2024-2025学年高一数学月考567

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024-2025学年高一数学月考567考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：100分钟；命题人：WNNwang03学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、函数

y=2x-1-2（x≤2）的值域为（）

A.

B.（-∞，0]

C.（-2，0]

D.

2、在等差数列{an}中，若a2，a10是方程x2+12x-8=0的两个根，那么a6的值为：（）

A.-12

B.-6

C.12

D.6

3、二进制数111.11转换成十进制数是（）

A.7.3

B.7.5

C.7.75

D.7.125

4、【题文】如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()

A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱5、已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A.-7B.-C.7D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、已知：两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是{1，2，3}，其定义如下表：

x123x123f（x）231g（x）132则g[f（2）]，f[g（2）]的值依次为：

．7、【题文】直线x=3的倾斜角是

.8、甲用1000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出，甲在上述交易中盈利元．9、下列叙述：

①函数是奇函数；

②函数的一条对称轴方程为；

③函数，，则f（x）的值域为；

④函数，有最小值，无最大值．

所有正确结论的序号是______．10、已知函数，若f（x0）≥2，则x0的取值范围是______．11、若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f[f（2）]=______．12、已知△ABC

的面积为433

，A评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)13、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．14、初中我们学过了正弦

余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°，根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b，BC=a

（1）用b，c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点，弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．16、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．17、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、如图，过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、作图题(共4题，共28分)21、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．22、以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．

23、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步，输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值，使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．24、已知简单组合体如图，试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、计算题(共4题，共36分)25、（2008•宁波校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE=

°．26、（1）计算：|-|-+（π-4）0-sin30°；

（2）化简：．27、（++…+）（+1）=

．28、文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：

运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．

（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)29、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D，求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】

∵函数y=2x-1-2（x≤2），

f（x）为单调增函数，

∴f（x）≤f（2），

∴f（2）=2x-1-2=22-1-2=0，

∴f（x）≤f（2）=0，

∵2x-1＞0，∴2x-1-2＞-2，

∴-2＜2x-1-2≤0，即-2＜f（x）≤0；

故选C；

【解析】【答案】根据指数函数的性质，可知函数y=2x-1-2为单调增函数，利用此信息进行求解；

2、B【分析】

∵a2，a10是方程x2+12x-8=0的两个根，

∴a2+a10=-12

∵2a6=a2+a10，

∴a6=-6

故选B

【解析】【答案】先根据韦达定理求得a2+a10的值，进而根据等差中项的性质求得a6．

3、C【分析】

由题意知二进制对应的十进制是

1×22+1×21+1×2+1×2-1+1×2-2

=4+2+1+0.5+0.25=7.75

故选C．

【解析】【答案】根据两个不同的进位制之间的关系，写出把二进制转化成十进制以后的表示式，即让二进制的个位乘以2，向前和向后只有2的指数变化，做法类似，最后相加得到结果．

4、C【分析】【解析】

试题分析：利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C

考点：几何体的结构特征

点评：本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．【解析】【答案】C5、A【分析】【解答】解：∵a∈（，π），sina=，

∴cosa=﹣，则tana=

∴

故选A．

【分析】根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】

由表格可知f（2）=3，

∴g[f（2）]=g（3）=2．g（2）=3，f[g（2）]=f（3）=1

故答案为：2和1．

【解析】【答案】要求g[f（2）]，应先由前表找出f（2）=3，将g[f（2）]化成g（3），再由后表找出g（3）=2．同样可求f[g（2）]．

7、略

【分析】【解析】因为斜率不存在，因此直线x=3的倾斜角是90度【解析】【答案】90度8、1【分析】【解答】由题意，甲卖给乙获利：1000×10%=100（元），

乙卖给甲：1000×（1+10%）（1﹣10%）=990（元），

甲卖给丙；1000×（1+10%）（1﹣10%）×90%=1000×1.1×0.9×0.9=891（元），

甲赔了：990﹣891=99（元），

甲的盈亏情况为：100﹣99=1（元），

故答案为：盈利1元．

【分析】首先计算出甲卖给乙获利多少元，计算出乙卖给甲的价钱后，再计算甲卖给丙的价钱，算出甲赔了多少，综合以上情况得到甲的盈亏情况．9、略

【分析】解：①函数，显然f（-x）≠f（x），不是奇函数，故错误；

②f（-）=-1，的一条对称轴方程为，故正确；

③函数，，2x+∈[，]，则f（x）的值域为[-1，]，故错误；

④函数=1+，，f（x）≥4，有最小值，无最大值，故正确．

故答案为②④．

①根据奇函数的定义判断即可；

②根据余弦函数图象的性质判断，对称轴过函数的最值点；

③根据正弦函数图象求解即可；

④函数可化为=1+，根据定义域求出函数的值域即可．

本题考查了函数的奇偶性，三角函数图象的性质和函数值域的求法．属于基础题型，应熟练掌握．【解析】②④10、略

【分析】解：x0≤0时，f（x0）==≥2，则x0≤-1，

x0＞0时，f（x0）=log2（x0+2）≥2，解得x0≥2

所以x0的范围为x0≤-1或x0≥2

故答案为：x0≤-1或x0≥2

分x≤0和x＞0两种情况求解．x0≤0时，f（x0）==≥2；x0＞0时，f（x）=log2（x0+2）≥2，分别求解．

本题考查分段函数、解不等式、指对函数等知识，属基本题．【解析】x0≤-1或x0≥211、略

【分析】解：∵函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，

∴f（x）=log2x．

∴f[f（2）]=f（log22）=f（1）=log21=0．

故答案为：0．

本题考查了反函数的求法、对数的性质，函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，可得f（x）=log2x．再利用对数的性质即可求解．

