2024年北京一零一中学高三（上）统练四数学试题及答案

试卷编号：11215ꢀ北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿选择题共101.已知集合M={x|−3<x<1},N={x|−16x<4},则M∪N=(ꢀꢀꢀ)(A){x|−16x<1}(B){x|x>−3}(C){x|−3<x<4}(D){x|x<4}2.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是(ꢀꢀꢀ)√(A)f(x)=sinx(B)f(x)=cosx(C)f(x)=x(D)f(x)=x33.已知a=20.3,b=log0.32,c=0.50.3,则(ꢀꢀꢀ)(A)c>a>b(B)c>b>a(C)a>b>c(D)a>c>b4.在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,点P(−3,4)在角α终边上,则错误的是(ꢀꢀꢀ)4572515α(A)sinα=(B)cos2α=(C)sinα+cosα=(D)tan=22π5.在平面直角坐标系xOy中,已知P(cosθ,sinθ),θ∈[0,],A(1,1),则OA·OP的取值范围2是(ꢀꢀꢀ)√√√√(D)[2,2](A)[1,2](B)[0,2](C)[−2,2]6.已知各项均为正数的数列a的前n项和为S,a=1,lga+lga=lg2n,n∈N∗,则nn1nn+1S9=(ꢀꢀꢀ)(A)511(B)61(C)41(D)97.已知a,b是平面内两个非零向量,那么“a∥b”是“存在λ,0,使得|a+λb|=|a|+|λb|”的(ꢀꢀꢀ)(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件128.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f=CSv2,其中ρ是空气密度,S是该飞行器的迎风面积,v是该飞行器相对于空气的速度,C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素),反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=fv.北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第1页（共8页）当ρ,S不变,v比原来提高10%时,下列说法正确的是(ꢀꢀꢀ)(A)若C不变,则P比原来提高不超过30%(B)若C不变,则P比原来提高超过40%(C)为使P不变,则C比原来降低不超过30%(D)为使P不变,则C比原来降低超过40%1a1b1c9.已知实数a,b,c满足条件a>b>c且a+b+c=0,abc>0,则++的值(ꢀꢀꢀ)(A)一定是正数(B)一定是负数(C)可能是0(D)正负不确定xx1x61||−,,10.已知函数f(x)=g(x)=xlnx,若关于x的方程(f(x)−2)(g(x)−m)=01>,logx+,1x2恰有3个不同的实数根,则实数m的取值范围是(ꢀꢀꢀ)11e(A)(−,0)(B)(−,1)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)e填空题共511.已知复数z满足|z|=1,|z−i|=1,则z的虚部为＿＿＿＿＿.12.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若ππα∈[,],则cosβ的最大值为＿＿＿＿＿.6313.使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a,b的值为a=＿＿＿＿＿,b=＿＿＿＿＿.14.已知在Rt△AOB中,AO=1,=2,如图,动点P是在以O点为圆心,OB为半径的扇形内运动(含边界)且∠=90◦;设OP=xOA+yOB,则x+y的取值范围是＿＿＿＿＿.15.目前发射人造天体,多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后,连同其壳体一起抛掉,让后一级火箭开始工作,使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下,对于一个n级火箭,在第n级火箭的燃料耗10naa···a12n尽时,火箭的速度可以近似表示为v=3ln,(9+a)(9+a)···(9+a)12nnmp+mjj=i其中ai=(i=1,2,···,n).nmp+m−mjij=i注:m表示人造天体质量,m表示第j(j=1,2,···,n)级火箭结构和燃料的总质量.pj北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第2页（共8页）给出下列三个结论:√12①aa···a<1;②当n=1时,v<3ln10;③当n=2时,若v=12ln2,则aa>6.12n其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿.解答题共6√16.已知函数f(x)=23sinxcosx−cos2x(x∈R).