2024-2025学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算（教师用书）教案新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：复数代数形式的乘除运算

2.教学年级和班级：高中二年级

3.授课时间：第3章第2节，第2课时

4.教学时数：45分钟

教学内容：

1.理解复数的乘法法则，掌握复数代数形式的乘法运算。

2.理解复数的除法法则，掌握复数代数形式的除法运算。

3.能够运用复数的乘除法则解决实际问题。

教学过程：

1.导入（5分钟）：

a.复习复数的概念及复数的代数表示。

b.提问：同学们，我们已经学习了复数的加减运算，那么复数能否进行乘除运算呢？

2.新课讲解（15分钟）：

a.讲解复数的乘法法则，通过示例演示。

b.讲解复数的除法法则，通过示例演示。

3.例题讲解（10分钟）：

a.指定几道例题，让学生在课堂上独立完成。

b.讲解解题过程，强调易错点。

4.练习巩固（10分钟）：

a.让学生完成教材上的练习题。

b.老师对学生的作业进行现场批改，及时反馈。

5.课堂小结（5分钟）：

a.回顾本节课所学的复数乘除法则。

b.强调掌握复数乘除法则的重要性。

6.课后作业（布置作业）：

a.完成教材上的课后习题。

b.预习下一节课的内容。

教学目标：

1.知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算。

2.过程与方法：通过示例和练习，培养学生运用复数乘除法则解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，提高学生的数学素养。核心素养目标1.数学抽象：使学生能够理解复数乘除法则的内涵，提高数学抽象思维能力。

2.逻辑推理：引导学生运用所学知识进行推理，解决复数乘除运算问题，培养逻辑推理能力。

3.数学建模：通过实例，让学生学会建立复数乘除运算的数学模型，提高数学建模素养。

4.数学运算：培养学生熟练掌握复数乘除运算，提高数学运算速度和准确性。

5.数据分析：让学生在解决实际问题时，能够分析数据，运用复数乘除法则进行求解。

6.数学素养：激发学生学习兴趣，培养学生严谨、细致、勇于探索的数学精神，提高数学素养。重点难点及解决办法重点：

1.复数乘法法则的理解与应用。

2.复数除法法则的理解与应用。

难点：

1.复数乘法中虚数单位i的幂的运算。

2.复数除法中分母实数化的方法。

解决办法及突破策略：

1.通过具体例题和图示，帮助学生形象理解复数乘法法则，特别是虚数单位i的幂的运算规律。

-使用几何图形辅助理解，如用复平面上的向量旋转解释i的幂运算。

2.对于复数除法，采用“分子分母同乘共轭复数”的方法，将复数除法转化为复数乘法，并通过步骤分解法进行详细讲解。

-通过步骤分解法，将除法过程拆解成多个简单步骤，降低学生理解难度。

3.设计多样化练习题，包括基础题、提高题和应用题，让学生在不同的难度层次上反复练习，巩固知识点。

-对于难点问题，提供解题技巧和策略，如记忆口诀或简化公式。

4.组织小组讨论，鼓励学生互相交流解题思路，共同解决难点问题。

-老师巡回指导，针对学生的疑惑进行个性化解答和指导。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都有《高中数学选修2-2》教材，以便跟随课堂进度进行学习和笔记。

-提供与本节课相关的教材章节，包括复数乘除运算的理论知识、例题、练习题和课后作业。

2.辅助材料：

-准备复数代数形式乘除运算的PPT课件，包括知识点总结、例题解析和步骤演示。

-制作复数在复平面上表示的动态图表，帮助学生直观理解复数的乘除运算过程。

-准备相关数学家的简介和复数历史背景的简短视频，以增加学生对复数知识的文化了解。

-收集一些与复数乘除运算相关的实际应用问题，如电路分析、流体力学等领域的实例，增强学生理论联系实际的能力。

3.实验器材：

-准备计算器，供学生在练习时使用，特别是进行复数运算时。

-如果条件允许，可以准备一些复平面模型或教具，帮助学生通过实物操作来理解复数的乘除运算。

4.教室布置：

-将教室座位按照小组形式排列，便于学生进行小组讨论和合作学习。

-在教室前方设置多媒体教学设备，确保所有学生都能清晰观看课件和视频资源。

-在教室的一角设置实验操作台，供学生在需要时进行实际操作和探索。

-在教室墙壁或黑板上张贴复数乘除法则的总结海报，方便学生随时查阅。

-确保教室光线充足，通风良好，为学生提供一个舒适的学习环境。

5.其他资源：

-准备一些额外的学习资料，如复数学习指南、习题集等，以供学有余力的学生进行拓展学习。

-建立在线学习平台，提供本节课的教学视频、课件和习题，方便学生课后复习和自主学习。

-准备学生评价表，用于收集学生对本节课教学效果的反馈，以便教师及时调整教学方法和策略。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-通过复习复数的定义和代数表示，引导学生回顾已学过的复数加减运算，提出问题：“我们已经知道了两个复数如何相加和相减，那么它们能否相乘和相除呢？”从而引出本节课的主题——复数的乘除运算。

2.新课讲授（用时15分钟）

-第一条：复数乘法法则。讲解复数乘法的代数表达，通过具体例题（如(3+4i)(2-3i)）展示乘法运算步骤，强调虚数单位i的幂运算规则，如i^2=-1。

-第二条：复数除法法则。介绍复数除法的基本原则，即“分子分母同乘以分母的共轭复数”，通过示例（如(3+4i)/(2-3i)）演示如何将除法转化为乘法，并详细解释每一步的计算。

