2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精练第23讲 定点问题含解析

2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第23讲定点

问题

一.选择题（共1小题）

1.已知圆C:f+）/=4，点夕为直线x+2），-9=0上一动点，过点?向圆C引两条切线PA、

PB,A、B为切点、,则直线经过定点（）

4X24

A.B.C.（2,0）D.（9,0）

二.解答题（共18小题）

2.已知圆C的圆心坐标为。（3,0）,且该圆经过点4（0,4）.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若点8也在圆。上，且弦长为8,求直线他的方程；

（3）直线/交圆C于M,N两点，若直线AM,4V的斜率之积为2,求证：直线/过一个

定点，并求出该定点坐标.

3.已知椭圆。:「+二的离心率为包，点（2,也）在椭圆C上，点尸是椭圆C

b~2

的右焦点.

（1）求椭圆C的方.程；

（2）过点”的直线/与椭圆。交于M,N两点，则在I轴上是否存在一点夕，使得x轴平

分NMPN?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4.已知椭圆C:0十与=1（。＞人＞0）的离心率是迎，一个顶点是3（0,1）,点尸，Q是椭圆

a-b-2

C上异于点8的任意两点，且BP1BQ.

（1）求椭圆C的方程；

（2）试问直线PQ是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

2

5.已知A,8分别为椭圆£:二+）?=13＞0）的左，右顶点，G为E的上顶点，

AGGB=S.2为椭圆外一点，Q4与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D,且

（1）求椭圆E1的标准方程；

（2）证明：直线CO过定点.

2

6.已知抛物线C:f=20，（p>O）的焦点产与双曲线（-/=1的一个焦点重合，。为直线

y=-2上的动点，过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B.

（1）求抛物线C的方程；

（2）证明直线A8过定点.

7.已知椭圆C:二+4=13>>>0）过点（0,正）,离心率为由.

（1）求椭I员I。的方程：

（2）过点P（l』）分别作斜率为用、及的椭圆的动弦他、CD,设M、N分别为线段AB、

CD的中点，若仁+&=1，是否存在一个定点Q，使得其在直线MN上，若存在，求出

该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

8.已知左焦点为广（-1,0）的椭圆过点仇1,半）.过点P（l,l）分别作斜率为4,网的椭圆的

动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若Q为线段4?的中点，求£：

（3）若《+&=1,求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标.

222

9.已知椭圆C:5+5=l（a>〃>0）,尸（—c,0）为其左焦点，点P（-土，0）,小A,分别

abc

为椭圆的左、右顶点，且1441=4,|修|=胃为4/L

（1）求椭圆c的方程；

（2）过点A作两条射线分别与椭圆交于“、N两点（均异干点入）..日A”IAN.讦明：

直线MN恒过X轴上的一个定点.

22

10.已知椭圆E:工+汇=1的左右顶点分别为A,4,点P为椭圆上异于A,4的任意一

32

点.

（I）求直线R4与尸8的斜率之积；

（H）过点Q（-日,0）作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于"，N两点.证明：以MN为

直径的圆恒过点A.

11.已知点A(-1,O),8(1,7),抛物线C:y2=4x,过点4的动直线/交抛物线C于M,P

两点，直线MS交抛物线C于另一点Q,O为坐标原点.

(1)求。WOP；

(2)证明：直线PQ恒过定点.

12.已知点4(-1,0),8(1,7)和抛物线C:y2=4x,。为坐标原点，过点A的动直线/交抛

物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图

(1)证明：为定值；

(2)若APOM的面积为之,求向量0M与0P的夹角；

2

(3)证明直线PQ恒过一个定点.

13.已知抛物线「：)，2=2/»(〃>0)的焦点为尸，?是抛物线「上一点，且在第一象限，满

足FP=(2,2而

(1)求抛物线「的方程；

(2)已知经过点43,-2)的直线交抛物线「于N两点,经过定点以3,-6)和M的直线

与抛物线「交于另一点£,问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明

理由.

14.已知直线)，=x-2与抛物线丁=2川相交于A,B两点,满足定点C(4,2),

。(-4,0),M是抛物线上一动点，设直线CM,DM与抛物线的另一个交点分别是E,F.

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点石、尸存在且不重合)，直线所恒过一个

定点；并求出这个定点的坐标.