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)的最小正周期、函数图象的对称轴、对称中心;π(3)设x∈[0,],求f(x)的值域.3北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第3页（共8页）17.在各项均为正数的等比数列{a}中,S为其前n项和,且a−a=3,S=7.nn313(1)求a和S;nn(2)设b=log(S+1),记T=b+b+···+b,求T.n2nn12nn北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第4页（共8页）18.设函数f(x)=(x+2)ln(x+1)−ax,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1.(1)求a的值;(2)设函数g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;(3)求证:xf(x)>0.北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第5页（共8页）cosCcosA2b−c19.在△ABC中,角A,,C所对的边分别为a,b,c,且=.a(1)求角A的大小;√(2)若a=23,b=2,D为边上的一点,∠BAD=CAD,求△ABD的面积.北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第6页（共8页）aex20.已知函数f(x)=x+.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值;(3)若a>0,当x>0时,求证:f(lna−x)>f(lna+x).北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第7页（共8页）aa1,2···aa1,11,maa···21222m,,,21.已知A=(m>2)是m2个正整数组成的m行m列的数表,当m............am,1am,2···am,m16i<s6m,16j<t6m时,记d(a,a)=|a−a|+|a−a|.设n∈N∗,若A满i,js,ti,js,js,js,tm足如下两个性质:①ai,j∈{1,2,3,···,n}(i=1,2,···,m;j=1,2,···,m);②对任意k∈{1,2,3,···,n},存在i∈{1,2,···,m},j∈{1,2,···,m},使得a=k,i,j则称A为Γ数表.mn12313(1)判断A=21是否为Γ数表,并求d(a,a)+d(a,a)的值;331,12,22,23,332(2)若Γ数表A满足d(a,ai+1,j+1)=1(i=1,2,3;j=1,2,3),求A4中各数之和的最小值;24i,j(3)证明:对任意Γ数表A,存在16i<s610,16j<t610,使得d(a,a)=0.410i,js,t北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四ꢀ第8页（共8页）北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案1.(2024高考北京1)C2.(2024朝阳二模2)D3.(2024通州高一上期末5)D因为a=20.3>20=1,所以a>1;b=log0.32<log0.31=0,b<0;0<c=0.50.3<0.50=1,0<c<1.所以a>c>b.4.(2023大兴高三上期中6)B445−3344由题意可知:sinα==,cosα==−,tanα==−,故3√√5−3(−3)2+42(−3)2+42725453515A正确;且cos2α=cos2α−sin2α=−,故B错误;sinα+cosα=+(−)=,故Cα22tan4α2α2α2正确;因为tanα==−,整理得2tan2−3tan−2=0,解得tan=2α231−tan2α1π2π4απ或tan=−,且2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,则kπ+<<kπ+,k∈Z,可2222ααα2知k为奇数时,为第三象限角;k为偶数时,为第一象限角,综上所述:tan>0,即22α2tan=2,故D正确.5.(2024西城高一下期末6)A6.(2024顺义一模5)B7.(2023海淀二模9)C8.(2024朝阳二模8)C9.B因为a>b>c且a+b+c=0,abc>0,所以a>0,b<0,c<0,且a=−(b+c),所以√11111111++=−++,因为b<0,c<0,所以b+c6−2bc,所以−6√,abcb+cbcb+c2bc√√1b1c1bc11b1c11bc3又+6−2,所以−++6√−2=−√<0,故选B.2bcb+c2bc10.(2024通州一模10)A1211..北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案ꢀ第1页（共7页）1212.(2024高考北京12)−.ππ3由题意β=α+π+2kπ,k∈Z,从而cosβ=cos(α+π+2kπ)=−cosα,因为α∈[,],6√2√3212312π所以cosα的取值范围是[4π,],cosβ的取值范围是[−,−],当且仅当α=,即31β=+2kπ,k∈Z时,cosβ取得最大值,且最大值为−.3213.2,2(答案不唯一).14.