专题09《直线与方程》中的取值范围与最值问题（1）-2021-2022学年高二数学培优训练（2019选择性）

专题09《直线与方程》中的取值范围与最值问题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线定点A的距离，当θ变化时，d的最大值与最小值的差是(

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】

本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，

由题意d=|cosθ-msinθ-2|12+m2=|m2+1sin(α-θ)-2|m2+1，当sinα-θ=-1时，dmax=1+2m2+1≤3.当sinα-θ=1，dmin=-1+2m2+1已知直线l:Ax+By+C-1=0(A>0,B>0)恒过定点(A.14 B.34 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查了直线方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，

【解答】

由题可知2=(m-2)2+22，所以m=2，所以2A+C=1．

12在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上的动点(不含端点)，过B，E，D1的截面与棱A1B1交于F，若截面BED1A.有最小值2+25 B.有最大值4+22

C.是定值4+22 D.是定值【答案】A【解析】【分析】

本题考查了正方体的结构特征，以及几何体中的截面问题，考查学生的空间想象能力，由题意画出截面图，设DE=t，t∈(0,1)，则可推出则C1+C2=2+2((1-t)2+12+t2+12)，由此可求出C的范围．

【解答】

解：依题意，设D1,F,B,E在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影点分别为D'，F'，B'，E'，

截面BED1F在上面(平面A1B1C1D1)，左面(已知两点，若直线与线段AB恒有交点，则k的取值范围(    )A. B.

C. D.【答案】B【解析】【分析】

本题考查直线的斜率的取值范围的求法，解题的关键是正确求解边界的斜率．

直线y=kx过定点(0,0)，再求它与两点A1,3,B-3,1，的斜率，即可取得k的取值范围．

【解答】

解：∵直线y=kx过定点O(0,0)，A1,3,B-3,1，

∴kOA=3,k过点P(-3,0)作直线a+2bx-(a+b)y-3a-4A.[5-5,5+5] B.[5-5,5)

【答案】A【解析】【分析】

本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，

化已知直线为a(x-y-3)+b(2x-y-4)=0，即有解：由直线(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0(a,b不同时为零)

化为a(x-y-3)+b(2x-y-4)=0，

令x-y-3=02x-y-4=0，解得x=1，y=-2，

∴

二、多选题已知两点M(2,-3)，N(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(    )A.k≤-4 B.k≥34 C.【答案】AB【解析】【分析】本题主要评价了学生直线斜率公式的掌握程度，以及运用数形结合的思想进行运算求解的能力，【解答】解：kPM=-3-12-1=-4，kPN=-2-1-3-1=34，

直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，

下列说法错误的是A.“a=-1”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)

C.过，两点的所有直线的方程为

D.经过点且在轴和y轴上截距都相等的直线方程为x【答案】ACD【解析】【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，

对于A，根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B，根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C，当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D，利用过原点的直线也满足条件进行判断．

【解答】

解：对于A，当a=0时，两直线方程分别为y=1和x=2，此时也满足直线垂直，故A错误；

对于B.直线的斜率k=-sinα，则-1⩽k⩽1，即-1≤tanθ≤1，

则θ∈[0,π4]∪[3π4,π)，故B正确；

对于C.当x1=已知直线l1:ax-y+1=0，l2:xA.不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；

B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)

C.不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称

D.【答案】ABD【解析】【分析】

本题考查两条直线的位置关系

根据题意，逐项判断即可．

【解答】

解：因为直线l1:ax-y+1=0,  l2:x+ay+1=0，

所以a·1+-1·a=0，

则不论a为何值时，l1与l2都互相垂直，故A正确；

因为直线l1：ax=y-1，当a变化时，直线l1过定点A(0,1)；

直线l2：x+1=-ay，当a变化时，直线l2过定点B(-1,0)，故B正确；

在l1上任取点(x,ax+1)，可知：点(x,ax三、单空题已知在矩形ABCD中，A(-4,4)，D(5,7)，其对角线的交点E在第一象限内且到y轴的距离为1，动点P(x,y)沿矩形的一边BC运动，则【答案】(-∞,-1【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、中点坐标公式、相互垂直的向量与数量积的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，【解答】