15.已知直线/:y=2x与抛物线=交于A*.,以)、0(0,0)两点，过点。与直线/

4

垂直的直线交抛物线C于点8(.%,外).如图所示.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)求经过A、8两点的直线与)，轴交点M的坐标；

(3)过抛物线)，=二丁的顶点任意作两条G相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、

4

B的直线根是否恒过定点，如果是，指出此定点，并记明你的结论；如果不是，请说明理

16.过抛物线E:y2=2pMp>0)上一点M(l,-2)作直线交抛物线E于另一点N.

(I)若直线MN的斜率为1,求线段|MN|的长；

(II)不过点M的动直线/交抛物线E于4，"两点，且以A3为直径的圆经过点M,问

动直线/是否恒过定点.如果有求定点坐标，如果没有请说明理由.

17.如图所示，已知椭圆E:A十仁=1(〃的离心率为LE1的右焦点到直线y十1

a~b~2

的距离为6.

(1)求椭圆石的方程：

(2)设椭圆E的右顶点为A,不经过点A的直线/与椭圆石交于用，N两点，且以MN为

直径的圆过A,求证：直线/恒过定点，并求出此定点坐标.

18.已知椭圆匕/+3)，2=〃?2(〃?)0)的左顶点是人左焦点为尸，上顶点为反

(1)当A4&?的面积为丈二卫时，求机的值：

2

(2)若直线/交椭圆七于M,N两点(不同于4),以线段为直径的圆过A点，试探

究直线/是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由.

19.已知椭圆£二+二=1的左右顶点分别为A、B,点尸为椭圆上异于A,8的任意一

32

点.

(I)求直线小与相的斜率乘积的值；

(H)设。(/,0)(/x/3),过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆石于“，N两点,则

是否存在实数/，使得以MV为直径的圆恒过点4?若存在，求出/的值；若不存在，请说

明理由.

第23讲定点问题

参考答案与试题解析

一.选择题(共1小题)

1.已知圆。：/+9=4,点尸为直线工+2)，-9=0上一动点，过点?向圆6'引两条切线44、

PB,A、3为切点，则直线A8经过定点()

4824

A.B.C.(2,0)D.(9,0)

【解答】解：因为夕是直线x+2)，-9=0的任一点，所以设尸(9-2以〃。，

因为圆/+丁=4的两条切线尸A、PB,切点分别为A、B,

所以Q4_LQ4,OBtPB,

则点A、3在以OP为直径的圆上，即是圆O和圆。的公共弦，

则圆心C的坐标是("也，-),且半径的平方是产=(9-2团)2+1，

224

所以圆C的方程是“一吃网)2+。，—')2=(9-2⑼2+点,①

224

又/+),2=4,②，

②一①得，(2m-9)x-my+4=0,即公共弦A4所在的直线方程是：(2m-9)x-my+4=0,

BPwz(2x-y)+(-9x+4)=0,

由[2：-y=o得X」，g,

[-9X+4=099

所以直线他恒过定点g,1),

故选：A.

二.解答题(共18小题)

2.已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点4(0,4).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点8也在圆。上，且弦长为8,求直线的方程；

(3)直线/交圆C于M,N两点，若直线AM,4V的斜率之积为2,求证：直

线/过一个定点，并求出该定点坐标.

【解答】(1)解：设圆的标准为(工一3)2+)，2=/，把4(),4)代入得厂=5,

故圆的标准方程为(x-3)2+)?=25.

(2)解：①当直线AA的斜率不存在时，直线44的方程为x=0,此时弦44氏为8,符合

题意：

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为)，=依+4,

联立方程I1*”则(1+42)/_(6_必=0,

(x-3)-+=25

*匚।、।c/6-8Z4+6k—4A"

所以仇「不，一—；—),

\+k~1+匕

根据弦A8长为8,可得|AB|=J(殳当/+(4+6左：,43_*2=8,

V1+K\+k~

7

解得&=—五，所以直线的方程为7X+24)，-96=0,

综上所述，直线的方程为x=0或十24,-96=0；

(3)证明：当直线/斜率不存在时，设M(a,b),N(a,-b),

•.,直线AM,AN的斜率之积为2,A(0,4),

.•.T.土1=2,即6=16—2/,

aa

.,点M(a,力在圆上，

「.(4一3了+〃=25,

从=16-2"

联立无解，舍去,

(«-3)2+/?2=25

当直线/斜率存在时，设直线/:>="+/,M(x，kx}+t),N(a，kx2+t),

2

k.•k.=.+/4.公二/4=2=伏2—2).演工2+,《_4)(1+x2)+(r-4)=0①

y=/(X+t)))

联立方程(3)22250(%+1)%~+(2/-6)工+厂-16=0,

一(2々-6)

.•.内+X?=

\+k2

代入①，得入2-2)(产-16)+(^-4k)(-2kt+6)+(f-4)2(1+玲=0,

化简得2=£+2,.•.直线/的方程为：y=(-+2)x+z,所以过定点(-6,-12).

