O

丙

BC

【例5】如图，△ABC的面积为1,D,E为BC的三等分点，F,G为。的三等分点，求四边形

PECF的面积.

解题思路：连CP,设S"「c=x,SAPEC二y，建立x,y的二元一次方程组.

【例6】如图，E,尸分别是四边形ABCO的边4B,BC论中点，OE与4尸交于点P,点Q在线段

DE上，旦AQ//PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值.

（2013年"希望杯“数学邀清赛试题）

解题思路：连接ERDF,AC,P8,设SE88=〃，求得△APQ和△CPQ的面积.

能力训练

A级

1.如图，边长为1的正方形ABC。的对角线相交于点。.过点O的直线分别交AD,BC于E,F,

则阴影部分面积是.

AD

6.如图，是一个长为〃，宽为〃的长方形，两个阴影图形都是一对长为c•的底边在长方形对边上的

平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为().

A.ab-(a+b)cB.ab-{a-b)cC.(a-c)(b-c)D.(a-c)(b+c)

7.如图，线段A3=CQ=l(km,8C和。A是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD的面积是

以D为圆心、0c为半径的圆面积的！，则阴影部分的面积是().

4

A.257rB.100C.50rtD.200

(“五羊杯”竞赛试题)

8.如图，一个大长方形被两条线段A8、CQ中分成四个小长方形，如果其中图形I,H,HI的面

积分别为8,6,5,那么阴影部分的面积为().

9.如图，长方形A8CD中，E,/分别为A。，8C边上的任一点，X'BG,△DC”的面积分别为

15和20,求阴影部分的面积.

（五城市联赛试题）

10.如图，正方形ABCD,正方形BEFG和正方形HKPr的位置如图所示，点G在线段DK上，已

知正方形8E?G的边长为4,求△OEK的面积.

（广西壮族自治区省南宁市中考试题）

B级

1.如果图中4个圆的半径都为。，那么阴影部分的面积为—

（江苏省竞赛试题）

2.如图，在长方形A8a）中，E是8c上的一点，尸是CD上的一点，若三角形A8E的面积是长方

1O

形4BCD面积的白，三角形AQF的面积是长方形ABCD面积的三角形CE/的面积为4cm那么

35

长方形A6C。的面积是cm2.

（北京市“迎春杯”邀请赛试题）

3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点

为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为.

（“希望杯”邀清赛试题）

4.如图，若正方形APMW,BNHP,CQHN的面积分别为7,4,6,则阴影部分的面积是.

（“五羊杯”竞赛试题）

5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的，的小等边三角形，称为一次

3

“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=,面积

是原三角形面积的倍.

（“五羊杯”竞赛试题）

6.如图，在长方形A8C。中，AE=BG=BF=-AD=-AB=2.E,H,G在同一条直线上，则阴影部分

23

的面积等于（）.

A.8B.12C.16D.20

7.如图，边长分别为8cm和6cm的两个正方形，A3C。与鹿尸G并排放在一起，连接EG并延长交

AC于K,则△AKE的面积是（）.

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D.51cm2

（2013年“希望杯”邀清赛试题）

8.在•个由8X8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有

小方格的圆内部分的面积之和记为S，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2,则处的

整数部分是（）.

A.0B.1C.2D.3

（全国初中数学联赛试题）

9.如图，△A8C中，点。，E,F分别在三边上,七是AC的中点，A。，BE,CF交于一点G,BD=2DC,

SMEC=3,S，.GDC=4,则△48C的面积是（）.

A.25B.30C.35D.40

10.已知。(0,0),A(2,2),B(1,a),求。为何值时，S^ABO=5?

11.如图，已知正方形48CD的面积为1,M为AB的中点求,图中阴影部分的面积.

（湖北省武汉市竞赛试题）

生二型二殳二L求”坦迪的值

12.如图，Z\ABC中,

DBECFA2△ABC的面积

人

E

//.

D

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)专题25图形面积的计算

SAM==SJGF.S，CUF="--

例1196提示：--、28x(28+14)・女28又28=i28、14=28x7=196.

14S481212

例2D提示：设△ABC底边上的高为人则2xBCx〃=24故/设底边DE上的高

,hi-/i2(Tij.