【解析】012、略

【分析】解：由三角形面积公式可知12acsin60∘=433

，ac=163

，

由余弦定理可知：b2=a2+c2−2ac⋅cos60

，即9=a2【解析】8

三、证明题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=，再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A、F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC，DF⊥BE，

∴∠DFE=∠ADB，

∴∠BDF=∠DEF，

∵BD=DC，DE=AE，

∵∠BDF=∠DEF，∠EFD=∠BFD=90°，

∴△BDF∽△DEF，

∴=，

则=，

∵∠AEF=∠CDF，

∴△CDF∽△AEF，

∴∠CFD=∠AFE，

∴∠CFD+∠AEF=90°，

∴∠AFE+∠CFE=90°，

∴∠ADC=∠AFC=90°，

∴A、F、D、C四点共圆，

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD，

∴∠EFG=∠ABD，

∵CF⊥AD，AD⊥BC，

∴F、N、D、G四点共圆，

∴∠EGF=∠AND，

∵∠AND＞∠ABD，∠EFG=∠ABD，

∴∠EGF＞∠EFG，

∴DG＜EF．14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β），

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∵AD⊥BC，

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD，

∴sin（α+β）=，

=+，

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=，代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F，求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴，

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F，

∵=，=，

∴BA=BC，

∴F为AC中点，

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，

由勾股定理得：BF==CF，

∴tan．

答：tan的值是．16、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E，

则AC=AE，AB=5DE，

又∵G是AB的中点，

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE，

∴5ED2=AF•AE，

∴AB•ED=AF•AE，

∴=，

∴△BAF∽△AED，

∴∠ABF=∠EAD，

而∠EAD+∠DAB=90°，

∴∠ABF+∠DAB=90°，

即AD⊥BF．17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=，再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A、F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC，DF⊥BE，

∴∠DFE=∠ADB，

∴∠BDF=∠DEF，

∵BD=DC，DE=AE，

∵∠BDF=∠DEF，∠EFD=∠BFD=90°，

∴△BDF∽△DEF，

∴=，

则=，

∵∠AEF=∠CDF，

∴△CDF∽△AEF，

∴∠CFD=∠AFE，

∴∠CFD+∠AEF=90°，

∴∠AFE+∠CFE=90°，

∴∠ADC=∠AFC=90°，

∴A、F、D、C四点共圆，

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD，

∴∠EFG=∠ABD，

∵CF⊥AD，AD⊥BC，

∴F、N、D、G四点共圆，

∴∠EGF=∠AND，

∵∠AND＞∠ABD，∠EFG=∠ABD，

∴∠EGF＞∠EFG，

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG，

∵∠AEC=45°，

∴∠AEF=45°，

∴CD⊥FG，

∴CG2=CE2+EG2，

即CG2=CE2+ED2，

∵△OCD≌△OGF（SSS），

∴∠OCD=∠OGF．

∴O，C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC，

∴，

∴CF∥BE，

从而四边形OBFC为平行四边形，

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE，则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=，CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、作图题(共4题，共28分)21、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′，连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称，

∴OA′=OA，A′C=AC=1，

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E，则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4，

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米），

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．24、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、计算题(共4题，共36分)25、略

【分析】【分析】根据等腰三角形性质推出∠1=∠2，∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠1+∠3=∠B+15°，∠2=∠C+∠3，推出2∠3=15°即可．【解析】【解答】解：∵AD=AE，AC=AB，

∴∠1=∠2，∠B=∠C，

∵∠1+∠3=∠B+∠BAD=∠B+15°，

∠2=∠1=∠C+∠3，

∴∠C+∠3+∠3=∠B+15°，

2∠3=15°，

∴∠3=7.5°，

即∠CDE=7.5°，

故答案为：7.5°．26、略

【分析】【分析】（1）中，负数的绝对值是它的相反数；即9的算术平方根3；任何不等于0的数的0次幂都等于1；熟悉特殊角的锐角三角函数值：sin30°=；

（2）中，通过观察括号内的两个分式正好是同分母，可以先算括号内的，再约分计算．【解析】【解答】解：（1）原式==-2；

（2）原式=

=

=．27、略

【分析】【分析】先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算．【解析】【解答】解：原式=（++…+）•（+1）

=（-1++…+-）•（+1）

=（-1）•（+1）

=2014-1

=2013．

故答案为2013．28、略

【分析】【分析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组，求出方程组的解即可；

（2）有两种情况：①当180≤x＜210时，学生都买学生票共180张，（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②当0＜x＜180时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张，得到解析式是y=-30x+17010；

（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=-13x+13950和当0＜x＜180时，y=-30x+17010，分别讨论即可．【解析】【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：，

解得，

则2m=20，

答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人．

（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，

①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：

学生都买学生票共180张，（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），

即y=-13x+13950（180≤x＜210），

②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：

一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张，

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51x+81（210-x），

即y=-30x+17010（0＜x＜180），

答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=-13x+13950（180≤x＜210）或y=-30x+17010（0＜x＜180）．

（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=-13x+13950，

∵-13＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=209时，y的值最小，最小值为11233元，

当x=180时，y的值最大，最大值为11610元．

当0＜x＜180时，y=-30x+17010，

∵-30＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=179时，y的值最小，最小值为11640元，

当x=1时，y的值最大，最大值为16980元．

所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元，

答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．六、综合题(共1题，共2分)29、略

【分析】【分析】（1）由抛物线

y=ax2+bx+c过点A（-3，0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB，进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HB

sin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤，即可求出