66

3.已知椭圆C:二十二=1(〃>〃>0)的离心率为正，点(2,夜)在椭圆C上，点F是椭圆C

ab~2

的右焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点/的直线/与横圆C交于N两点，则在I轴上是否存在一点夕，使得x轴平

分NM8V?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

c=x/2

~a~~y

4?

【解答】解:(1)由题意得3+w=l,解得:a2=8,b2=4.

a'b~

a2=Z72+c2,

所以椭圆c的方程为二十£=i.

84

(2)由题意可知直线/的斜率不为0,尸(2,0).

若直线/斜率存在，设直线/的方程为y=%(x-2)(2w0),M(X],M),N®,y2),

V£

联立(亚"+7='得(1+2-)/一8入+8公一8=0.

』二心-2),

由题意可知△>()恒成立，所以x+x,=*r，%苍=登二.

■1+2K-1+2K

假设在x轴上存在一点P(f,0),使得x轴平分NMPN,则k,,M+%我=0，

所以-^―+▲—=0.所以y(w-，)+为(用一，)=0，

X)-rx2-t

所以A(x,-2)(X2—t)+k(x2—2)(义］—z)=0»所以2人/a—(/十2)(A,+)+4z=0,

2(8公一8)8k2(1+2)4«1+2F)=。，所以繇

所以=0,所以1=4.

1+2A21+2代1+2女2

若直线/斜率不存在时，则M,N两点关于x轴对称，当点尸坐标为(4,0)时，x轴平分

4MPN.

综上所述，在％轴上存在一点P(4,0),使得x轴平分NA2N.

4.已知椭圆C：4+《=lS〉〃>0)的离心率是也，一个顶点是以0,1),点、P,。是椭圆

a~b~2

C上异于点"的任意两点，旦8P_LBQ.

（1）求椭圆C的方程；

（2）试问直线尸。是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

b=\

cV2

【解答】解:（1）由题意得=解得。=1

a2

c=1

a2=b2+c2

所以椭圆方程为］+丁=|.

（2）由知直线BP,8Q的斜率存在且不为0.

y=H+1

设直线小尸的斜率为我,直线牝的方程为），=代+1,,得伏2+#+2履=().解

—+/=l

2

得＞0或―^7^

2

当x-2k以n.1—2/刖八,4A\-2k\

当时，y=-----7,即P(——--------),

,\+2k22k2+11+23

2

1

用-1代替人得0高AL？^k-7）

犬二2_1二2公

_公+21+2代_抬-1

于是直线产。的斜率勺。

4k4k3k

k2+2+2k2+\

直线上的方程为y-1京一〃2=£k2-"1（"高41）'

整理得(F—l)x—&(3)，+1)=0,

当x=0,y=-g时，对任意的4,伏2-l）x-A（3y+1）=0恒成立,

所以直线PQ过定点

5.已知4,4分别为椭圆E:*~+）?=l（a＞。）的左，右顶点，G为E的上顶点,

AGGB=S.0为椭圆外一点，P4与E的另一交点为C,相与E的另一交点为。，且

k二1

%5

（1）求椭圆E的标准方程;

(2)证明：直线8过定点.

【解答】解：(1)由题意知G(O,1),A(—«0),8(。,0),

所以心63=31).(&-1)=/-1=8,

解得。=3,

故椭圆E的标准方程为不+),2口.

9'

讦明：(2)设直线C7)的方程为工=)+〃?，C(x，y)，O(.r2.y2).