为万底边上的高为瓦，则介-卜+电.--*DE-*DE-*DE•

1M6OEOE1♦、UDE[+“--+八”

G・DE・/I

=-叭6.

(5h-ih(5+x)=9

2c〃?.提示：设A48E的4E边上的高为力cm,DE长为xcm,则I5h=30，解得OE=2.

例3

;提示:/_CEBE-Sy^DE_\Sy^_AE_\

例4

2件EDS甲HE2'S乙EC2

=(S-ABC=；•设S-x，s"C=y则S,,=3X,sg=3y

例5S5=gsmHC

ABC~3RGF

C1

A+3y=-

32

于是①+②,得4(x+y)=-,

3x+y=g

：.X+y=L,即5收6=。.

oo

例6设Sw=a,因为E,F分别是AB,BC的中点，所以S,e_a

M)E-3

a

・・・SjD=S四边s尸如图，连接EF,DF,则S,但gs,3g所以＞=

O乙IL/0»,

2

=4x=

设S2=X,则S"w=4x.由S^APD=s四边形BEPF得弓-X=4X.：・X=-^-.\APD^7T-

I/rU4UJ

连接AC,又・・・AQ〃PC,Sw=SACQ，5***S™=---=—aPB,则

aa3aa

SEBP=S.AEP=~^,由SABP+S.copUaa，得S(PQ=Q-SABP~~S.CDQ=

2101010

PQ_S-CPQ

黑二从而曳=_L,S+=

APQAPI)=云,于是S梯形八/gWAPQ+SCPQ=~~

瓦二豆3PD4

S梯形八PCQ_3

SABCD20

A级

提示：S.=S、AQE，S阴影=WS正方形ABCD•

4poc

2.48.

(4-2)a

3.

2

4.15.625.

5B.

6C.

7.B.

8C.

935提不:连接EF»SEGF-SAM；,S诋=Sf)HC.

10.解法一：WADEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图，延长AE交PK的延长线于点H.设正

方形ABCD正方形PKPF的边长分别ab.则

SDEK=S正方形ABCD+S正方形班洒+S矩形即性-SADE-SCDG~SpKQ-SFHK

=a~+4~+4b——+4)——a(a-4)——b(b4-4)——b^4-b)

=a~4-16+4b—a~—2a—a~+2a--b2-2b-2b+-b2

2222

D

P

H

解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则NDBA=/GEB=45。，・・・DB〃GE,得SS)=SG.

同理GE〃FK,得SGFK=SC"

,•S,DEK~S.GED+S.GEK~SCEB+,GEF~S正方形呵•(；=16.

B级

1.12a2-3^a22.58a2).

2.120提示：设AB=a,AD=b,CE=c,CF=d.则BE=b-c-,DF=a-d,c=—b,d=-a,cd=8.

25

3.18.75(万之3).

4.8.5提示：连HD.

5.48—提示：“生长”n次后得到3x4。边形，面积为原面积的四—3倍.

8193n+,

6B.

7.B提示：过点K作KH1AB.VAB=8,BE=6,AAE=8+6=14.XVZKAE=ZKEA=45°,，

KH=1AE=7.SA"=LAE・K”=’X14X7=49.

2/lAi-22

8B提示；根据正方形的对称性，只需考虑它的,部分即可.

4

9B.

10.⑴当a>l时，即B在OA上方时，如图.山。8=%8。+5梯形〃曲-5",・・・

5=—xlxa+—(a+2)x(2-1)--X2X2，解得a=6.

222

⑵当OWaVl时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有工x2x2-'x1xa-L(a+2)x1=5,解得a=-4

222''

【不合题意，舍去).

⑶当a<0时，即B在x轴下方时，W(l+2)x(2-a)x---x2x2--xlx(-a)=5»解得a=4

222

综上所述，当a=-4或a=6时，SABO=5.

s-s-^.