-第三条：解决难点问题。针对虚数单位i的幂运算和分母实数化的难点，提供具体例题和简化方法，如记忆i的幂运算的周期性，以及快速找到共轭复数的方法。

3.实践活动（用时10分钟）

-第一条：学生独立完成教材上的练习题，巩固复数乘除运算的基本步骤。

-第二条：通过复平面教具，让学生直观感受复数乘法导致的向量旋转和缩放效果。

-第三条：选取一道应用题，如电磁学中的复数计算，让学生尝试应用所学知识解决实际问题。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-第一方面：每组选取一道较难的复数乘除题目进行讨论，分享解题思路和计算技巧。

-例如，讨论题目：(1+i)^4/(2-i)。

-第二方面：讨论复数乘除运算在实际问题中的应用，如电子技术中的复数阻抗计算。

-举例，如何使用复数乘法计算两个阻抗串联后的总阻抗。

-第三方面：探讨复数乘除运算与其他数学领域的联系，如代数、几何、三角函数等。

-例如，讨论复数乘法与旋转矩阵的关系。

5.总结回顾（用时5分钟）

-回顾本节课学习的复数乘除法则，强调掌握乘除法则的重要性，以及它们在解决复杂数学问题和实际应用中的价值。

-总结复数乘除运算的难点和解决策略，提醒学生注意虚数单位i的幂运算和共轭复数的使用。

-鼓励学生在课后继续练习，并通过实际应用加深对复数乘除运算的理解。

（总用时45分钟）拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《复数及其应用》：介绍复数的起源、发展以及在数学、物理、工程等领域的应用。

-《复变函数》：深入探讨复数在复平面上的几何意义，以及复变函数的基本概念和性质。

-《数学史上的复数》：讲述复数概念的提出过程，以及数学家们在复数领域的重要贡献。

-《复数与电子技术》：介绍复数在电子技术中的应用，如阻抗计算、滤波器设计等。

2.课后自主学习和探究：

-研究复数乘除运算在电路分析中的应用，如计算交流电路中的电压和电流。

-探索复数在信号处理、量子力学、流体力学等科学领域的应用案例。

-学习复变函数的基础知识，了解复数在解析几何和微分方程中的作用。

-尝试解决一些涉及复数乘除运算的竞赛题目，提高解题能力。

-阅读数学家欧拉、高斯等人的传记，了解他们在复数领域的研究成果和贡献。

鼓励学生在课后选择自己感兴趣的拓展方向，通过阅读、研究和实践，深化对复数乘除运算及其应用的理解，提高数学素养和解决问题的能力。同时，学生可以通过小组讨论、撰写研究报告或制作展示海报的形式，分享自己的学习成果和心得。课堂1.课堂评价：

-通过课堂提问，了解学生对复数乘除法则的理解程度，检查学生是否能够正确运用相关概念和法则解决简单问题。

-观察学生在课堂上的反应，注意是否对虚数单位i的幂运算和共轭复数的应用存在困惑，及时进行解答和澄清。

-采用小组讨论的形式，评估学生在团队合作中表现出的沟通能力和问题解决能力。

-设计课堂小测验，测试学生对复数乘除运算的掌握程度，包括基础知识和应用题。

-利用互动教学工具，如电子白板或教学软件，实时收集学生的反馈，调整教学进度和方法。

2.作业评价：

-对学生的课堂练习和课后作业进行认真批改，关注学生的错误类型和频次，分析错误原因，提供针对性的指导。

-在作业中标注出学生的亮点和进步，给予积极的评价和鼓励，增强学生的学习信心。

-定期对学生的作业进行点评，指出普遍存在的问题，讲解解题方法和技巧，帮助学生提高。

-鼓励学生在作业中提出疑问，对于学生的疑问给予及时的解答和帮助。

-对学生的作业完成情况进行跟踪记录，评估学生的学习效果和学习态度，为后续的教学提供参考。教学反思在上完这节课后，我感到学生们对复数乘除运算的理解和应用有了明显的提升。他们能够逐渐掌握复数乘法中虚数单位i的幂运算，以及复数除法中分母实数化的技巧。在课堂提问和小组讨论中，我发现学生们对复数乘除运算的应用题表现出浓厚的兴趣，这也说明他们能够将理论知识与实际问题联系起来。

然而，我也注意到，部分学生在处理复杂的复数运算时仍然感到困惑，尤其是当涉及到多个步骤的转换和计算时。这让我意识到，需要在接下来的课程中，进一步强化对复数乘除运算步骤的讲解和练习，特别是对于那些基础薄弱的学生。

在实践活动方面，我尝试使用了复平面模型和实际应用问题，让学生们更直观地理解复数的乘除运算。从学生的反馈来看，这些方法帮助他们更好地理解了复数的几何意义和实际应用。我计划在后续的教学中，继续引入更多的实际案例，让学生在解决具体问题的过程中，深化对复数乘除运算的理解。

课堂讨论环节，我鼓励学生们积极发表意见，互相交流解题思路。我发现这种互动不仅提高了学生们的参与度，也促进了他们之间的学习。不过，我也观察到有些学生在小组讨论中不够积极，可能是因为他们对讨论的话题还不够熟悉或者缺乏自信。为了解决这个问题，我打算在下一节课中，提前给学生提供一些讨论的话题和背景资料，帮助他们更好地准备和参与讨论。

作业评价方面，我发现学生们在完成作业时，对于一些基本的运算规则掌握得还不错，但在面对一些综合性的题目时，仍然显得有些力不从心。这提醒我在作业设计中，需要增加一些综合性强、难度适中的题目，让学生在巩固基础知识的同时，也能够提高解决问题的能力。板书设计一、本节课主题：复数乘除运算

1.复数乘法法则

2.复数除法法则

3.重点难点解析

二、复数乘法法则

1.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

2.虚数单位i的幂运算：i^2=-1,i