2024-2025学年高中数学单元素养评价第一章推理与证明含解析北师大版选修2-2

PAGE单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B.依据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应当是结论成立的依据，因为由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，所以大前提肯定是矩形都是对角线相等的四边形.2.视察下列式子：1+QUOTE<QUOTE，1+QUOTE+QUOTE<QUOTE，1+QUOTE+QUOTE+QUOTE<QUOTE，…，则可归纳出1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE小于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.所揣测的分式的分母为n+1，分子恰好是第n+1个正奇数，即2n+1.3.用反证法证明命题“QUOTE+QUOTE是无理数”时，假设正确的是()A.假设QUOTE是有理数 B.假设QUOTE是有理数C.假设QUOTE或QUOTE是有理数 D.假设QUOTE+QUOTE是有理数【解析】选D.应对结论进行否定，则QUOTE+QUOTE不是无理数，即QUOTE+QUOTE是有理数.4.用数学归纳法证明1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE时，由n=k到n=k+1左边须要添加的项是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由n=k到n=k+1时，左边须要添加的项是QUOTE=QUOTE.5.视察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，记fQUOTE=13+23+33+…+n3.依据上述规律，若fQUOTE=225，则正整数n的值为()A.8 B.7 C.6 【解析】选D.由已知等式的规律可知fQUOTE=QUOTE=QUOTE，当fQUOTE=225时，可得n=5.6.我们把平面几何里相像形的概念推广到空间：假如两个几何体大小不肯定相等，但形态完全相同，就把它们叫作相像体.下列几何体中，肯定属于相像体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【解析】选C.类比相像形中的对应边成比例知，①③属于相像体.7.(2024·浙江高考)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满意：①对于随意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于随意x，y∈T，若x<y，则QUOTE∈S；下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有4个元素D.若S有3个元素，则S∪T有5个元素【解析】选A.对于AB，构造S={q，q2，q3，q4}，则T={q3，q4，q5，q6，q7}，q≠1且q∈N*，则S∪T={q，q2，q3，q4，q5，q6，q7}共7个元素，对于CD，不妨设S={a，b，c}，且a<b<c，则T={ab，ac，cb}，且bc>ac>ab，所以QUOTE，QUOTE，QUOTE∈S，明显QUOTE>QUOTE，QUOTE>QUOTE，①QUOTE=b，QUOTE=a，QUOTE=a，则S={a，a2，a3}，T={a3，a4，a5}，S∪T有5个元素，②QUOTE=c⇒a=1，QUOTE=b，QUOTE有2种可能，(ⅰ)QUOTE=a，b=c与S为集合冲突，(ⅱ)QUOTE=b，b2=c，S=QUOTE，T=QUOTE，S∪T有4个元素，所以，当S中有三个元素时，S∪T的元素个数可为4，可为5，不唯一.8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，满意f(x)≤f(a)对x∈R恒成立，则函数()A.f(x-a)肯定为奇函数 B.f(x-a)肯定为偶函数C.f(x+a)肯定为奇函数 D.f(x+a)肯定为偶函数【解析】选D.由题意得，f(a)=sin(2a+φ)=1时，2a+φ=2kπ+QUOTE，k∈Z，所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+QUOTE=cos2x，此时函数为偶函数.9.已知n∈N，则QUOTE-QUOTE与QUOTE-QUOTE的大小关系为 ()A.QUOTE-QUOTE>QUOTE-QUOTEB.QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTEC.QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTED.不能确定【解析】选B.要比较QUOTE-QUOTE与QUOTE-QUOTE的大小，只需比较QUOTE与QUOTE的大小，只需比较QUOTE与QUOTE的大小，只需比较(n+4)(n+1)与(n+2)(n+3)的大小，即比较n2+5n+4和n2+5n+6的大小，因为n2+5n+4-(n2+5n+6)=-2<0，所以QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE.10.设函数f(x)=QUOTE(x>0)，视察：f1(x)=f(x)=QUOTE，f2(x)=f(f1(x))=QUOTE，f3(x)=f(f2(x))=QUOTE，f4(x)=f(f3(x))=QUOTE，由归纳推理可得当n∈N+且n≥2时fn(x)=f(fn-1(x))= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.视察可得，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15，…，2n-1，其次部分的数分别是2，4，8，16，…，2n，所以fn(x)=f(fn-1(x))=QUOTE.11.视察下列各式：72=49，73=343，74=2401，则72019的末两位数字为()A.01 B.43 C.07 D.【解析】选B.72=49，73=343，74=2401，75=…07，76=…49，77=…43，78=…01，79=…07，易视察出末两位数是呈周期改变的，周期为4，所以72019=74×504+3，72019的末两位数字是43.12.已知数列{an}满意a1=QUOTE，an+1=1-QUOTE，则a2019等于()A.QUOTE B.-1 C.2 D.3【解析】选C.因为a1=QUOTE，an+1=1-QUOTE，所以a2=1-QUOTE=-1，a3=1-QUOTE=2，a4=1-QUOTE=QUOTE，a5=1-QUOTE=-1，a6=1-QUOTE=2，所以an+3k=an(n∈N+，k∈N+).所以a2019=a3+3×672=a3=2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.视察下列不等式：1>QUOTE，1+QUOTE+QUOTE>1，1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE，1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>2，1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE，…，由此揣测第n个不等式为_________.

