2024届高考物理复习讲义：专题强化二 动态平衡 平衡中的临界与极值问题

专题强化二动态平衡平衡中的临界与极值问题

学习目标1.学会运用解析法、图解法等处理动态平衡问题。2.会分析平衡中的

临界与极值，并会进行相关的计算。

考点一动态平衡问题

1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均

可视为平衡状态。

2.做题流程

化“动”为“静”画不同状态平衡网“静”中求“动”

［构造矢:三角形"

S［定性分析根据矢；上三角形边K关系确定矢吊：

"的大小变化

</三角函数关系

理丝•正弦定理->找关系求极值

［相似三角形

方法n解析法

1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。

2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式（通常要用到三

角函数）。

3.根据自变量的变化确定因变量的变化。

例1（2021・湖南卷，5）质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截

面如图1所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直

墙面接触，内有一质量为小的小滑块。用推力/推动小滑块由A点向B点缓慢

移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下

列说法正确的是（）

图1

A.推力产先增大后减小

B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C.墙面对凹槽的压力先增大后减小

D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

答案C

解析对小滑块受力分析，如图中所示，由题意可知，推力少与凹槽对滑块的

支持力旅始终垂直，即。十夕始终为90。，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过

程中，a减小，夕增大，由平衡条件得bn^gcosa、F^=mgs\na,可知推力

产一直增大，凹槽对滑块的支持力人一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整

体受力分析，如图乙麻示，根据平衡条件可得，清面对凹槽的压力大小尺i=

Fsina=%?gsin2a,水平地面对凹槽的支持力户NZ=Mg+mg—Feosa,在小滑块

由A点向8点缓慢移动的过程中，〃由3逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面

对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错

误。

甲乙

跟踪训练

1.如图2所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E

表面光滑，重力为G；M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上。现过E的轴

心施以水平作用力F,可使圆柱体E被缓慢拉离水平地面，并缓慢地滑到M的

顶端，在上述全过程中，”始终处于静止状态.对该过程的分析，下列说法正确

的是（）

图2

A.地面所受M的压力一直增大

B.地面对M的摩擦力一直增大

C.水平作用力F的大小一直增大

D.E、M间的压力最大值为2G

答案D

解析圆柱体E和半圆柱体M视为一整体，以整体为研究对象，因为整体处于

平衡状态，在竖直方向有尸N，=G+GM,可知地面支持力大小保持不变，根据牛

顿第三定律知地面所受M的压力大小不变，故A错误；以圆柱体E为研究对象，

受力分析如图所示，设两圆心连线与地面的夹角为仇则有FNsin0=GyFNCOS0

=尸，解得/N=磊，尸=竟6=磊，依题意知。从30。增大到90。，则可知

产逐渐变小；将圆柱体E和半圆柱体M视为一整体，因为整体处于平衡状态，

则水平方向有R=F,因过程中水平拉力尸一直在变小，所以地面对M的摩擦

力也一直变小，故B、C错误；据分析，因开始时0最小，则£与加之间的压

力FN最大,则有2N=;，*=2G,故D正确。

F

G

方法见图解法

