2024-2025学年上海市徐汇区南模中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市徐汇区南模中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，用斜二测画法作△ABC的直观图得ΔA1B1C1，其中A1B1=B1C1，AA.AB=BC=AC B.AD⊥BC

C.AC>AD>AB>BC D.AC>AD>AB=BC2.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R，S分别为棱AB，BC，BB1，CD的中点，连接A1S，B1D，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段A.点P

B.点Q

C.点R

D.点B3.分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则A.V1=V2+V3 B.4.已知P是正方体ABCD−A1B1C1D1的中心，过点P的直线l与该正方体的表面交于E、F两点，现有如下命题：①线段EF在正方体6个表面的投影长度为ti(i=1,2,…,6)，则i=16ti为定值；②直线A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.空间两直线所成角的取值范围是______．6.如图所示：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=B面角的大小为______．

7.已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为π6，则lr=______．

8.以下四个命题中，所有真命题的序号为______．

①三角形(及其内部)绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；

②正棱柱的侧棱垂直于底面；

③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；

④圆锥的轴截面一定是等腰三角形．9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为10.已知在圆锥SO中，底面圆O的直径AB=2，△SAB的面积为22，点M在母线SB上，且SM=13SB，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB1=2，12.在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在α上的射影是直线S1，S2，l1，l2在β上的射影是直线t1，t2.用S1与S2，t13.已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为34R和R，高为2R.将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中(不考虑外包装的厚度)，则外包装盒的表面积的最小值为______．14.已知正四面体ABCD中，AB=2，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且|AP1|=|P1P2|=…=|Pn−115.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，N是侧面B1BCC1内的动点，且满足直线A1N/​/平面AD1M，当直线A1N与平面B116.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F，P分别为线段AC1和平面三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AB=4，AA1=2，E，F分别是AB，A1D1的中点．

(Ⅰ)求证：直线18.(本小题12分)

刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB=AC，AA19.(本小题12分)

如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f(x)=x1+x2，(x>0)的图像上，设C、D的纵坐标为t．

(1)求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积V(t)和表面积S(t)关于t的表达式；

(2)求V(t)20.(本小题12分)

对于函数y=F(x)和数列{an}、{bn}，若an=F(n)，F(bn)=n，则称{an}为函数y=f(x)的“影数列”，{bn}为函数y=f(x)的一个“镜数列”.已知f(x)=x2，g(x)=log2x，ℎ(x)=2x+x．

(1)若{an}为y=f(x)的“影数列”，{bn}为y=g(x)的“镜数列”，

(ⅰ)21.(本小题12分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，CD=2，A1D⊥平面ABCD，AA1与底面ABCD所成角为θ，设直线A1C与平面AA1D1D、平面ABCD、平面AA1B1B所成角的大小分别为α，β，γ．

(1)若∠ADC=2θ，求平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积V的取值范围；

(2)若

参考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.[0,π6.π4

7.38.②④

9.arccos10.711.212.S1//S2，并且t1与t2相交(或：t113.38R14.2n15.{16.4317.(I)证明：取BD的中点P，连接PE，PD1，

由条件E，F分别是AB，A1D1的中点可知，PE//D1F，且PE=D1F，

故PEFD1为平行四边形，所以PD1//EF，

∵EF⊄平面BB1D1D，且PD1⊂平面BB1D1D

∴EF/​/平面BB1D1D

(II)解：∵平面BCC1B1/​/平面ADD1A1，

∴直线EF与平面ADD1A18.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，

则AA1⊥AC，AA1⊥AB，

∴点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3，

∴∠BAC=π3，

∴△ABC为正三角形，

取BB1中点P，连CP，则可得CP//B1M，

∴∠PCN即为异面直线CN和B1M所成角，

设AB=AC=1，则可得CN=32，CP=2，NP=52，

∴cos∠PCN=CP2+CN2−NP22CP⋅CN=(2)2+(32)2−(52)22×2×32=64，

即异面直线CN和B1M所成角为arccos64．

(2)取BC的中点F，连接AF，则AF⊥BC，

∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，

∴BB1⊥AF，

∵BB1∩BC=B19.解：(1)由y=f(x)=x1+x2=11x+x≤121x⋅x=12，当且仅当x=1时取等号，得t∈(0,12)，

又矩形绕x轴旋转得到的几何体是圆柱，设C、D的坐标为(x1,t)，(x2,t)，

则圆柱的底面圆半径为t，高为ℎ=|x1−x2|，

令x1+x2=t，则tx2−x+t=0，得ℎ=|x1−x2|=1−4t20.解：(1)(ⅰ)由题意，an=f(n)=n2，g(bn)=n，log2bn=n，bn=2n；

所以a2+b4=4+16=20．

(ⅱ)当n=1时，a1=1<b1=2；

当n=2时，a2=4=b2；

当n=3时，a3=9>b3=8；

当n=4时，a4=16=b4，

当n≥5，n∈N时，an<bn，数学归纳法证明如下

①当n=5时，a5=25<b5=32，命题成立；

②假设当n=k(k≥5,k∈Z)时，命题成立，

即k2<2k，则当n=k+1时，

bk+1−ak+1=2k+1−(k+1)2

=2×2k−k2−2k−1>2k2−k2−2k−1

=k2−2k−1=(k−1)2−2(∗)．21.解：(1)由题意得DA1=tanθ(0<θ<π2)，四边形ABCD的面积为2sin2θ

平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积V=2sin2θ⋅tanθ=4sin2θ，

∴平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积V的取值范围为(0,4)．

(2)∵θ=45°，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD，

又∵A1D⊥平面ABCD，∴CD⊥A1D，

∴CD⊥平面AA1D1D，

∴α=∠CA1D，β=∠A1CD，

由题意得A1D=1，AD=1，CD=2，∴tanα=2，tanβ=12，

∴α=arctan2，β=arctan12，

以DA，DC，DA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，

则A1(0,0,1)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)

∴A1C=(0,2,−1)，AA1=(−1,0,1)，AB=(0,2,0)，

设侧面AA1B1B