绝密资料高中数学等比数列

第35讲：等比数列

一、课程标准

1.通过实例，理解等比数列的概念.

2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.体会等比数列与指数函数的关系.

二、基础知识回顾

知识梳理

1.等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母_q_表示.

2.等比数列的通项公式

一般地，对于等比数列｛aj的第n项a。，有公式a„=aiq"',,这就是等比数列｛aj的通项公式，其中at

为首项，q为公比.第二通项公式为：an=amq'「m.

3.等比数列的前n项和公式

等比数列｛斯｝的前n项和公式：(/)或&=竿等(弁1).

注意：(1)当q=l时，该数列是各项不为零的常数列，S,,=nav.

⑵有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q=l，曲来讨论.

4.等比数列的性质

(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则G2=ab.

(

(2)等比数列｛aj中，若m+n=k+l(m，n，k，1GN*)，则有，特别地，当m+"=2p时am-an

=通.

(3)设S”是等比数歹1」｛如｝的前n项和，贝ijSm，S2,“一，S3,”一S2,”满足关系式6，”-S")2=S，NS3”LS2,“).

(4)等比数列的单调性，若首项«,>0，公比q>l或首项0<0，公比0<^<1-则数列为递增数列；若首

项0>0，公比0<q<l或首项0<0，公比4>1，则数列为递减数列；若公比q=l，则数列为常数列；公比

(7<0，则数列为摆动数列.

(5)若⑷和｛儿｝均为等比数列，则｛〃“｝(厚0)、｛I*｝、图、｛喇、用、｛一,①｝(得0)仍为等比数列.

三、自主热身、归纳总结

1、已知｛an｝是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则（）

4.a,d>0，dS4>0B.a,d<0'dS4<0

C.aid>0，dS4<0D.a,d<0，dS4>0

2、若等比数列｛an｝满足a“an+i=16n，则公比为（）

A.2B.4C.8D.16

3、［2017.新课标II高考］我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是

上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏8.3盏C.5盏D9盏

4、已知数列｛斯｝满足log2a"+i=l+k>g2a"（〃CN*）,且4|+“2+〃3+…+410=1，则Iog2（aioi+aio2+…+auo）

5、已知数列｛〃"｝是等比数列，S"为其前”项和，若41+〃2+〃3=4,。4+。5+。6=8,则$2=.

四、例题选讲

考点一等比数列的基本运算

S

例1、（1）（2019苏锡常镇调研（二））已知等比数列｛q｝的前"项和为S〃，若4=2/，则言=.

（2）（2019苏北四市、苏中三市三调）已知｛凡｝是等比数列，前〃项和为S”.若4-%=4,久=16,则与

的值为▲.

（3）、（2019南京、盐城一模）已知等比数列｛a0｝为单调递增数列，设其前n项和为S”若a?=2,S3=7,

则as的值为.

变式1、已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S,”且外+俏=|，a2+a4=l，则卜

变式2、［2018•苏州模拟］已知等比数列侬｝的前n项和为Sn，且泮一学，a4-a2=-y，则a?的值为一.

方法总结：（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量四，小q,

斯，S„,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解;

（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=l时，｛〃“｝的前〃项和*=〃©;当曲

时,｛〃,,｝的前〃项和S产矩肾=军等

考点二等比数列的性质

例2、（1）已知等比数列■”｝的各项为正数,且a5a6+ag=18,则Iog3ai+k>g3a2+…+旦3勾0=（）

A.12B.10C.8D.2+log35

（2）设等比数列｛斯｝中，前〃项和为S“，已知8=8,1=7,则的+例+的等于（）

11—5755

AqB.一左C.yD.y

（3）已知等比数列｛a“供有2〃项，其和为一240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.

变式1、（1）（2019•洛阳市第一次联考）在等比数列｛小｝中，“3,a15是方程/+6x+2=0的两根，则，笠的值

为（）

A.一咨^B.-V2C.^2D.一巾或小

（2）等比数列｛斯｝的各项均为正数，且0“5=4,则log2«l+log2«2+Iog2fl3+10g2tZ4+10g2«5=.

变式2、（1）12018•如东中学］在等比数列｛an｝中，各项均为正值，且a&aio+a3a5=41，a4a8=5，则a4+a8=

⑵［2016•常熟中学］等比数列｛a0｝的首项ai=7，前n项和为S-，若裁=有，则公比4=

方法总结：（1）在解决等比数列的有关问题时.，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若根+〃=〃+

q（m,n,p,qdN*）,则即可以减少运算量,提高解题速度.

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而

不求思想的运用

考点三等比数列的判定与证明

例3、（2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列｛aj的各项均不为零.设数列｛aj的前n项和为Sn,数列｛a*｝

的前n项和为Tn,且3sA4Sn+Tn=0,nCN*.

（I）求0,42的值；

⑵证明:数列｛斯｝是等比数列;

变式1、（江苏启东中学2019届高三模拟）己知数列｛〃”｝的首项0>0,斯+i=；7%（〃eN*）,且0=*

I1D

(1)求证：｛5-1)是等比数列，并求出｛“，｝的通项公式;

(2)求数歹M2｝的前〃项和T"-

变式2、已知在正项数列｛斯｝中，0=2,点(西，在双曲线y2一d=1上.在数列｛5｝中，点3〃,

。)在直线产一2+1上，其中7；是数列⑸的前〃项和.

(1)求数列｛a”｝的通项公式；

(2)求证：数列｛仇｝是等比数列.

方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、

填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即

可.而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解.

五、优化提升与真题演练

1、【2020年全国2卷】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下

三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石

板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一

环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多

729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

2、【2019年高考全国HI卷理数】已知各项均为正数的等比数列｛斯｝的前4项和为15,且%=3%+4%,

贝IJ。3=()

A.16B.8

C.4D.2

3、【2020年江苏卷】设｛小｝是公差为d的等差数列，｛瓦｝是公比为q的等比数列.已知数列｛%+小｝的前〃

项和S“="_〃+2〃—1(〃£N+),则d+q的值是.

1

4J2019年高考全国I卷理数】记S“为等比数列伍〃｝的前〃项和.若弓=§,靖9=%，则S5=。

5、【2018♦全国高考】已知数列｛册｝满足