联立x0+m,消去丫得(J+9)9+2tmy+nr-9=0,

x+9)，=9

md七21mm2-9

则有凹+为二一型方乃"0,

所以(1-9)(y+y2)=-2切?y为，

即,历=(9-痴心+#,

因为3卷=缶$=瓷=』

y

明+〃?+3=ySt+5-3)=+(〃[-3)乂=(9-川)(y+%)+2〃?(，〃-3)y

乃先(供+加+3)再)，2+(〃?+3)%(9-nr)(.yt+y2)+2m(m+3)y,

As+〃?一3

(〃?-3)[2"x-(〃?+3)(y+%)]=(〃L3)(2刀。一刀S一3y一，股？一3y2)

。〃+3)[2my,-(m-3)(y(+y2)](m+3)(2my2-myx+3v,-my2+3y2)

3-in_1

"i+32

解得m-\,

所以直线C£>的方程为x=(y+l,

故直线CO过定点(1,0).

6.已知抛物线。:/=20，(〃>0)的焦点尸与双曲线5-寸=1的一个焦点重合，。为直线

)，=-2上的动点,过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为A,R.

(1)求抛物线。的方程；

(2)证明直线/W过定点.

2

【解答】解:(1)由题意可得双曲线二一炉=1的焦点为(0,-2),(0,2),

3

即有抛物线的焦点产(0,2),

则2=2n/?=4，

2

所以抛物线。的方程为：x2=8y；

(2)证明：设0(%,-2),设切线方程为y+2=《-%)，联立丁=8)，得：

X2-8米+8线+16=0...①，

由A=0=>64女2-4(8h0+16)=0=>2k~—kx{i-2=0.

设两条切线的斜率分别为K,则K+&吟，4*=-1，

由①知等根为户软，故设A(4用,2好)，8(4*2公)，则"二或=全吆=①，

--%-4K24

所以直线”的方程为：.P-2&；-4幻，

化简得)=.工_仁毛+2父=今工_仁(2仁+2&)+26=.工-2攵/2=,工+2.

所以直线45过定点(0,2).

7.已知椭圆C:二十答=19">0)过点(0,忘)，离心率为近.

a~Zr3

(1)求椭圆。的方程：

(2)过点尸(1,1)分别作斜率为仁、心的椭圆的动弦他、CD,设M、N分别为线段AB、

C。的中点，若占+&=1，是否存在一个定点Q，使得其在直线MN上，若存在，求出

该定点的坐标：若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•.,椭圆C:二+4=1(。>)>0)过点(0,血)，离心率为@.

CTD3

b=42

...«£=,解得a=\/3»h=yp2>

a3

a2=b2+c2

椭圆C的方程为工十二=1.

32

(2)由题意得人工人2，设M(x.”，〉%)，直线AB的方程为y―]=&(x—l),即y=k/+k?,

代入椭圆方程并化简，得：（2+3公）/+6用女/+3&2-6=0,

-3k网,2k2

2+34，3?a/~2-3k;

-3k&2kx

同理,2+34，yN~2+3C

直线MV的方程为），-——9k&X~2+3k；

I4I

10—6g2

0即I1y=------x—

-9k&3

此时直线过定点（0,-|）,

0

当"2=。时，宜线MN即为），轴，此时也过点（0,

综上，直线用N恒过定点，且定点坐标为（0,-W）.

3

8.已知左焦点为广（-1,0）的椭圆过点顼1,平）.过点P（l』）分别作斜率为L，心的椭圆的

动弦/W,CD,设M,N分别为线段例,CO的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若尸为线段AA的中点，求人；

（3）若｛+他=1,求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标.

【解答】（1）解：由题意c=l,且右焦点厂（1,0）

;.2a=EF+EF=26,b1=a2-c2=2

.•・所求椭圆方程为三+上=1;

32

（2）解：设A（玉，yj,B（X2,%），则

②-①，可得J=_2（二+%）=_2；

工2一X13（%+凶）3

（3）证明：由题意，k产k?,

设M（x“，yM）,直线"的方程为），一I=4。一1）,即），=勺1+内,

代入椭圆方程并化简得（2+34）x2+6k&x+3k；-6=0

一3"22kz

•…=二皆’％=不

同理“瑞”会

当时，直线MN的斜率k=加一“=1()―6人/

XM~XN一92#2

直线MN的方程为)，-为=与詈-栽)

10-6^^_2

"—9k*23

此时直线过定点(0,-|)

7

当3=0时，直线MM即为)，轴，此时亦过点(0,-令

7

综上，直线股N恒过定点，且坐标为(0,-士).

