第14讲圆的标准方程（教师版）高二数学讲义（人教A版2019选择性）

第14讲圆的标准方程目标导航目标导航课程标准课标解读1．理解圆的定义及确定圆的几何要素，理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.2.会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径.通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.知识精讲知识精讲知识点01圆的标准方程的认识圆的标准方程基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径.标准方程圆心为，半径为r的圆的标准方程是.图示说明若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上.【微点拨】【即学即练1】若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．【即学即练2】．圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心坐标和半径分别为（）A．（－1，2），2 B．（1，－2），2C．（－1，2），4 D．（1，－2），4【答案】A【解析】根据圆的标准方程可知，圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心坐标为（－1，2），半径r＝2，故选A．知识点02圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为①，①式两边平方，得.【即学即练3】圆关于直线对称的圆的方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】C【解析】将整理成标准式可得：，可得圆的圆心坐标为（1，0）半径为，关于直线对称的圆的圆心坐标为（3，2），所以所求圆的方程为.【即学即练4】已知A（3，－2），B（－5，4），则以AB为直径的圆的方程是()A．（x－1）2＋（y＋1）2＝25 B．（x＋1）2＋（y－1）2＝25 C．（x－1）2＋（y＋1）2＝100 D．（x＋1）2＋（y－1）2＝100【答案】B【解析】由题意可得圆心为（－1，1），半径为，由圆心和半径可得圆的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝25，故选B．【即学即练5】圆心在x轴上，半径长为，且过点（－2，1）的圆的方程为（）A．（x＋1）2＋y2＝2 B．x2＋（y＋2）2＝2C．（x＋3）2＋y2＝2 D．（x＋1）2＋y2＝2或（x＋3）2＋y2＝2【答案】D【解析】设圆心坐标为则由题意知，解得或，故圆的方程为（或．故选D．知识点03点与圆的位置关系圆C：，其圆心为，半径为，点，设.位置关系与的大小图示点P的坐标的特点点在圆外点在圆上点在圆内【微点拨】判断点与圆的位置关系主要是根据点到圆心的距离与半径做比较.【即学即练6】已知点（2，0）和（x–2）2+（y+1）2=3，则点与圆的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．不确定【答案】A【解析】由于（2–2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【即学即练7】若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．【答案】a>eq\f(1,13)或a<－eq\f(1,13)【解析】∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>eq\f(1,169)，∴|a|>eq\f(1,13)，即a>eq\f(1,13)或a<－eq\f(1,13).能力拓展能力拓展考法011．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【典例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线与的交点，半径长为．【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即，∴圆的标准方程为．（2）由题意知圆心是两直线的交点，由，得．∴圆心为，又∵半径长为，∴圆的标准方程为．【典例2】过点且圆心在直线上的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法1：设所求圆的标准方程为，由已知条件，知，解此方程组，得，故所求圆的标准方程为．解法2：设点为圆心，因为点在直线上，所以可设点的坐标为．又因为该圆经过两点，所以所以，解得．所以．所以圆心坐标为，半径．故所求圆的标准方程为．解法3：由已知可得线段的中点坐标为，，所以弦的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线的方程为，即．则圆心是直线与的交点，由得，即圆心，圆的半径，故所求圆的标准方程为．【名师点睛】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法1，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法2、3．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．【即学即练8】经过点（2，2），圆心为C（1，1）的圆的方程是__________．【答案】【解析】由题意，∴圆标准方程为．【即学即练9】以为直径两端点的圆的方程是__________．【答案】【解析】由题意圆心为，半径为，∴圆方程为．【即学即练10】过点A（1，－1）、B（－1，1），且圆心在直线上的圆的方程是__________．【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以可令圆心．又因为圆过点A（1，－1）、B（－1，1），所以圆的半径．由两点距离公式得，，解得．所以，圆心，半径．因而，圆的方程是．考法02会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离与圆的半径比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①，点在圆外；②，点在圆上；③，点在圆内．【典例3】已知点A（1，2）和圆C：（x–a）2+（y+a）2=2a2，试求满足下列条件的实数a的取值范围．（1）点A在圆C的内部；（2）点A在圆C上；（3）点A在圆C的外部．【解析】（1）∵点A在圆C的内部，∴（1–a）2+（2+a）2<2a2，即2a+5<0，解得a<．故a的取值范围是{a|a<}．（2）将点A（1，2）的坐标代入圆C的方程，得（1–a）2+（2+a）2=2a2，解得a=，故a的值为．（3）∵点A在圆C的外部，∴（1–a）2+（2+a）2>2a2，即2a+5>0，解得a>．故a的取值范围是{a|a>}．【即学即练11】两个点、与圆的位置关系是（）A．点在圆外，点在圆外B．点在圆内，点在圆内C．点在圆外，点在圆内D．