专题08数列(选择填空题)（解析版） - 大数据之十年高考真题（2014-2025）与优 质模拟题（新高考卷与全国理科卷）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷）专题08数列(选择填空题)1．【2024年甲卷理科第4题】记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5=S10，A．72 B．73 C．−1【答案】B【详解】由S10−S则等差数列an的公差d=a8故选：B.2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第8题】记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=−5，SA．120 B．85 C．−85 D．【答案】C【详解】方法一：设等比数列an的公比为q，首项为a若q=−1，则S4=若q=1，则S6=由S4=−5，S6=21由①可得，1+q2所以S8故选：C．方法二：设等比数列an的公比为q因为S4=−5，S6=从而，S2所以有，−5−S22当S2=−1时，S易知，S8+21当S2=5与S4故选：C．3．【2023年高考全国乙卷理第10题】已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosann∈A．－1 B．−12 C．0 【答案】B【详解】依题意，等差数列{an}显然函数y=cos[2π3n+(a1则在cosa1,cosa2于是有cosθ=cos(θ+2π3所以k∈Z，ab=故选：B4．【2023年高考全国甲卷理第5题】设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，SA．158 B．658 C．15【答案】C【详解】由题知1+q+即q3+q4=由题知q>0,所以q=所以S4故选:C.5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第3题】图1是中国古代建筑中的举架结构，AA',BB',CC',DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1,A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【详解】设OD1=D依题意，有k3−0.2所以0.5+3k故选：D6．【2022年高考全国乙卷理第4题】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+1α1，A．b1<b5 B．b3<【答案】D【详解】[方法一]:常规解法因为αk所以α1<α1+同理α1+1α又因为1α故b2<b以此类推，可得b1>bb11α2>α1+1[方法二]：特值法不妨设an=b47．【2022年高考全国乙卷理第8题】已知等比数列an的前3项和为168，a2−a5A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【详解】解：设等比数列an的公比为q若q=1，则a所以q≠1则a1+a所以a6故选：D.8．【2020年新课标Ⅱ卷理科第4题】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【详解】设第n环天石心块数为an，第一层共有n则{an}设Sn为{an别为Sn所以S3即3即9n2=所以S3故选：C9．【2020年新课标Ⅱ卷理科第6题】数列{an}中，a1=2，对任意A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】在等式am+n=aman中，令所以，数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a∴a∴2k+1=2故选：C.10．【2020年新课标Ⅱ卷理科第12题】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯an⋯满足ai∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得ai+mA．11010⋯ B．11011⋯ C．10001⋯【答案】C【详解】由ai+m=ai知，序列aiC对于选项A，CC(2)对于选项B，C(1)对于选项D，C(1)故选：C11．【2019年新课标Ⅲ卷理科第5题】已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a5A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【详解】设正数的等比数列{an}的公比为q，则a1解得a1=112．【2019年新课标Ⅰ卷理科第9题】记Sn为等差数列{an}的前A．an=2n−5 B．

a【答案】A【详解】由题知，S4=4a1+13．【2018年新课标Ⅰ卷理科第4题】设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3A．−12 B．−10 C．10 【答案】B【详解】设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3(3×整理解得d=−3，所以a14．【2017年新课标Ⅲ卷理科第9题】等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2,a3A．−24

B．−3

C．3

【答案】A【详解】设等差数列an的公差d∵等差数列an的首项为1，a∴a3∴a1+2d2解得d=−2∴an前6项的和为S故选：A.15．【2017年新课标Ⅱ卷理科第3题】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏【答案】B【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7=a1解得a1=3．故选B．16．【2017年新课标Ⅰ卷理科第4题】（2017新课标全国I理科）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【详解】设公差为d，a4+a5=a117．【2017年新课标Ⅰ卷理科第12题】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：1,则该数列的前1+Sk要使k(k+1)2>100，有k≥14，此时k+2<所以k=2t−3≥所以对应满足条件的最小整数N=2918．【2016年新课标Ⅲ卷理科第12题】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1A．18个 B．16个C．14个 D．12个【答案】C【详解】由题意，得必有a1=0,01010011;010101011,共14个19．【2016年新课标Ⅰ卷理科第3题】已知等差数列{an}前9项的和为27，A．100 B．99 C．98 D．97【答案】C【详解】由已知，{9a120．【2015年新课标Ⅱ理科第4题】已知等比数列{an}满足a1A．21 B．42 C．63 D．84【答案】B【详解】由a1+a3+a5=21得a1(1+q2+q4)21．【2021年新课标全国Ⅱ卷第12题】设正整数n=a0⋅20+aA．ω2n=ωnC．ω8n+5=ω【答案】ACD【详解】对于A选项，ωn=a所以，ω2n=对于B选项，取n=2，2n+3而2=0⋅20+1对于C选项，8n+所以，ω84n+所以，ω4n+3=2对于D选项，2n−1=20故选：ACD.22．【2024年新高考2卷第12题】记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+【答案】95【详解】因为数列an为等差数列，则由题意得a1+则S10故答案为：95.23．【2023年高考全国乙卷理第15题】已知an为等比数列，a2a4a5【答案】−【详解】设an的公比为qq≠0，则a则a4=q2，即a1q3则q15=q53故答案为：−224．【2021年新课标全国Ⅰ卷第16题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm【答案】5720【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120dm2,第n次对折后的图形面积为120×12n−1，对于第设S=k=则12两式作差得：1==360因此，S=720故答案为：5；720−25．【2020年新课标全国Ⅱ卷第15题】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．【答案】3【详解】因为数列2n−1是以1为首项，以数列3n−2是以1首项，以所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以1为首项，以6所以an的前n项和为n⋅故答案为：3n26．【2019年新课标Ⅲ卷理科第14题】记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，【答案】4.【详解】因a2=3a1所以S1027．【2019年新课标Ⅰ卷理科第14题】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1=13，a【答案】1213【详解】设等比数列的公比为q，由已知a1=13,所以q=3,所以S28．【2018年新课标Ⅰ卷理科第14题】记Sn为数列an的前n项和，若Sn=【答案】−【详解】根据Sn=2两式相减得an+1=当n=1时，S1=所以数列an所以S6=−29．【2017年新课标Ⅲ卷理科第14题】设等比数列an满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=【答案】-8【详解】设等比数列an的公比为q，很明显q≠−a1+a2=a11+q由等比数列的通项公式可得a430．【2017年新课标Ⅱ卷理科第15题】（2017新课标全国II理科）等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，【答案】2【详解】设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意有a1+数列的前n项和Sn裂项可得1S所以k=131．【2016年新课标Ⅰ卷理科第15题】设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为【答案】64【详解】设等比数列的公比为q，由{a1+a3=10a2+a4=5得，32．【2015年新课标Ⅱ理科第16题】设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=−【答案】−【详解】原式为an+1=SnSn+1⇔Sn+1．（2024·山东菏泽·二模）已知an是等差数列，a1=3,a4=12，在数列bnA．6072 B．2C．22023+6072【答案】C【详解】设an的公差为d,b则由题意可得，a4=a1+所以a根据已知又有：b1则8=1⋅所以bn−a故b2024故选：C.