用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力

大小、方向均不变，为一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。

例2（2023•辽宁丹东模拟）如图3所示，将质量为力的球放在AB和CD两个与纸

面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角〃=。=30°并保持静止。板固定，

CO板与板活动连凄，CQ板可绕通过。点且垂直纸面的轴转动。在。角缓

慢地由3（）。增大到75。的过程中，球对A8板压力的最大值为（）

A.0.5〃zgB.〃吆D.1

答案B

解析对小球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力板的支持力FNAB、

C。的支持力八s三个力作用保持平衡，当。角缓慢地由3（）。增大到75。的过程

中，如图乙所示，在。=75。时FNAB达到最大值，由几何知识可知，此时AB板

对球的支持力等于〃火，根据牛顿第三定律可知，球对AB板压力的最大值为〃吆,

故B正确。

甲乙

跟踪训练

2.（多选）如图4,一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细

绳跨过滑轮，其一端悬挂物块M另一端与斜而上的物块M相连，系统处于静

止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与蓝直方向成45。。

已知M始终保持静止，则在此过程中（）

A.水平拉力的大小可能保持不变

B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

答案BD

解析诜N为研究对象,受力情况如图甲所示，用水平拉力”缓慢折动N的过

程中，水平拉力尸逐渐增大，细绳的拉力rr逐渐增大，选项A错误，B正确；

对M受力分析，如图乙所示，受重力Gw、支持力外、绳的拉力PT以及斜面对

它的摩擦力6。若开始时斜面对M的摩擦力R沿斜面向上，则FT+Ff=GA/sin仇

R逐渐增大，6逐渐减小，当R减小到零后，再反向增大。若开始时斜面对M

的摩擦力衣沿斜面向二,此时，FT=Gwsin6+Ff,当FT逐渐增大时，Ff逐渐增

大，选项C错误，D正确。

方法阴相似三角形法

物体受三个力平衡：一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢

量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时，常利用相似三角形法。

例3（2023•河北衡水模拟）如图5所示为一种可折叠壁挂书架，一个书架用两个三

角形支架固定在墙壁上，书与书架的重心始终恰好在两个支架横梁和斜梁的连接

点。、0,连线中点的正上方，书架含书的总重力为60N,横梁AO、40,水平，

斜梁B。、90,跟横梁夹角为37。，横梁对。、0,点拉力始终沿OA、。卬方向，

斜梁对。、。，点的压力始终沿8。、90,方向，已知41137。=0.6,8537。=0.8,

B.斜梁B。所受的力为50N

C.。、。，点同时向A、，移动少许，横梁OA所受的力变大

D.。、。，点同时向A、*移动少许，斜梁BO所受的力变大

答案B

解析两个三角架承担的力为60N,每个三角架为30N,对。点受力分析，如

GG

22

图甲所不，FOA=270=40N,FBO=；27O=50N,故A错误，B正确；。、

IcillD।5111D/

O,同时向A、A，移动少许，对O点受力分析，如到乙虚线所示，三角形AOB与

G

力三角形相似，所以有京=镌=整，48与8。长度未变，A。长度减小，故

FBO不变,Bto减小，故C、D错误。

跟踪训练

3.（多选）如图6所示，质量均为根的小球A、B用劲度系数为%的轻弹簧相连，

B球用长为L的细绳悬挂于。点，4球固定在。点正下方，当小球B平衡时，

细绳所受的拉力为Fn,弹簧的弹力为“；现把A、B间的弹簧换成原长相同但

劲度系数为七（依〉匕）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此

时细绳所受的拉力为FT2,弹簧的弹力为F?。则入列关于FTI与巴2、尸1与尸2大

小的比较，正确的是（）

图6

A./,TI>FT2B.FTI—FT?