AMDAMCVS丽为公共部分，•••s.GO-SCMG•又因为aAMG与AAMD的高的高相等

(以A为顶点作高)，AMCG与AMCD的高相等(以C为顶点作高)，，❷巫二2迹=如，即

JsAMI)SMSMD

l_c

AJ.CMGS1II

_C^G,解得：5cwc=-*>•%影=2XK=a

42

1°

3-P=；S,x=­S

2

解得《

连BG，设SABLS'Sy.则，

DOGX'S

2x+3y=：S,y=—S

21

2、

同理可得：S.=S砸—s.乂s..s,明=§s,得s四形核,=s四形〃./s=—s

.八瓜<321

・<2_101S=-S故黑^=1

••2⑼】J2121,

7S.HO4C/7

专题26奇偶分析

阅读与思考

整数可以分为奇数和偶数.一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属

性，即奇数w偶数.

由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性

来解决问题的方法叫奇偶分析.

运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：

1.奇数声偶数.

2.奇数土奇数:偶数，奇数土偶数二奇数，偶数土偶数二偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数

的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.

3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.

4.若。是整数，则。与同，—。，（〃为自然数）有相同的奇偶性.

5.设4,〃是整数，则4+〃，4一〃，|。+同，一力|都有相同的奇偶数.

6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.

例题与求解

【例1】数列1,I,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律是：前两个数是1,从第三个数

开始，每•个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2004个数中

共有一个偶数.

解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.

【例2】如果。，b,c都是正整数，且〃，人是奇数，贝］3"+8-1凡是（）.

A.只当c为奇数时，其值为奇数

B.只当c为偶数时，其值为奇数

C.只当c为3的倍数时，其值为奇数

D.无论c为任意正整数时，其值均为奇数

解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择.

【例3】能否找到自然数。和b,使/=2002+//.

解题思路：假设存在自然数a和〃，使等式成立，则（〃十与（。-勿=2002,从〃+〃，〃-〃的奇偶性展

开推理.

【例4】在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6,打乱次序后，将纸片翻过来，在它

们的反面也随意写上1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个

数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.

解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用|q-4与4-a6=1,2,3,4,5,6

的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.

【例5】表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列

4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变

成B,B变成C…最后字母Z变成A）.问:能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变

化过程，如不能，说明理由.

SOBRKBDS

TZEPHEXG

HOCNRTBS

ADVXCFYA

表甲表乙

解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能

成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中

的不变量或不变性.

xxxx

【例6】设X],.叼，…X”为+1或-1,并且XiX2X3X4+X2X3X4X5+X3X4X5X6+…+n-3n-2n-ln

+XXXX+XXXX4

n-2n-\n\n-\n\2+月田々巧=°•证明〃能被整除•

解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易.

能力训练

1.若按奇偶分类，则『+22+33+…+201/。”是数.

2.已知a是质数，b是奇数，且/”=2001,则以+3=.

3.若质数机，n满足5〃z+7〃=129,则加+n的值为.

4.在亿22,32,952这95个数中，十位数字为奇数的数共有个.

5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和

都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有()种.

A.2B.3C.4D.5

6.设。，〃为整数，给出入列四个结论

(1)若。+56是偶数，则是偶数

(2)若a+5〃是偶数，则是奇数

(3)若。+5。是奇数，则。-3匕是偶数

(4)若。+5〃是奇数，则〃-3"是奇数

其中正确结论的个数是().

A.OB.2C.4D.1或3

7.如果a,b,c是三个任意整数，那么巴丑，—,—().

222

A.都不是整数B.至少有两个是整数

C.至少有一个是整数D.都是正数

8.将1000到1997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，

奇数的个数至多有().

A.499个B496个C.996个D.995个

9.设为,.，…4999是1，2,3,…，1999的一个排列，求证：(a17)+02-2)十…+(09—1999)

为偶数.

10.在黑板上记上数1,2,3,I974,允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样

的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零.

11.你能找至U三个整数a，b,c,使彳导关系式（[+Z?+c）・（a-〃+c）・（a十〃一。）・（〃十仁一。）一3388成

立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由.

12.设标有A,B,C,D,E,F,G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A,C,

E,G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G,再从A开始顺

次拉动开关，即乂从A到G，…，他这样拉动了1999次开关后，问哪儿盏是开的？

专题26奇偶分析

例I668提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是：从第一个数开始，每组连续的3个数中，前两个

数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004:3=668.所以前2004个数中共有668个偶数.

