112空间向量的数量积运算（原卷版）

1．1.2空间向量的数量积运算知识点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.知识点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).知识点三向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．题型一、数量积的计算1．空间向量的夹角图示定义已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则_________叫做向量，的夹角，记作_________范围通常规定：__________________；当_________时，与垂直，记作_________2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量，，则_________叫做，的数量积，记作．即_________．【微提醒】零向量与任意向量的数量积为0．（2）由数量积的定义，可以得到：_________；_________．3．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________.4．如图，在单位正方体中，设，，，求：(1)；(2)；(3)．5．已知在四面体ABCD中，，，则______．题型二、投影向量1．投影向量（1）在空间，向量向向量投影：如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，_________，称向量为向量在向量上的投影向量．（2）向量在直线l上的投影如图②．（3）向量向平面投影：如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量_________称为向量在平面上的投影向量．2．判断正误：（1）向量在向量方向上的投影数量等于向量在向量方向上的投影数量；()（2）和向量在向量方向上的投影数量等于，在向量方向上的投影数量之和．()3．已知，向量为单位向量，，求向量在向量方向上的投影的数量．4．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为___________5．已知向量与的夹角为．(1)若是与方向相同的单位向量，求在上的投影向量；(2)求；(3)求．题型三、利用数量积证明垂直问题1．如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC．2．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.(1)用向量表示向量；(2)求证.3．如图在正方体中，为与的交点，为的中点．求证：平面.题型四、利用数量积求模1．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则（

）．A． B．1 C． D．22．已知平行六面体，，，求.3．如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.（1）求AC1的长;（2）证明:AC1⊥BD．题型五、利用数量积求夹角1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．四面体中，，则（

）A． B． C． D．3．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：（1）的长；（2）与夹角的余弦值.1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______．2．三棱锥中，，，，则______．3．已知单位正方体，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).4．已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为（

）A．－ B． C． D．5．中，角、、的对边分别为、、，并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知向量、的夹角为120°，且，．(1)求；(2)求向量在向量方向上的投影．7．已知四面体OABC，，．求证：．8．已知空间四边形中，，且，分别是的中点，是的中点，求证：9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．10．如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，．求证：平面．11．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．412．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（

）A．5 B． C． D．13．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（

）A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为14．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.15．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，．(1)用，，表示，并求；(2)求．16．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.（1）求对角线的长；（2）求.17．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M．(1)求证：两两垂直；(2)求异面直线与所成角的大小．18．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点．设，，．（1）求证：；（2）求异面直线和所成角的余弦值．1．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．2．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．下列命题中正确的个数为（

）①若，则②若，且，则③若，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为④若，则必定存在实数，使得A．0 B．1 C．2 D．35．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．在平行六面体中，，，，则（

）A． B．5 C． D．37．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°8．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（

）A． B． C． D．9．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（

）．A．6 B． C．2 D．10．在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（

）A． B． C． D．11．如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（

）A． B． C．或 D．3或12．在平形六面体中，其中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．13．（多选）下列说法正确的是（

）A．对于任意两个向量，若，且同向，则B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件D．若，则与的夹角是钝角14．（多选）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（

）A．B．C．直线与直线所成角的正该值是D．直线与平面所成角的正弦值是15．判断正误（1）向量与的夹角等于向量与的夹角．()（2）若，则或．()（3）对于非零向量，，与相等．()（4）若，且，则．()（5）若，均为非零向量，则是与共线的充要条件．()16．正四面体的棱长为1，E为中点，则__________17．如图在平行六面体中，，，则的长是_________．18．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.19．设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.20．已知空间向量､､是两两互相垂直的单位向量，=___________.21．已知空间向量与满足，且，若与的夹角为，则________．22．已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.23．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.24．六面体的所有棱长都为2，底面ABCD是正方形，AC与BD的交点是O，若，则___________.25．已知空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，求下列数量积：(1)；(2)；(3)；(4)．26．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．(1)求证：；(2)若，求的长．27．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．28．如图所示，已知是△所在平面外一点，，求证：在面上的射影是△的垂心．29．如右图,一个结晶体的形状为平行六面体，以点A为端点的三条棱AB，AD，的长都等于，且彼此之间的夹角都是.(1)用向量表示向量.(2)求晶体的对角线长.30．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．31．已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)判断与是否垂直；(3)求异面直线BD与AC所成角的余弦值．32．如图，点、