C.FI<F2D.FI=F2

答案BC

解析以3为研究对象，分析受力情况，如图所示。由平衡条件可知，弹簧的

弹力厂和细绳的拉力rr的合力/合与其重力"遭大小相等、方向相反，即〃合=

mg,由力的三角形和几何三角形相似得鬻=亲=今。当弹簧劲度系数变大时,

弹簧的压缩量减小，故的长度增加，而0B、。4的长度不变，故尸n=Fr2,

F2>FI,故A、D错误，B、C正确。

正

A*B

mg

考点二平衡中的临界与极值问题

1.临界、极值问题特征

⑴临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体

所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚

好，，“刚能”“恰好，，等语言叙述。

①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

②绳子恰好绷紧，拉力尸=（）。

③刚好离开接触面，支持力FN=（）O

（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。

2.解决极值和临界问题的三种方法

正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；

极限

临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要

法

把某个物理量推向极大或极小

通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出

数学

函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角

分析法

函数极值）

物理根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平

分析法行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值

例4（2023・湖南长沙模拟）如图7所示，一个倾角为30。、底面粗糙、斜面光滑的

斜面体放在粗糙的水平面上，斜面体的质量为2〃?。轻绳的一端固定在天花板上,

另一端系住质量为m的小球，整个系统处于静止状态，轻绳与竖直方向的夹角

也为3（）。。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则斜面体与水平面间的动摩擦因数

至少为（）

30°

图7

A1.6+也"近八近

6033lb-18

答案C

解析由题意对小球受力分析，沿斜面方向由平衡条件得mgsin30o=FYcos30。,

解得rr=〃zgtan30。=坐mg,对小球和斜面构成的整体受力分析，由平衡条件得,

水平方向满足FTsin30°=Ff,竖直方向满足FN+FTCOS30°=3^,当时,

斜面体与水平面间的动摩擦因数最小，解得最小为4=*,故c正确。

跟踪训练

4.（2023•山东聊城一模）歼一20战斗机安装了我国自主研制的矢量发动机，能够在

不改变飞机飞行方向的情况下，通过转动尾喷口方向改变推力的方向，使战斗机

获得很多优异的飞行性能。己知在歼-20战斗机沿水平方向超音速匀速巡航时

升阻比（垂直机身向上内升力和平行机身向后的阻力之比）为k,飞机的重力为G,

能使飞机实现水平匀速巡航模式的最小推力是（）

ArfeB?DG

答案C

解析飞机受到重力G、发动机推力Q、升力后和空气阻力f,重力的方向竖直

向下，升力6的方向竖直向上，空气阻力/的方向与人垂直，如图，歼-20战

斗机沿水平方向超音速匀速巡航，则有水平方向吊=/,竖直方向22+E=G,

Fz=kf,解得6=G一伉则尸|2=尺+仔=（S+i/-2kGf+G2,月与/的函数图

当尸悬■时，后取最小值，所以解得最小推力是Kmin

像为开口向上的抛物线,

G

3+*故C正确。

提升素养能力

（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1动态平衡问题

1.（多选）如图1所示，在水平地面上放着一个左侧截面为半圆的光滑柱状物体A,

在物体A与竖直墙面之间放着一个光滑斜面体8,斜面体B未接触地面，整个装

置在水平力尸作用下处于静止状态，现推动物体A缓慢向左移动一小段距离，

在此过程中，下列说法正确的是（）

A.水平力厂大小不变

B.地面对物体A的支持力不变

C.斜面体B对物体A的压力逐渐增大

D.墙面对斜面体B的支持力逐渐减小

答案AB

解析以8为研究对象，由平衡条件可知，墙对8的作用力陪，物体A

idn（/

对斜面体的支持力乃=翳，现推动物体A缓慢向左移动一小段距离，角度0

o111C/

保持不变，所以a、4保持不变，以整体为研究对象，水平力厂大小等于墙对

8的作用力R保持不变，故A正确；以整体为讦究对象，地面对物体A的支持

力等于A、〃重力之和保持不变，故B正确；根据牛顿第三定律，可知斜面体9

对物体A的压力等于物体A对斜面体的支持力B不变，故C错误；墙面对斜面

体3的支持力人保持不变，故D错误。