例2D

例3假设存在自然数〃和从使=2002+〃.则（。+力）（。一力=2002=2x1001,若〃，》同为奇

数或同为偶数，则（a+〃）x（a—b）必定是“偶数x偶数。若a,为一奇一偶，则（a+/?）（a—〃）必

定是“奇数x奇数”上述两种情况均与等式右边的“偶数x奇数”相矛盾.故找不到自然数〃和从使

a2=2002+b2.

例4提示：设6张卡片正面写的数是%%，%为，%4,反面写的数对应为斗&也也也：亳，则这

6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为忖一"同一勾，…，N-.

设这6个数两两都不相等,则它们只能取0,1,2,...,5这6个值，于是打一⑷1％一勾，…，麻-4|

=0+1+2+…+5=15是个奇数.

又"-4|与%（,=],2,3...,6）的奇偶性相同,所以忖一4卜归一为+…+区-4|

与（4一4）+（%-%）+•••+（缘-4）=（4+…+线）一（4+b2+...+幻=（）的奇偶性

相同，是个偶数，导致矛盾.

例5提示：不能，理由如下：

将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1,6用2,…，Z用26代替），这样

表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁:

1915218112419

202661685247

8153141820219

表丙表丁

这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换

1-2,2-3,…，25—26,26-1.

显然，每次操作不改变这16个数字和的奇偶性，但表丙、表丁16个数字的和分别为213,174,它

们的奇偶性不同，故表内不能变成表丁，即表甲不能变成表乙.

例6由于乘积占&/乙，/鼻//，・一，x“X\X2X3都是+1或—1,且总和为0.所以一定有偶数项，即〃

一定是偶数2〃?.

将上面的〃个数相乘，一方面，其中的+1和一1各有加个，所以它们的乘积为（T）,另一方面，

在乘积中，为’"2一一，*〃作为因数都出现四次，所以乘积为+1,于是（T），〃为偶数，故〃

是4的倍数.

【能力训练】

I.偶

21999提示：由/+6=2001知/，匕必为一奇一偶.又丁。是质数且a为偶数.."=2,〃=997,

故«+♦=1999.

3.19或25

4.19提示：在已22,...IO:中，十位数字是奇数的只有4?=16,62=36,两位数的平方可以表示为

0°"+"）=100^2+20如+/，它的十位数的奇偶性与从十位数字的奇偶性相同，因此，b

只能取4与6,即相邻的每10个数中有两个数的H立数字是奇数.

5.D提示：设%%，%，/，%是1,2,3,4,5中一个满足要求的数列，首先，对于知4，丐，丐，不能

连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果吃（1W/W3）是偶数,

普+1是奇数，则4+1是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个

奇数是最后一个数.所以，-------------只能是偶奇奇偶奇，故有如下5种情形满足条件：①2,

1,3,4,5;②2,3,5,4,1;③2,5,\,4,3;④4,3,1,2,5；⑤4,5,3,2,1.

6.B7.C8.D

9提示：佃T)+(4-2)+...(a1999-1999)=自+外+…+多加)一(1+2+...+1999)=0

10.考虑黑板上保留奇数的个数.

经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变.

如果是两个奇数，则和或差为偶数.奇数的个数减少2个；如果是两个偶数，则和或差为偶数.奇数

的个数保持不变.

由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变.

也=987

由于一开始黑板上共有2奇数，即有奇数个奇数.经过若干次操作后，黑板上一定仍保留

着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为0.

II.找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数小4c满足等式，则左边四个式子中至少

有一个是偶数，不妨〃+〃一c为偶数，则。一方+c=(a+6+c)—2〃，c=(a+8+c)—2c,

(b+c—a)—(a+b+c)—2a都为偶数,从而左边能被16整除,而3388不

能被16整除，得出矛盾.

12.一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的

状态，因1999=7X285+4,又A,B,C,。四盏灯的开关各被拉动了286次，而E,F,G三盏

灯的开关各被拉动了2X5次,所以,小刚拉动了1999次开关后.A,以C.Q四灯不改变状态.E.

F,G三灯将改变原来的状态，故A,C,尸最后是开着的，

专题27以形借数一一借助图形思考

阅读与思考

数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主

题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定

的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”.将

问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，

现阶段借助图形思考是指以下两个方面：

1.从给定的图形获取解题信息

数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈

现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能.