【解析】由3=22-1，7=23-1，15=24-1，可揣测第n个不等式为1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE.答案：1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE14.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-3，4)，且法向量为n=(1，-2)的直线方程为1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，即x-2y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m=(-1，-2，1)的平面的方程为__________________.

【解析】在所求平面内任取一点P(x，y，z)，则=(x-1，y-2，z-3)，因为所求平面的法向量为m=(-1，-2，1)，所以类比平面中求动点轨迹方程的方法，可得-(x-1)-2×(y-2)+1×(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.答案：x+2y-z-2=015.给出下列不等式：①a>b>0，且a2+QUOTE=1，则ab>a2b2；②a，b∈R，且ab<0，则QUOTE≤-2；③a>b>0，m>0，则QUOTE>QUOTE；④QUOTE≥4(x≠0).其中正确的序号为_________.

【解析】①a>b>0，所以a≠QUOTE，所以a2+QUOTE=1>2QUOTE=ab，所以1-ab>0，所以ab-a2b2=ab(1-ab)>0，所以ab>a2b2正确.②QUOTE+2=QUOTE，因为ab<0，(a+b)2≥0，所以QUOTE≤-2，②正确；③QUOTE-QUOTE=QUOTE，因为a>b>0，m>0，所以b(b+m)>0，b-a<0，所以QUOTE<0，所以QUOTE<QUOTE，③不正确.④QUOTE=|x|+QUOTE≥4，④正确.答案：①②④16.已知Sk=1k+2k+3k+…+nk，当k=1，2，3，…时，视察下列等式：S1=QUOTEn2+QUOTEn，S2=QUOTEn3+QUOTEn2+QUOTEn，S3=QUOTEn4+QUOTEn3+QUOTEn2，S4=QUOTEn5+QUOTEn4+QUOTEn3-QUOTEn，S5=An6+QUOTEn5+QUOTEn4+Bn2，…可以推想，A-B=_________.

【解析】由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推想A=QUOTE.又各项的系数和为1，所以A+QUOTE+QUOTE+B=1，则B=-QUOTE.因此推想A-B=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)设a，b为实数，求证：QUOTE≥QUOTE(a+b).【证明】当a+b≤0时，因为QUOTE≥0，所以QUOTE≥QUOTE(a+b)成立.当a+b>0时，用分析法证明如下：要证QUOTE≥QUOTE(a+b)，只需证(QUOTE)2≥QUOTE，即证a2+b2≥QUOTE(a2+b2+2ab)，即证a2+b2≥2ab.因为a2+b2≥2ab对一切实数恒成立，所以QUOTE≥QUOTE(a+b)成立.综上所述，对随意实数a，b不等式都成立.18.(12分)求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时bc≠0.【证明】假设bc=0.(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，则x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的两个根，这与方程有两个不相等的非零实数根冲突.(2)若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，但c≠0，此时方程无解，与x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根冲突.(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程的根为x1=0，x2=-b，这与方程有两个不相等的非零实数根相冲突.综上所述，可知bc≠0.19.(12分)已知f(x)=x-QUOTEx2，设0<a1<QUOTE，an+1=f(an)，n∈N+，证明：an<QUOTE.【证明】①当n=1时，0<a1<QUOTE，不等式an<QUOTE成立；因为a2=f(a1)=-QUOTE+QUOTE≤QUOTE<QUOTE，所以n=2时不等式也成立.②假设n=k(k≥2)时，不等式ak<QUOTE成立，因为f(x)=x-QUOTEx2的对称轴为x=QUOTE，知f(x)在QUOTE上是增加的，所以由ak<QUOTE≤QUOTE，得f(ak)<fQUOTE.所以ak+1<QUOTE-QUOTE·QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE<QUOTE.所以当n=k+1时，不等式也成立.依据①②知，对任何n∈N+，不等式an<QUOTE成立.20.(12分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn且Tn=1-QUOTEbn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较QUOTE与Sn+1的大小，并说明理由.【解析】(1)设an的首项为a1，因为a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，所以QUOTE解得QUOTE所以an=2n-1.因为n=1时，b1=T1=1-QUOTEb1，所以b1=QUOTE，当n≥2时，Tn=1-QUOTEbn①，Tn-1=1-QUOTEbn-1②，①-②得bn=QUOTEbn-1，所以数列{bn}是等比数列.所以bn=QUOTE·QUOTE=QUOTE.(2)Sn=QUOTE=n2，Sn+1=(n+1)2，QUOTE=QUOTE.以下比较QUOTE与Sn+1的大小：当n=1时，QUOTE=QUOTE，S2=4，QUOTE<S2，当n=2时，QUOTE=QUOTE，S3=9，QUOTE<S3，当n=3时，QUOTE=QUOTE，S4=16，QUOTE<S4，当n=4时，QUOTE=QUOTE，S5=25，QUOTE>S5，猜想：n≥4时，QUOTE>Sn+1.下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证.②假设当n=k(k∈N+，k≥4)时，QUOTE>Sk+1，即QUOTE>(k+1)2，那么当n=k+1时，QUOTE=QUOTE=3·QUOTE>3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1.综合①②，当n≥4，n∈N+时，QUOTE>Sn+1.21.(12分)已知a>0，利用分析法证明：QUOTE-QUOTE≥