2.如图2所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、8两个轻环，系在两环上的等长

细绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本为处于静止状态，若杆对八环

的支持力为FN,杆对A环的摩擦力为R,则（）

图2

A.FN减小，Ft不变B.AN减小，a增大

CFN不变，R不变D.A不变，a增大

答案D

解析对A、8和书本整体分析，根据平衡条件以及对称性可知2"N=G,设两

细绳的夹角为2仇对力单独受力分析，如图所示，根据平衡条件可得tan。=管,

将两环距离变大后，入不变，。增大，R增大。故D正确。

3.（多选）如图3所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于

斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜面平

行。现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小

球始终未脱离斜面，贝1（）

图3

A.轻绳对小球的拉力逐渐增大

B.小球对斜面的压力先减小后增大

C.竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小

D.对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大

答案AD

解析设斜面倾角为斜面对小球的支持力为FNI,绳对小球的拉力为FT,小

球的重力大小为Gi,小滑块的重力大小为G2,竖直杆对小滑块的弹力大小为FN2o

由于小滑块沿杆缓慢上升，所以小球沿斜面缓慢向上运动，小球处于动态平衡状

态，受到的合力为零，作小球受力矢量三角形如图甲所示，则绳对小球的拉力

a逐渐增大，选项A正确；斜面对小球的支持力/NI逐渐减小，故小球对斜面

的压力逐渐减小，选项B错误；将小球和小滑块看成一个整体，对其进行受力

分析如图乙所示，由平衡条件可得人N2=FNisin仇+G2—FNICOS0,EFNI

逐渐减小，所以外2逐渐减小，户逐渐增大，选项C错误，D正确。

4.如图4所示为一简易起重装置，（不计一切阻力）A。是上端带有滑轮的竖直司定

支架，3C为质量不计的轻杆，杆的一端C用钱链固定在支架上，另一端〃悬挂

一个质量为〃，的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆8C

与AC的夹角N8C4>90。，现使N8C4缓慢变小，直到N8CA=30。。在此过程中，

杆8C所产生的弹力（）

图4

A.大小不变B.逐渐增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

答案A

解析以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡

条件知，尺尸N的合力产合与G大小相等、方向相反。根据三角形相似得

=金，又/合=G得尸=^G,八啜G，N8C4缓慢变小的过程中，AB变小,

而AC、8C不变，则尸变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故A

正确。

对点练2平衡中的临界与极值问题

5.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米

棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图5所示。

若支撑点距水平地面的高度为小m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为坐木

棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力,

为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为（）

图5

A.1.5mB.小mC.2mD.2sm

答案C

解析设木棍与竖直方向夹角为仇木棍长度为L,粮仓对木棍的作用力为F。

为使木棍下端一定不发生侧滑，则有尸sin。W/bcos仇即"2lan仇由几何知识

有tanO=r-,联立解得£W2m,即木棍的长度最多为2m,故C项正确。

6.如图6所示，质量分别为3m和〃7的两个可视为质点的小球〃、b,中间用一细

线连接，并通过另一细线将小球〃与天花板上的。点相连，为使小球〃和小球〃

均处于静止状态，且。。细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37。，需要对小球匕

朝某一方向施加一拉力F。若己知向37。=0.6,2537。=0.8。重力加速度为g,

则当F的大小达到最小时，细线对小球a的拉力大小为（）

A.2.4〃zgC.3.2mg

答案C

解析以两个小球组成的整体为研究对象，作出尸在三个方向时整体的受力图。

根据平衡条件知产与后的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合

