2024年北京房山区高三（上）期中数学试题及答案

2024北京房山高三（上）期中数学第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A=x|x0xB=x2x1.已知集合或，集合，则AB为（）x−2x0x|x3A.C.B.D.或푥≥4}x−2x0x0x2.下列函数中，既是偶函数又在（，+∞）上单调递减的是（）A.y＝x2B.y＝|lnx|C.y2﹣xD.y＝xsinx6()=+fxtanx3.函数的最小正周期为（）D.A.B.C.32m和两个不同的平面4.已知两条不同的直线l，，，下列四个命题中正确的是（）A.若lm，m，则∥C.若⊥，则l⊥B.若∥，m，则lmD.若∥，l⊥，则⊥，lb=a=sinlog3a,c=4a，则a,b,c的大小关系为（5.设）A.abcB.D.baccabC.bca+)xAπ2y=Asin6.已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()个单位长度，得到函数=()的图象若函数=()为奇函数，则的最小值是（）tt0yfxyfxt.ππππA.B.C.D.6437.已知a0，b0+ab1”的（，则“ab2”是“）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件1+x1−x()=fx，下列说法错误的是（）8.已知函数．．()的定义域为(−)()的图象关于y轴对称fxfxA.C.B.D.()的图象关于原点对称fx()在()上单调递增fx0,19.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组2成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽3略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）8492313A.B.C.D.()﹐若集合fx()=(−中恰有个元素，则称函数()是阶准偶函fxkfxk“xxfx10.对于函数1x,xaf(x)=a是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（）数”.若函数A.(−∞,0)2x2,xa0,2)4)4)B.C.D.第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.函数f(x)=x1的定义域为________．−12.已知角x的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的1=纵坐标为，则2____________．p：若为第二象限角，且p为假命题的一组，的13.已知命题，，则.能说明值为=__________，=________.2,x2()=x()=k有两个不同的实根，则数的取值范围kfxx，若关于的方程fx14.已知函数是______.(−)3x1,x2−ABCD上的一个动点，给出下列四个结论：115.如图，在边长为1的正方体中，E是棱1111B−①三棱锥的体积为定值；11BD⊥1BED；1②存在点E，使得平面③对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得AP//平面BED；16DM，则截面④M是线段BC的截面A上的一个动点，过点垂直于1的面积的最小值为．12其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.2=3，c−b=2，=16.在中，aCπ.3c（1）求b，的值和的面积S；B−C()的值.（2）求()=fxax3bx2在点x0处取得极大值，其导函数=()的图象经过点()，yfx1,05++17.已知函数(0)，如图所示.求：x（1）的值；0ac（2），b，的值；（3）函数()在区间−1,3上的最大值和最小值.fx()=()从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()存fxAxA0,0fx.18.已知函数在且唯一确定.（1）求()的解析式；fxππ44gx=fx−2cos（2）设()()2x+1，求gx()的单调递增区间以及在区间−,上的最大值.π4f=1；条件①：条件②：()为偶函数；fx条件③：()的最大值为1；fxπ条件④：()图象的相邻两条对称轴之间的距离为fx.2注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.−ABCDADDA⊥19.如图，四棱柱的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，1111111D=3，E是BC的中点.1B//C；1（1）求证：平面D−1E−B（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确1定，D−1E−B（i）求二面角（ii）判断直线的余弦值；1AEC内，说明理由.1是否在平面1CD=1条件①：；条件②：1B=；⊥1D条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.k()=(+)−+()k0.20.已知函数fx1xxx22y=fx()在点(f1())处的切线方程；（1）当k=2时，求曲线（2）求()的单调区间；fx1x3()fx−(=)ln20.693.=x0（3）当k时，求证：时，成立.参考数据ex2e2nnb=n21.已知{a是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A，最小值记为B，令．