解：如图所示，

设E(1,a)．

∵点E是线段∴1=-4+xc∵AD⊥DC，

∴AD∴C(6,4)．

∵ABCD为矩形，∴AB=DC

即

xB+4,yB-4=6-5,4-7=1,-3

∴

xB=-3yB=1所以B故答案为(-∞,-13

已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边长，若点(m,n)在直线ax+by+2c【答案】4【解析】【分析】

此题考查了点到直线的距离公式，以及勾股定理．

理解当点(m,n)为原点到已知直线垂直时的垂足时，所求式子达到最小值是解本题的关键．

【解答】

解：∵m2+n2表示点(m,n)到原点的距离的平方，

且点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，

∴m2+n2在梯形ABCD中，已知，

AB=2CD=2，

AD|AD|⋅AB|AB|=12，动点E和F分布在线段【答案】74【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的数量积和直线的方程，属于难题．

根据向量数量积公式结合题意可得∠DAB=π3,分析可得当E

与D

重合时，BA·BE

有最大值72，，则BH=74,AH=14

，可得DH=34，建立坐标系，设出F点的坐标，结合F点横坐标的取值范围求解即可．

【解答】

解：由

，

得

，

当E

与D

重合时，取得最大值

，

BA·BE

有最大值72

，此时

，

作EH⊥AB

于H

，则BH=74,AH=14

，可得DH=34

，

以A为原点，以AB为四、解答题已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠，使A点落在线段DC上

(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；

(2)当-2+3≤k≤0【答案】解：(1)(1)当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)(0<a≤2)，

所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG⋅k=-1，1a·k=-1⇒a=-k，

故G点坐标为G(-k,1)(-2≤k<0)．

从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为M(-k2,12)，

折痕所在的直线方程y-12则|PQ|则|PQ|≤所以折痕长的最大值为2(6-【解析】本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．(1)当k=0时，此时A点与D点重合，求出折痕所在的直线方程．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG⋅k=-1，解得a=-k.(2)当k=0时，折痕长为2.当-2+3≤k<0时，折痕所在直线交BC于于(2,2

已知直线l：kx-y(1)若直线不经过第二象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．【答案】(1)证明：直线l：kx-y-2-k=0(k∈R)化为k(x-1)-y-2=0，

令x-1=0-y-2=0，解得x=1，y=-2，

∴直线l过定点P(1,-2)．

(2)解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：2+kk，-2-k．

∵直线不经过第二象限，

∴2+kk≥0-2-k≤0，解得k>0.当【解析】本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，

(1)直线l：kx-y-2-k=0(k∈R)化为k(x-1)-y-2=0，令x-1=0-y-2=0，解得即可得出；

(2)由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：2+kk，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,(1)设h(x)=cos(2)求(1)中函数h(x)的“相伴向量(3)已知点M(a,b)(b≠0)满足：(a-3)2+(b-【答案】解：(1)∵h(x)=cos(x+π6)-2cos(x+a)

=(2sina-12)sinx+(32-2cosa)cosx，

∴函数h(x)的相伴向量OM=(2sina-12,32-2cosa)，

∴h(x)∈S；

(2)∵|OM|=(2sina-12)2+(32-2cosa)2

=5-2sina-23cosa

=5-4sin(a+π3)，

∴|OM|【解析】

本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，属于综合题．

(1)依题意，将h(x)=cos(x+π6)-2cos(x+a)化为h(x)=(2sina-12)sinx+(32-2cosa)过点P2,-1的直线l分别交y=12xx≥0与(1)设A点的坐标为2a,a，用实数a表示B点的坐标，并求实数(2)当PA•PB最大时，求直线l【答案】解：(1)设Bm,n，由于B在射线y=-2xx≥0上，则n=-2m①.BP=2-m,-1-n,PA=2a-2,a+1，

由于A,