3

r222

9.已知椭圆C：F+==1S＞力＞0),尸(-c,0)为其左焦点，点P(-一，0),A，A,分别

abc

为椭圆的左、右顶点，且iAA/=4,|2上手14用・

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点A作两条射线分别与椭圆交于“、N两点(均异于点A),且AM_L/\N,证明:

直线VN恒过x轴上的一个定点.

【解答】（1）解：,|4典|=4,.♦.〃=2,

T7InAI_2GIAr,./_2G

乂I，A1=cIA尸I，-----a=——（a—c）,

3c3

整理得？咨，cS

则b2=a2-c2=1.

.••椭圆C的方程为上+产=1；

4

(2)证明；由已知直线与y轴不垂直，假设其过定点丁(〃,0),设其方程为人--〃疗十〃，

x=my+a

22

联立x,，得（“I?4-4）y+2mnv+/-4=0.

—+y=1

4-

2mn

设M(X|，yj,N(X2,1y2)，则)1+%=一

/.X]+x2=m（yt+y2）+2〃.xyx2=（〃叫+n）（my2+n）=yj、+〃"?（，1+）‘2）+〃二

AM~LA%，AM,AN=（八]+2,乂）«々+2,%）二°•

/.%毛+2(x+W)+4+yy?=0,

2

/.(m+1)y\y2+〃?(〃+2)(y+%)+(〃+2/=0.

2

pn(病+1)(/?+2)(〃-2)znm(n+2)2

m2+4ZW2+4

化简得：(〃+2)(5〃+6)=0,

若〃=-2,则7与A重合,不合题意，

「.〃+2W0,

整理得

5

综上，直线MN过定点了

29

10.已知椭圆E:二+上=1的左右顶点分别为A,点尸为椭圆上异于A,“的任意一

32

点.

(I)求直线R4与尸8的斜率之积；

(II)过点Q(-等,0)作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M,N两点.证明：以MN为

直径的圆恒过点A.

【解答】解：(I)4-G,0),B(G,0).设点P(x,y)()w0),

22

则有工+工=1,

32

即),2=2(1_三)=13_玲，

9

2-(3-X2)0

.k-k______2__^__3________二

P*f_3—八3-3,

(II)证明：设用(用，y),N(X2,y2),

•.MN与x轴不重合，

.•・设直线LN：X="-第(YR),

[…且

由，"一"5化简得，

2X2+3/-6=0

/2…4>/3144八

(2广+3)y------ty-----=0；

5-25

…二段,

由题意可知成立且，

144

＞，＞22r+3

AM・AN=(x)+G,y\)(x2+瓜y2)=(t)\++XM

/2八4行/\48

=(厂+1))1%+—^(yi+J)+—；

•J24J

43

将,21+3代入上式并化简得,

144

yV—=

-1522/+3

1442144482

xxr―石厂一石+石厂48482Z2+348八

AM-AN=——----~——+—=------x———+—=0.

2r+325252t2+325

：.AMLAN,即以MN为直径的圆恒过点A.

11.已知点A(-1,O),5(1-1),抛物线。：产二好，过点A的动直线/交抛物线C于M,P

两点，直线历8交抛物线C于另一点Q,O为坐标原点.

(1)求OMOP；

(2)证明：直线PQ恒过定点.

【解答】解：(1)设点M($,)[),P(x2,y2),由题意，设直线=

由《，'得厂-4zny-4=0,

y=4x

△=16/?r-16>0,/.w2>1,又)1%=4，

•-OMOP=x,x2+x%=空)+3iy2=l+4=5.

2

(2)证明：设Q(?,%),直线3Q的斜率为心°,直线0M的斜率为坛…直线PQ的斜

率为攵股，

M,B,Q三点共线，.」即二为必，

，与上午冬，即甲L，，

尤_岂斤-4y+M

444

••(%+DC*+/)=N—4,即y,.Vj+.v,+弘+4=0,

444

）'跖=4，•.•,=—，为+―+兄+4=°，

必以力

即4（y2+%）+y2y3+4=0（*）,

,,一%一-一4

.Kk/，Q_22一，

为+兄

44

二直线PQ的方程是y-K=」一（X-4），即（y-%）（K+%）=4x-y；，

'H+K4

・••）。2+，3）-%必="

由（*）式可知,-%必=4（力+%）+4代入上式，得（y+4X为+%）—，

令”3解得匕1

x-I=0[y=-4

.•・直线PQ恒过定点（1,-4）.