nnn（Ⅰ）若a＝2nn＝，2，3，bb，b的值；n123（Ⅱ）证明：bn+1bn＝1，23⋅⋅⋅（Ⅲ）若{b是等比数列，证明：存在正整数n，当n≥naan+1an+2，…是等比数列．n00n参考答案第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】利用交集的运算求解.A=x|x0x4B=x2x，【详解】因为集合或，集合ABx2x0=−所以，故选:C.2.【答案】A【分析】根据基本函数的性质，分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】A.f（x）是偶函数，且在（，+∞）上是减函数，满足条件.B.函数的定义域为（0+∞.C.函数为非奇非偶函数，不满足条件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣）＝xsinx（xfx）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键.属于基础题..3.【答案】C【分析】根据正切三角函数的周期公式求解即可fx=Atanx+【详解】由题意得，利用函数()()的最小正周期为，得出结论.6fx=tanx+解：函数()=，的最小正周期为1故选：C.4.【答案】D【分析】根据直线与平面内直线平行，判断直线与平面的关系可判断A，由线面平行的性质可判断B，由平面垂直的性质可判断C，根据线面平行的性质及面面垂直的判定判断D.【详解】若lm，m，则∥或l，故A错误；mlm或l,m若∥，若⊥，则为异面直线，故B错误；，则l⊥或l//或l与斜交，故C错误；，l若∥，则故选：D内必有一直线l满足l∥l，又⊥，所以l⊥，又l，所以⊥，故D正确.l5.【答案】B【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.=()=3bsin210asin201=()3b0a1c【详解】易知.c=4a4=10故选：B6.【答案】By=Asinx+φ)的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值.t(【分析】结合函数图像求出函数y=Asinx+φ()的部分图像与轴的交点为,B,C，x【详解】如图设函数π6ππf−=−fπf−=a,fπ=−a由图可知2，所以，26π6−,a,−a所以点与点关于点A对称，2πππ(xA,0)−+=2xx=，解得A设，则，A626y=Asinx+φ()函数的图象向左平移（t0y=()fx的图象，t因为将函数）个单位长度，得到函数且图象关于原点对称，y=fx()为奇函数，即f(0)=0y=Asin(x+φ)的图象与轴最近的交点x所以平移后的函数相当于把π6A,0平移到坐标原点即可，由图可知此点为，π所以t=，6故选：B.7.【答案】A【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.a0，b0a+b2ab，【详解】当时，则当ab2时，有+2aba+b2，解得ab1，充分性成立；15=b=ab1，但此时a+b=2，必要性不成立，当a2，时，满足22+”“ab1”的充分不必要条件综上所述，“ab2是故选：A..8.【答案】B【分析】根据对数函数的性质一一判断即可.1+x1+x【详解】函数f(x)=(+)(−)，解得−1x1，0x1x1，即0所以函数的定义域为(−1)，故A正确；11−x1+x1+x1−x1+x1−x(−x)===−fx，=−()又f所以()的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确；fx1+x1−x−2x−1−2x−1()=fx=−1+在上单调递增，()0,1y=因为，又y=x()上单调递增，所以()在()上单调递增，故正确fx0,1D.在定义域故选：B9.【答案】A【分析】23h，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为2rh，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积面半径为3相等求解h，则答案可求.23h【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，2设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为r，321228V=rh=r2h.∴细沙的体积为333细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为h，138则V=r2h=rh，2818=hh.得h8∴=.h故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题10.【答案】B【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分a0，a0，a=0三种情况分析即可得答案.1x,xaf(x)=【详解】解：根据题意，函数2是“2阶准偶函数”，x2,xa()()中恰有个元素.2xxfx=f−x则集合1x,xa当a0时，函数f(x)=有一段部分为y=x2,xa，注意的函数yx2本身具有偶函数性2x2,xaxxfx=f(−x中不止有两个元素，矛盾，()质，故集合1x21−xa0时，根据“2fx=2x当阶准偶函数”的定义得()的可能取值为fxx2或，(−)为2，故当1x()(中恰=f−x=2xx2=2x或x=2x=xxfx2，该方程无解，当，解得4，故要使得集合有2个元素，则需要满足a2，即0a2；1x,x0−x1当a=0时，函数f(x)=，fx()的取值为，(−)为fx=2xx22x，根据题意得=2x22x2,x0满足恰有两个元素，故a=0满足条件.0,2).a综上，实数的取值范围是故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()，(−)可能取xfxf何值，进而根据x2=2x方程有两个解x=2或x=4求解考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题..