点在圆内，点在圆外【答案】D【分析】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.【详解】将代入方程左边得，则点在圆内，将代入方程左边得，则点在圆外，故选：D.分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知圆，则其圆心的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆的标准方程，直接求圆心坐标.【详解】圆，则其圆心的坐标为.故选：C2．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆心坐标和半径直接写出圆的标准方程.【详解】解：因为圆的圆心在原点半径为3，所以圆的方程是.故选：C.3．以点为圆心，与轴相切的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆与轴相切得出半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程.【详解】由题知，圆心为，因为圆与轴相切，所以圆的半径，所求圆的方程为.故选：C.4．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圆的直径式方程后再将其化简为标准方程，从而可得正确的选项，我们也可以求出圆心和半径，从而得到圆的方程.【详解】法1：以线段为直径的圆的直径式方程为，整理得到：，故选：D.法2：因为圆以为直径，故圆心为的中点，又，故圆的半径为5，故以线段为直径的圆的方程为：.故选：D.5．圆的圆心关于原点的对称点为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆的标准方程求出圆心，进而结合点对称即可求出结果.【详解】圆的圆心为，关于原点对称的点为，故选：C.6．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】反射光线过圆心，而点与圆心连线与轴平行，由对称性可得入射光线与的交点（即反射点），由交点坐标和圆心坐标可得反射光线所在直线方程．【详解】由题意反射光线过圆心，又点与圆心连线与轴平行，所以入射光线与的交点的横坐标为，即入射光线与轴交点为．所以反射光线所在的直线方程为，即．故选：C．7．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.【详解】因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，又圆的圆心为，所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，故选：D8．已知直线与圆交于，两点，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆的性质及勾股定理得到圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式建立方程，解方程即可求得结果.【详解】设圆心到直线的距离为，则根据题意得，由点到直线的距离公式得，解得.故选：C.9．已知实数x，y满足，则x的最大值是（）A．3 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定的最大值.【详解】方程变形为，圆心，半径，则的最大值是.故选：C10．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0【答案】A【分析】利用圆的垂径定理，结合互相垂直两直线的斜率之间的关系，进行求解即可.【详解】圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M(1，0)．因为直线MP与AB垂直，所以kAB＝－＝－＝1.又因为直线AB过点P(2，－1)，所以直线AB方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.故选：A11.圆的圆心C的坐标为（）A．（1，0） B．（－1，0） C．（2，0） D．（－2，0）【答案】B【分析】圆的一般方程化为圆的标准方程即可求解.【详解】由圆可得，故圆心坐标为,故选：B12．过点A（1，1），B（3，5），且圆心在直线上的圆的半径是（）A．2 B．3 C． D．10【答案】C【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，由题意构建关系的方程组，求解即可得到答案【详解】设圆的标准方程为，因为圆过点A（1，1），B（3，5），且圆心在直线上，则有，解得，所以圆的半径是故选：C13．圆的圆心坐标和半径分别是（）A．(1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．【答案】D【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.14.．过点，且圆心在直线上的圆的方程（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.【详解】因为过点，，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，.所以圆的方程为.故选：C题组B能力提升练1.在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【分析】根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.【详解】由可知圆心，半径为，因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，所以直线：上有且只有一个点，使得，即，所以圆心到直线的距离为，所以，解得或（舍）.故选：C【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.2.圆关于直线对称的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圆心关于直线对称的圆的圆心，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径，则不妨设圆心关于直线对称的圆的圆心为，半径为，则由，解得，故所求圆的方程为.故选：D3.过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设圆心的坐标为，根据圆心到点、的距离相等可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.【详解】设圆心为，由可得，整理可得，解得，所以圆心，所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标，根据题意列出关于、的方程即可；（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.4.圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是（）A．（x－）2＋（y－1）2＝4B．（x－1）2＋（y－）2＝4C．