12.已知点4-1,0）,和抛物线C:y2=4x,O为坐标原点，过点4的动直线/交抛

物线C于M、产，直线MB交抛物线C于另一点Q,如图

（I）证明：OM・OQ为定值；

（2）若APOM的面积为*,求向量OM与OP的夹角;

2

（3）证明直线。。恒过一个定点.

"AM=kpM»即—=e一十

A+i工_&

444

，,y%=4，…（2分）

川+4)1+%

22

OM・OP="2-+y)，,=5.…(5分)

44

(〃)解：设NPOM=a,则IOMMOP卜cosa=5,

,/SyoM=T，-'IOM|«|OP卜sina=5,

/.(ana=l....(8分)

又。£(0,乃)，/.aG(0,^-),/.a=45。，

CM与。户的夹角为45。.…（10分）

（IH）证明：设点。（4-,为），•./“、B、Q三点共线，.•4即=七“，

.>3_.）3+1二1

■+[一城必？，一^-厂）']+为，

444

「•(/+D(y+%)=>32-4,即x%+)1+%+4=(),

444

•y%=4，y=—，•••一・%+—+%+4=o

,'2约)’2

即4（%+%）+y2y3+4=。，（*）...（12分）

y2f二4

yL_yL%+y

44

二直线PQ的方程是y-y,=」一（X-应）,

"必+为4

即（丁一%）（%+%）=44一为2，

即〉'（为+%）一）’2）’3=4工，

由（*）式，-必为=4（匕+%）+4，

代入上式，得（y+4）（y+为）=4。-1）,

，直线PQ过定点E（l,-4）.

13.已知抛物线「：），2=2/”（〃>0）的焦点为尸，〃是抛物线「上一一点，且在第一象限，满

足FP=（2,26）

（1）求抛物线「的方程；

（2）已知经过点A（3,-2）的直线交抛物线「于M,N两点，经过定点以3,-6）和M的直线

与抛物线「交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明

理由.

【解答】解:（1）由抛物线的方程可得焦点F或,0）,满足“=（2,2肉的尸的坐标为（2+宙,

275）,，在抛物线上，

所以（2G）2=2p（2+“），即p2+4p-12=0,〃>（）,解得〃=2,所以抛物线的方程为:

2

=4x；

(2)设M(%),%),Ngy),L(X2,>2)，则犬=4'，yl=4x2,

直线MN的斜率用川=上二冬=,

司一%汇一为X+Jo

4

则直线MN的方程为：(x-瓦)，即y=4")'。/①,

y+K4'为+y

同理可得直线ML的方程整理可得y=.+)'。*②,

%+%

,2二12+..

将43,-2),以3,-6)分别代入①，②的方程可得10+y,消比可得yy,=12,

—6」2+.'6

%+%

易知直线3z=」一，则直线NL的方程为：y-y=」一(、-江)，

X+为y+K4

4y.y,412

即nn,=-----x+—'-2-,故尸-------x+----------,

y+为y+%y+%y+力

4

所以y=---------(X+3),

因此直线NL恒过定点(-3,0).

14.已知直线)，=”一2与抛物线丁=2/"相交于A,8两点，满足。4_LQA.定点C(4,2),

。(-4,0),M是抛物线上动点，设直线CW,ZW与抛物线的另个交点分别是石，F.

(1)求抛物线的方程：

(2)求证：当M点在抛物线上变动时(只要点£、户存在且不重合)，直线所恒过一个

定点；并求出这个定点的坐标.

【解答】解：(1)设A(X],片)，B(X2,y2),

联立，，一，整理可得：y2-2py-4p=0,

y-=2px

所以可得)1+y2=2P，＞\%=T，，

进而可得与毛=)1%+2(%+%)+4=-4〃+2X2〃+4=4,

由。4_1_(用，可得：OAOB=0,

即4—4p=0,可得〃=I,

所以抛物线的方程为：V=2x；

(2)证明：设M吟，％),七耳，>>,),用>%),

由C,M,石三点表线可得，)「。，二即」一二R",

v_4y+兄兄-8

222

整理可得：=2(.y0+y)-8,

所以乂=立R,

>o-2

同理可得。，M,尸三点共线，3s=—,

->0

所以直线即的方程：y—y=(x-x,)=——(x-x.),

22

整理可得：y\y2=y(Vj+y2)-2.r,

将力，%的值代入直线方程可得：⑵-2y)y；+4(4-x)+8(2.v-8)=0,

x-y=()

所以,4-x=0解得：x=y=4,

2>'-8=0

所以直线£尸过定点(4,4).