第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【答案】+)x0得函数的定义域.【分析】直接解不等式组x−10x0x0xe，所以函数的定义域是+).【详解】由题得x−10xe故答案为e,+)312.【答案】−2【分析】由题设确定P的坐标，再由三角函数的定义求.313【详解】由题设知：P(−,)，故cos=−.2223−故答案为：25ππ13.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）64【分析】根据正切函数的性质举出反例即可.5ππ【详解】如=，=，满足为第二象限角，且，，64π5π3，==1，即tantanp，即命题为假命题，但是tan=5πtan=−463π故=，=符合题意（答案不唯一）（答案不唯一）645ππ故答案为：；64()0,114.【答案】22fx=k【分析】分类讨论代入解析式，求出()x=2且1+k2可的两个根为，x=1+3k，由3kk解得结果.22【详解】当x2时，f(x)=k即为，=kx=，解得xk当x2时，f(x)=k即为(x−=k，解得x=1+33k，2()=有两个不同的实根，所以fx且x因为关于的方程k2+2，13kk解得0所以0k1.0,1k1且k1，故答案为：().【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.15.【答案】①④【分析】根据题意作图，并尝试特殊位置，进行检验证明.【详解】对于①，如下图所示：−ABCDAA1//在边长为1的正方体中，易知平面，1D1111121D=因为点E是棱上的一个动点，可设点E到平面的距离为h1，1212116=BDBB=B1−的体积V=Sh=且S，则三棱锥，11D1113221故①正确；对于②，连接BDBD,BDBDDB，，因为在平行四边形中，11111BD=2,=1BD1BDBD1BED不垂直平面，1，所以不垂直，所以使得1111所以②不正确.BED对于③，当点E与点A重合时，无论点P在何位置，直线与平面相交，1故③错误；对于④，根据题意，作图如下：−ABCDAC⊥1AC⊥DM1因为正方体中，易知平面，所以，11111G=x1+x，CG=(−)2=21x+1，设在，则G1+x2+x2−2x+2−3x2−x==中，，21+x2x2−2x+21+x22x−2x+22−−2x+2x2x2x2sinGC=1−1+x=−2x+2，2x21+x2x2−2x+221234则该截面面积SAGCGsinAGC==2x2−2x+2=2x−+，11126x0,1，当x=时，S=由，故④正确；2故答案为：①④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15316.1）b=c=7,S=443（2）−7）由余弦定理结合已知可求得b,c，结合三角形面积公式可得面积；（2）由余弦定理、平方关系依次求得【小问1B,sinB，结合两角差的正弦公式即可求解.由余弦定理可得c2=a2+b−2abcosC，223注意到a=3，c−b=2，C=π，19b23b(+)b22=+2−−所以，即b2b+4=bb9，解得b=5，+2++212131534进一步c=b+2=7,S=absinC=35=；22【小问2a2+c2−b29+49−2511B(π)由余弦定理可得，B===，因为，2ac23714121532所以sinB=1−=，而C=π，19614353111142142343(−)=−=−−=−从而sinBCsinBcosCBsinC.7x=1017.1）（2）a2，=b=9，c=12（3）(=f3=9f(x)=(−)=−()，fxf123）根据导函数图象可得原函数单调性，知()在x=1处取得极大值，求得0=1；fx（2）利用()=0，()=()=，f1f20f15构造方程组可求得结果；（3）根据函数的单调性，可知(=f1,f3()()，()fx()(=f0,f2，求出函数fx值即可得到结果.【小问1由图象可知：在(−)上，f(x)0；在1,2)上，f(x)0；在(+)f(x)0上，在(−)，(+)上单调递增，在()上单调递减，fx,11,2在x=1处取得极大值，0=1；【小问2因为()=2++()=，()=f2()=f15，，fxaxbxcf1且00a+b+c=012a+b+c=0a=2，b=9，c=12；得：，解得：a+b+c=5【小问3由（2）得f(x)=2x3−9x+12x，则2f(x)=6x218x12=6(x−)(x−2)，−+可知：()在()−)上单调递增，在()(2,3上单调递减，在上单调递增，fx1,2()(f(x=f(),f(2fx=f1,f3，，，f1=5f3又()()=，(−)=−−−=−，()=49f1291223f2，fx()=()=f39，f(x=f(−)=−23.