2．（2024·山西运城·三模）已知数列an是等差数列，12a3−A．4 B．−2 C．−4 【答案】C【详解】因为12a3−a5=解得a7所以a5故选：C

3．（2024·陕西西安·三模）已知Sn是等比数列an的前n项和，a1+a4+A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【详解】设等比数列an的公比为q，可得a则a3所以S9故选：B.

4．（2024·新疆喀什·三模）已知等差数列an满足a2+a5+a8=15，记A．18 B．24 C．27 D．45【答案】D【详解】由a2+a所以S9故选：D

5．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=3，a2nA．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【详解】由a2=3，a2n=2an于是an=2n−1,所以n=9故选：B

6．（2024·四川内江·模拟预测）在数列an中，已知a1=12A．1929 B．2829 C．2930【答案】D【详解】解：由(n+可得an+所以当n≥2时，，又a1所以an所以S30故选：D．

7．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2022aA．1 B．−1 C．2 D．【答案】A【详解】依题意，an=an−1当n≥2时，=an2所以数列anan+2−所以a2022故选：A.

8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fx=3x−2，公差不为0的等差数列an的前n项和为SnA．1012 B．2024 C．3036 D．4048【答案】D【详解】根据题意，函数f(x)=3|x−2|由f(a1012)=f所以S2024故选：D．

9．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共Sn个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知S20=1540，则A．2290 B．2540 C．2650 D．2870【答案】D【详解】在第nn≥2堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第n−1记第n层球的个数为an，则a得an其中a1=1在第n堆中，S=1当n=20时，S20=故选：D.

10．（2024·浙江绍兴·三模）设0≤a1<a2<⋯<a99A．m≤19 C．m≤23 【答案】C【详解】由题意得an+1≥故ak+故max=3由于a100≤1故选：C11．（2024·宁夏银川·三模）设为Sn等差数列an的前n项和，已知S1、S2、S4成等比数列，S2【答案】6【详解】设等差数列an的公差为d，由S2=2a由S1、S2、S4成等比数列，得(2因此an则6an−所以n=6故答案为：6

12．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列an的公差d≠0，首项a1=12，a4是a2与a8【答案】105【详解】等差数列{an}中，a1=12，a所以a42=解得d=12或所以S20故答案为：105．

13．（2024·江苏宿迁·三模）xx∈R表示不小于x的最小整数，例如2=2，−32=−1．已知等差数列{an}的前n项和为S【答案】−【详解】由S7=−7，可得7又a4+a6=−所以数列an的公差为d=−12又bn∴b1=12=1，同理b2=所以数列bn的前10项的和为1故答案为：−15.

14．（2024·山西阳泉·三模）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2【答案】1【详解】因为Sn所以Sn−故n≥2时，两式相减得，即an因为S1=2所以数列an所以anan1T100=故答案为:12−11+2100.

15．（2024·浙江绍兴·三模）记Tn为正项数列an的前n【答案】22025【详解】根据题意令n=1，可知T1=a1解得a1由Tn=a即a1a2所以数列Tn是以T1=因此Tn所以T2024故答案为：2；2025.

16．（2024·山东滨州·二模）已知函数f(x)=3x−13x+1【答案】2【详解】由题意可知：f(x)且f(x)可知f(x)且f(因为y=3x在R上单调递增，可知f(综上所述：f(x)因为fa2+f可得a3+a由an+3=an且2024