x2＋（y－2）2＝4D．（x－）2＋（y－）2＝4【答案】B【分析】设圆（x－2）2＋y2＝4的圆心关于直线y＝x对称的点的坐标为A（a，b），解方程得a,b的值，即得对称的圆的方程.【详解】设圆（x－2）2＋y2＝4的圆心关于直线y＝x对称的点的坐标为A（a，b），则,所以a＝1，b＝，所以A（1，），从而所求圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝4.故选：B.【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查点关于直线的对称点的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.已知点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】先分析得到动直线经过定点Q（1,3），从而得到点M的轨迹，再利用数形结合分析得到|MN|的最小值.【详解】因为动直线，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为，所以的最小值为.故答案为D【点睛】本题主要考查直线和圆，考查动点的轨迹和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是找到动点M的轨迹.6.若集合，，且，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等价于，可转化为当对应的圆的半径小于等于2时，符合题意，特别注意集合为空集的情况.【详解】等价于．当时，集合和中的点的集合分别代表圆和圆的内部，当对应的圆的半径小于等于2时，符合题意．由，得．当时，集合为空集，也满足，所以当时符合题意．【点睛】本题主要考查了集合的子集，圆的方程，分类讨论的思想，属于中档题.7.设有一组圆，下列命题正确的是（）．A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为【答案】ABD【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；令，化简得，∵，∴，无实数根，∴B正确；由，化简得，∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.8.已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为_________．【答案】【分析】设圆心为，由圆的方程得到圆心和半径，取，可证得，得到，可知，利用两点间距离公式可求得最小值.【详解】设圆：的圆心为，则，半径，取，，，，，（当且仅当三点共线且在线段上时取等号），，，即的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查圆部分的最值问题的求解，解题关键是能够利用三角形相似将问题转化为三角形两边之和大于第三边的问题，由此确定三点共线时取得最小值.9.已知过和且与轴相切的圆有且只有一个，则的值为___________.【答案】或【分析】设所求圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程，整理可知关于的方程有且只有一个实根，由此可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】设所求圆的方程为.由于点、都在该圆上，所以，，整理可得，由于满足条件的圆有且只有一个，则关于的方程有且只有一个实根，所以或，即或，解得或.故答案为：或.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．10.方程表示的曲线是_________．【答案】两个半圆【分析】方程两边平方得：，再分和两种情况即可得答案.【详解】解：根据题意，将两边平方得：，且故当时，方程为：，表示以为圆心，为半径的半圆；当时，方程为：，表示以为圆心，为半径的半圆；故方程表示的曲线是两个半圆.故答案为：两个半圆【点睛】本题考查圆的标准方程，考查分类讨论思想与方程思想，是中档题.本题解题的关键在于由已知得，，再分类讨论求解.C培优拔尖练1.如果三角形的顶点分别是，，，求它的内切圆方程.【答案】【分析】利用截距式求得的方程为.设内切圆的圆心为，且，则半径为后，求得的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程.【详解】利用截距式求得的方程为，即.∵为直角三角形，∴设内切圆的圆心为，且，则半径为，解得，∴圆心为，半径为3，故内切圆方程是.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于中档题.2.已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的的面积为24.（1）求直线的方程；（2）求的内切圆的方程.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）设.求出它与坐标轴的交点坐标，由三角形面积求出参数的值，得直线方程；（2）利用直角三角形内切圆半径等于两直角边的和减去斜边后除以2，即得圆心坐标，从而得圆方程．【详解】解：（1）设.当时，；当时，.∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴.∴.∴直线的方程为或.（2）∵直线的方程为，直角边长为6和8，斜边长为10，∴的内切圆半径，圆心或∴的内切圆的方程为或．【点睛】关键点点睛：本题考查求直线方程，考查求直角三角形内切圆方程．解题关键是直角三角形内切圆性质：设直角三角形直角边长为，斜边长为，则内切圆半径为，然后由圆与三边相切可得圆心坐标．易得圆方程，解题时注意三角形有两种位置．3.已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）设圆心坐标为，设圆的方程为，根据已知条件得出关于、的方程，求出这两个量的值，由此可得出圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，可设直线的方程为，利用点到直线的距离可求得的值，可得出直线的方程；在直线的斜率不存在时，检验即可.综合可得出直线的方程.【详解】（1）由题意设圆心为，则圆的方程为，因为圆经过点和，，解得，即圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.又圆的圆心为，由，解得.此时，直线的方程为，即；当的斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离也为.综上，满足题意的直线的方程为或.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．4.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.【详解】（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为3.又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即.（2）由，解得点的坐