()=fxsin2x18.1）条件选择见解析，π3π8π−,π+（2）单调递增区间为，kZ，18A()=fxsinx，函数为奇函数，故②不能选，若①和③同时选，不1）由二倍角公式易得2满足函数()存在且唯一；选择条件①④，由相邻两条对称轴之间的距离可得周期，即得的值，由fxπf=1代入即可得A的值；选择条件③④，由最大值得A的值，进而得解析式.4π4gx=2sin2x−（2）通过公式化简可得()，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1AfxAsinxcosx=()=sin2x()fx，则为奇函数，故②不能选，因为2选择条件①③：A因为函数()的最大值为1=1，即A=2，fx2π4π=1，所以sin=1，的值不唯一，故不能选.f因为2选择条件①④：π2π因为函数()图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以=π，即=1，fx2A()=fxsin2x，所以2π4Aπf=1，所以sin=1，即A=2，因为22所以f(x)=sin2x.选择条件③④：π2π因为函数()图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以=π，即=1，fx2A因为函数()的最大值为1=1，即A=2，fx2所以f(x)=sin2x.【小问2π()=()−fx22x+1=sin2x2x1sin2x2x−2+=−=2sin2x−gx因为，4ππππ3π2π−2x−2π+kZπ−xπ+kZ，，令，，解得24288π3π8所以函数()的单调递增区间为π−,π+gx，kZ，82ππx−,π3πππ42x−−,sin2x−−当时，，所以，444442πππx=gx()取得最大值，且()gx1=.2x−=所以当，即时44419.1）证明过程见解析AE1C，理由见解析.1（2i）答案见解析（ii）平面）利用线面平行的判定定理找到//1B可证；=不能确定棱柱特点即可求解；选②③：证明1D⊥平面ABCD，建（2i）选①：说明条件1D立空间坐标系，求得二面角；AD1CE异面即可.1（ii）只需证明直线【小问1与直线−ABCD中，连结1CCO，在四棱柱，设111连结OE，在△1BC中，因为O、EC,分别为的中点，//1B，又因为OEC1BC，1所以所以平面，平面11B//C.1平面【小问2（i）选择条件①：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥，ADDA⊥ADDAABCD侧面平面，且侧面平面ABCD=，CD平面ABCD，1111故CD⊥平面1A，又DD1平面1A，则CD⊥DD，1111DDD=CD=CD=2CD=，1即四边形为矩形，因为，则1111与选择条件①：1DD−1E−B=等价，故条件CD=1DD1,AD不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定；1选择条件②：1AABCD⊥是正方形，所以，连结，因为底面ADDA⊥ADDAABCD=又因为侧面平面ABCD，且侧面平面，BA平面ABCD，11111A⊥D,⊥DD所以BA平面⊥1A1,DD，又1平面，所以，1111Rt△1AB1A=13在在又中，因为1B=，2，所以=，中，因为AD2，1D=3，所以=⊥，1AB,AB,ADABCDDD1⊥ABCD⊥CD，平面，所以平面，又D−xyzD0)CE0)，C(0,2,0)，，，1所以如图建立空间直角坐标系，其中且1=(0,2,3)，DE0)，易知DC(0,0)为平面1EB==的一个法向量，1，2y+3z=0nn=x,y,z()为平面C1即.设面的一个法向量，则x2y0+=n，3y=−3x=z=2n=2)，可得，所以DC,n=−不妨设，则，DCn4973D−1E−B的平面角是钝角，设为cos=−因为二面角，故，1737D−1E−B−所以二面角的余弦值为.1选择条件③：因为底面ABCD是正方形，所以⊥，⊥1DDCCD=D,DC,CDCDDC平面，11因为所以AD平面，且11⊥CDDC1D，且侧面，CDDC⊥1D，，因为平面，所以1111ADDA⊥ADDAABCD=，1D因为侧面平面ABCD平面平面ABCD，11111D⊥⊥CD所以平面ABCD，又D−xyz所以如图建立空间直角坐标系.（ii）如图所示，1EC，理由如下：1平面AD//BCBCCEAD1CE与直线异面，1，与相交，所以直线1111A,D,C,EAE1C平面.1这表明四点不共面，即1120.1）3x−2y+2ln2−3=0（2）答案见详解3）证明见详解）求出函数在x=1处的导数值，即切线的斜率，从而可得出切线方程；（2）求出函数的导函数，分k=0，k=1，0k1，k1四种情况讨论，根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；x31（3）由（）可得f(x)−0.057()=gx()()=−gxg1，利用导数可得−,x0，构建，对ex2e2e比分析即可.【小问111+xk=2fx=1+x−x+x()()2()=fx，−1+2x解：当时，，13()=−+=f112f)=2，则，223y−2=(−)，即3x−2y+2ln2−3=0.x1所以曲线푦=푓(푥)在点(1,푓(1)处的切线方程为【小问22(+−)xk111+x由题意可知：()的定义域为(−)，且，fx()=fx−1+=1+xx（i）当k=0时，()=−fx，1+x当x0时，푓′(푥)<0，当1x0时，푓′(푥)>0，所以()在(0,+∞)上递减，在(−1,0)上递增；fx(+−)xk1−1kf(x)==0，则x=0或x=（ⅱ）当k0时，令，1+xk1−k2x0，所以函数fx()在(−)上递增；=00=()=①当②当，即k1时，fxk1+x1−k时，即0k1时，k1−k1−k0xx1x0和时，푓′(푥)>0，当时，푓′(푥)<0，当kk1−