成图可知当厂与绳子。〃垂直时尸有最小值，即图中2位置，此时细线对小

球Q的拉力大小为R=4〃zgcos37o=3.2mg,故C正确,A、B、D错误。

7.（2020・山东卷，8）如图7所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分

别为机和2m的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、3间的接触

面和轻绳均与木板平行。A与8间、。与木板间的动摩擦因数均为小设最大静

摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45。时，物块人、。刚好要滑

动，则〃的值为（）

A3

答案C

解析根据题述，物块A、8刚要滑动，可知A、8之间的摩擦力FfAB=/nmgcos45°,

B与木板之间的摩擦力F[="-3mgcos45。。隔离4分析受力，由平衡条件可得轻

绳中拉力/7二尺钻+加期由45。。对A、3整体，由平衡条件可得2尸=3〃zgsin45。

-FG联立解得〃=/选项C正确。

8.（多选）如图8所示，A、B两个物体中间用一根不可伸长的轻绳相连，在物体B

上施加一斜向上的力居使A、8两物体保持相对静止一起沿水平地面向右匀速

运动，当力尸与水平面的夹角为。M,力尸最小。已知A、5两物体的质量分别

为"力=2.5kg、机2=0.5kg,物体A与地面间的动摩擦因数g取10m/s2,

不计空气阻力，则下列说法正确的是（）

图8

A.0=30。

B.0=6（）。

C.力产的最小值为12N

D.力”的最小值为15N

答案AD

解析对A、8两物体，采用整体法进行受力分析，由共点力平衡和正交分解法

知，在竖直方向上，

FN=（w1+m2）g—Fsin0

滑动摩擦力为

Ff="Fz

在水平方向上

Ft=Fcos6

人”/口"（〃21+加2）2

解得X~g.日

cos8+〃sm0

由三角函数知识，得F的最小值为

LI（W1+/H2）2

Fmin=匕~~/一—=15N

弋1+〃-

A

此时有tan0=〃=与，。=30°

J

故A、D正确。

B级综合提升练

9.（2023•江苏南京市中华中学高三开学考）如图9所示，在水平板的左端有一固定

挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于

自然长度。已知滑块与板间的动摩擦因数为坐，且最大静摩擦力等于滑动摩擦

力。现将板的右端缓慢令起（板与水平面的夹角为J）,直到板竖直。此过程中（）

图9

A.当。=30。时,弹簧的弹力

5

B.当夕=45。时，摩擦力吆

C.当。=60。时，摩擦力达到最大

D.当。二60。时，弹簧的弹力/=当/型

答案D

解析由题意可知mgsin0=〃〃7gcos仇即〃=tan0=弋,。=30。，即当6=30。

时，滑块处于即将滑动状态，此时弹簧的弹力为0,故A错误；当。=45。＞30。

时，滑块处于缓慢滑动状态，则滑动摩擦力为R=〃〃?gcos45o=坐X孚mg=

书mg,故B错误；当，=3。。时，摩擦力达到最大，随板与水平面的夹角增大，

滑动摩擦力减小，故C错误；当。=60。时，由平衡条件可知产+卬阳8560。=

mgsin60°,即F=mgsin60°—///wgcos60。=坐mg一坐X=^mg,故D正确。

10.（多选）（2023・华大新高考联盟联考）如图10所示，一个装满水的空心球总质量

为〃z,左侧紧靠在竖直墙面上，右侧由方形物块顶在其右下方的4点，使球处于

R

静止状态。空心球的圆心为0,半径为R,A点距离圆心。的竖直距离为了重

力加速度为g。则（）

A.方形物块对空心球的弹力大小为2mg

B.仅将方形物块向右移动少许，墙面对空心球的弹力将不变

C.仅当空心球里的水放掉一小部分，方形物块对球的弹力将变小

D.仅当空心球里的水放掉一小部分，方形物块对球的弹力与水平方向的夹角将变

小

答案AC

R1

解析以空心球整体的研究对象，受力分析如图，由几何关系可知sin9=^=摄

ZAZ

故方形物块对空心球的弹力大小为尸?二土笠=2加g,A正确；仅将方形物块向

O111

右移动少许，。变小，墙面对空心球的弹力入=毋5将变大，B错误；仅当空心

球里的水放掉一小部分，重力变小，重心下降，但方形物块对空心球的弹力方向

仍然指向圆心，方向不变，即方形物块对球的弹刀与水平方向的夹角?不变，重

力变小，则方形物块定球的弹力将变小，C正确，D错误。

11.如图11所示，在水平推力作用下，物体A静止在倾角为。=45。的粗糙斜面上，

当水平推力为凡时、A刚好不下滑，然后增大水平推力的值，当水平推力为F

时A刚好不上滑。设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物体A与斜面之间的动摩

擦因数为〃@V1）,则下列关系式成立的是（）

图11

屋F=/—FqB.尸=（丁忆）2尸0

1—/.iIr

C.F=—^Fo口.尸=（丁上）2尸（）

1—/Z1—（.I

答案D

解析当物体恰好不下滑时，沿斜面方向刚好平衡，则有

mgsin450=尸ocos45°+/ZF