2.有意地画图辅助解题

图形能直观、形象地表示数最及关系，解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图

形等)能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解.

阅读与思考

【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住厂、

其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同()

形状的共有种。

解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为x,y,z,则

x+y+z=9。不妨设借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。

[例2]一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间

为x(h).两车之间的距离为y(km).图中的折线表示)，与文之间的函数关系-根据图像进行一下探

究：

信息读取

(1)甲、乙两地之间的距离为km。

(2)请解释图中点B的实际意义。

图像理解

(3)求慢车和快车的速度。

(4)求线段BC所表示的)，与上之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围。

问题解决

(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟

后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？

解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可宜接感知的浅层结构

信息，也有在0~4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在

某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。

【例3】某电视台为了解A8,C三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查，调查后得知:

每位观众至少收看了其中的一个栏目；没有收看栏目4的观众中，收看栏目8人数为收看栏目C的两

倍；在收看栏目A的观众中，只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的

人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看B或栏目C,求栏目A的收视率。

解题思路：设未知数，借助于图表表示题中各数量之间的关系。

【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加推铅球比赛，通知抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前

每人都对出赛顺序进行了猜测。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第

四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问：

出赛顺序中，第一、第三、第五分别是哪位同学？

解题思路：文字罗列出来的条件，其相互关系错综复杂，不便分析和推断，不妨借助于图表直观

也表示研究对象及其关系。

【例5】某班有50名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如表:

一科二科三科

科目数外语数、语数、外语外数、语、外

人数32312916171810

这里，一科优秀者包括两、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者，试说明上述统计表有错误。

解题思路：借助于图形直观地表示出数学、外语、语文优秀学生的集合，有利于分析与推断。

能力训练

1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛

了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。则小强已经赛了________盘。

2.某市储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进

物资与调出物资的速度保持不变）。储运部库存物资s（吨）与时间，（小时）之间的函数关系如犯，这批物

资从开始调进到全部调出所需要的时间是

3.甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速汽车到5地后原地休息，甲、乙两人的距离），（千米）

与乙骑车的时间x（时）之间的函数关系的图像如图，则A3两地的距离为千

4.一台计算机的硬盘分为3个区，每个区的使用情况如图所示，则这个硬盘的使用率为

口已用空间口可用空间

总计：12.5GB总计：15.8GB总计：10.2GB

5.AB,C三支足球队举行单循环比赛（每支队与另一支队只比赛一场，共三场），下表给出的是

比赛的部分结果：

球队比赛场数胜负平总进球数总失球数

4221

B2124

C237

请根据上表，填上4队与C队比赛时的比分为

6.如图是某班全体学生外III时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图（两图都不完整）,

则下列结论中错误的是（）

索车步行骑车

A.该班总人数为50人B.骑车人数占总人数的20%

C.步行人数30人D.乘车人数是骑车人数的2.5倍

7.某人骑车沿直线旅行，先前进了。千米，休息了一段时间，又原路返回〃千米（〃＞。），再前

进。千米，则此人离起点的距离s与时间/的关系不意图为（）。

S'S,

751to\t

A.B.C.D.

8.一圆形地块，打算分A、B、。、。四个区域栽种观赏植物，要在同一区域种同一种植物，相邻

［有公共边）的两块里中不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，那么所有的栽种方案的个数为

）。

A.66EL68

C.60E）.84

9.某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生；参加英语竞赛有12（）名女生，80名男生。己知该

校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，问参加数学竞赛而没有参加英

语竞赛的女生人数有多少人？

10.某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单

位：h）如图所示。若汽车行驶的平均速度为80km/h。而汽车每行驶1km需要的平均费用为1.2元。试

指出此人从A城出发到8城的最短线路，并求出所需费用最少多少元?

II.刚回到营地的两个抢险队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇;二分队因疲劳可在

营地休息。小时再赶往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在里营地

10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须有一分队用1小时打通.已知一分队的行进速度为5千米/

时，二分队的行进速度是(4十4)千米/时.

(1)若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇？

(2)若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时？

13)下列图中，分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间X(小时)的函数关系,

请写出你认为所有可能合理图像的代号，并说明它们的实际意义.

12.已知函数)，=|x+l|-2|x-l|+|x+2].

(I)在直角坐标系中作出函数图象.