专题29-2022年江苏高考数学满分限时题集

专题29大题限时练291．已知数列满足：，，数列满足：．（1）求数列，的通项公式（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列．【答案】（1），（2）见解析【详解】（1）由题意可知，令，则又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故因为，故（2）假设数列存在三项，，按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有成立，则只有可能有成立，化简整理后可得，，由于，且为整数，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故等式不可能成立，导致矛盾．故数列中任意三项不可能成等差数列．2．在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由正弦定理知，，，，即，由余弦定理知，，，．（2）由（1）知，，即，，，，解得，，的面积．3．如图，在四棱锥中，，，在以为直径的半圆上（不包括端点），平面平面，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：取中点，连接，，，，分别为，的中点，，，，，，平面平面，平面，平面；（2）当四棱锥体积最大时，是中点，此时，以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，0，，平面的法向量，0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．4．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病，而新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．【答案】见解析【详解】（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，1，2，表示事件“一个试验组中，服用乙种抗病毒药物有效的人数人”，，1，2，由题意可得，，，，，所以一个试用组为“甲类组”的概率为；（2）的可能取值为0，1，2，3，且，则，，，，所以的分布列为：0123故的数学期望为．5．已知函数．（1）求的单调区间；（2）试求的零点个数，并证明你的结论．【答案】见解析【详解】（1）由函数，得．另，得．列表如下：，0极小值因此，函数的单调递增区间为，，单调减区间为．（2）由（1）可知，．当时，由，得函数的零点个数为0．当时，因在，上是单调增，在上单调减，故，，时，．此时，函数的零点个数为1．当时，．①时，因为当，时，，所以，函数在区间，上无零点；另一方面，因为在，单调递增，且，由，，且，此时，函数在，上有且只有一个零点．所以，当时，函数零点个数为1．②时，因为在，上单调递增，且（1），，所以函数在区间，上有且只有一个零点；另一方面，因为在，上是单调递减，且又，且，（当时，成立）此时，函数在上有且只有一个零点．所以，当，函数的零点个数为2．综上所述，当时，的零点个数为0；当时，或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2．6．设椭圆的离心率，过椭圆上一点作两条不重合且倾斜角互补的直线、分别与椭圆交于、两点，且中点为．（1）求椭圆方程．（2）椭圆上是否存在不同于的定点，使得的面积为定值，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）依题意得，解得，，，所以椭圆．（2）解法一：因为直线、的倾斜角互补，所以设直线、的方程为，，所以，，，，联立方程消元得：，所以，所以，所以，同理得，，设，则，，所以，所以点在直线上，所以当时，的面积为定值．此时的直线方程为，即，因为消元得：，解得或（舍去）．所以椭圆上存在不同于的定点，使得的面积为定值．（2）解法二：设直线、的斜率为，，，，，，因为直线、的倾斜角互补，所以，设直线的方程为，联立方程消元得：，所以，，，所以，