15.己知直线/:y=2x与抛物线C:y=4x2交于A(s,yA)>0(0,0)两点，过点O与直线/

4

垂直的直线交抛物线C于点8(4，力)•如图所示.

(I)求抛物线C的焦点坐标；

(2)求经过4、4两点的直线与)，轴交点M的坐标：

(3)过抛物线)，=!/的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点4、

4

B的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论：如果不是，请说明理

由.

【解答】解：（1）抛物线Uy=2/的方程化为V=4y,

4

2/?=4,“=2....（2分）

.•・抛物线C的焦点坐标为（0.1）.…（4分）

」2

＞，=

（2）联立方程组＜4r＞解得点A坐标为（8,16）.…（6分）

y=2x

联立方程组\,解得点A坐标为（-2,1）.…（7分）

-X

2

所以直线的方程为），-1=上二L.Q+2）,…（8分）

8-（-2）

令x=0,解得y=4.

.••点M的坐标为（0,4）.…（9分）

（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线,

过这两条直线与抛物线的交点的直线回恒过定点（0,4）.…（10分）

证明如下:

设过抛物线v=19的顶点的一条直线为），=履（攵工0）,

4

则另一条为y=—x

k

lr2

4

联立方程组，解得点A坐标为（软，软2）.…（11分）

——X

1

2

=-X

44

A

联立方程组1/）.…分）

---。

4

川4

44A-774

所以直线AB的方程为y----------J・(x+3，…(13分)

《必―(一》女

令R=0,解得y=4.

二直线AS恒过定点(0,4).…(14分)

16.过抛物线E:y2=2px(p>0)上一点〃(1,-2)作直线交抛物线E于另一点N.

(I)若直线MV的斜率为1,求线段|MN|的K;

(II)不过点M的动直线/交抛物线E于A,5两点，且以为直径的圆经过点问

动直线/是否恒过定点.如果有求定点坐标，如果没有请说明理由.

【解答】解：(I)把“点的坐标代入抛物线E：V=2*(〃>0)可得〃=2,

所以抛物线的方程为：丁=4.1,

由题意可得直线MN的方程为：)，+2=x-l,即y=x-3,

与抛物线联立整理可得：x2-10x+9=0,解得：x=l或x=9,可得交点(1,-2)

y=4x

或(9,6),

所以|MN|=J(9-1尸+(6+2)2=g五.

(II)设直线/为：x=ky+m,A5,y\),B(x2,y2),

联立直线与抛物线的方程：整理可得：丁-4卜，-4加=0,

y~=4x''

△=16公+16机>0,即&2+/〃>o,

)1+%=4%，%为二-4〃？，

因为所以M4・M8=0,

(A|-1,y+2)(X2-1,必+2)=0，

2

整理可得：(1+公)力必+(b〃一女+2)(7+y2)+m-2m+5=0,

整理可得："『一6〃?一442+82+5=0,

即(加一3)2=4(&-1)2,

帆=2攵+1,可得A2+24+1>0不是恒成立，或利二-2左+5(符合△>()),

所以直线/为：工=妙一24+5,

即x-5=A(y-2),直线恒过点(5,2).

fv21

17.如图所示，已知椭圆£:=+4=1(〃>。>。)的离心率为上，石的右焦点到直线y=x+l

a~b~2

的距离为也.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设椭圆E的右顶点为A,不经过点4的直线/与椭圆石交于例，N两点，且以MN为

直径的圆过A,求证：直线/恒过定点，并求出此定点坐标.

2211

【解答】解：（1）•.•椭圆E:二+与=1的离心率为L.•.£,，即a=2c.…（2分）

a2b12al

:椭圆石的右焦点（c,0）到直线l:y=x+\的距离为V2.

:.।C,\=yf2,/.c=1.…(4分)

解得仁2,又。i—3故椭圆E的方程为^^1.…（5分）

（2）由题意可知，直线/的斜率为0时，不合题意,

不妨设直线I的方程为x=/期+，

x=my+1

由,x'yj消去A-得(3机2+4)/+Gmty+3r-1