[−2,1].15.(2024丰台一模15)②③.①显然a>1;i()a19+a1②v=3ln10<3ln10;()a1a2100a1a2③v=3ln100=12ln2,解得=16,即7a1a−12(a1+2(9+a)(9+a)(9+a)(9+a)1212√√1a)−108=0;又a,a>0,从而a+a>2aa,令aa=t,则7t2−24t−108>0,解得t>6或t6−21187212122(舍).√√π16.(1)f(x)=23sinxcosx−cos2x=3sin2x−cos2x=2sin(2x−),6πππππ令2kπ−62x−62kπ+,k∈Z,解得kπ−6x6kπ+,k∈Z,32626π6π3所以函数的单调递增区间为[kπ−,kπ+](k∈Z).2π2(2)f(x)的最小正周期为=π.π6π6πkπ2π12πkππ令2x−令2x−=kπ+,k∈Z得x=+,k∈Z,故f(x)的对称轴为x=kπ+,k∈Z.2323kπ2π=kπ,k∈Z得x=+,k∈Z,故f(x)的对称中心为(+,0)(k∈Z).212π3π6π6π212π(3)因为06x6,所以−62x−所以−162sin(2x−)62,即−16f(x)62,所以f(x)在[0,]上的值域为[−1,2].6,所以−6sin(2x−)61,6π6π317.(2023丰台高三上期中17)(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0).由已知得aq2−a=3,①11a+aq+aq2=7,②111q2−11+q+q253由①÷②得=(a1,0),即4q2−3q−10=0.7解得q=2或q=−(舍).4代入①或②得a1=1,北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案ꢀ第2页（共7页）所以an=2n−1,1−qnS=a·=2n−1.n11−q(2)由已知得b=log2n=n,n2(1+n)n所以Tn=1+2+···+n=18.(2024平谷一模20).2x+2x+1(1)由题意得f(x)的定义域为(−1,+∞),f′(x)=ln(x+1)+−a,因为f′(0)=1.所以f′(x)=ln1+2−a=1,解得a=1.x+2(2)因为g(x)=f′(x)=ln(x+1)+−1,g(x)的定义域为(−1,+∞),x+111xg′(x)=−=,x+1(x1)2+(x1)2+令g′(x)=0,得x=0,g(x)与g′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:x(−1,0)−↘00(0,+∞)g′(x)g(x)+极小值↗所以g(x)在的单调递减区间为(−1,0),单调递增区间为(0,+∞);(3)由(2)得,在x=0时,g(x)取得最小值1,所以f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(−1,+∞)为增函数,又因为f(0)=0,当−1<x<0时,f(x)<0,所以xf(x)>0;当x>0时,f(x)>0,所以xf(x)>0,综上,xf(x)>0.cosCcosA2b−c19.(1)因为=,acosCcosA2sinB−sinCsinA所以由正弦定理可得=,即sinAcosC=2cosAsinB−cosAsinC.所以sinAcosC+cosAsinC=2cosAsin.所以sin(A+C)=2cosAsin.因为sin(A+C)=sin(π−)=sin,所以sinB=2cosAsin.12因为B∈(0,π),所以sinB,0.所以cosA=.π因为A∈(0,π),所以A=.3北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案ꢀ第3页（共7页）π(2)因为∠BAD=CAD,所以∠BAD=CAD=.6√π3因为a=23,b=2,A=,12所以由余弦定理得12=4+c2−2×2·c·,即c2−2c−8=0.所以c=4.因为a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.π所以B=.所以AD=BD=CD.6√√121243312433所以S=×AB×BDsin∠B=×4××=.△ABD√433所以△ABD的面积是.20.(2024昌平二模20)a(1)因为f(x)=x+,exa所以f′(x)=1−.ex所以f′(0)=1−a,f(0)=a.所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1−a)x+a.aexex−a(2)由题知,f′(x)=1−=.ex①当a60时,f′(x)>0在区间[0,1]上恒成立,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数.所以当x=0时,f(x)min=a.②当a>0时,令f′(x)=0,即ex−a=0,所以x=lna.(A)当lna60,即0<a61时,f′(x)>0在区间(0,1)上恒成立,所以函数f(x)在区间[0,1]上是增函数.所以当x=0时,f(x)min=a.(B)当0<lna<1,即1<a<e时,f′(x)与f(x)的情况如下:x(0,lna)lna0(lna,1)f′(x)f(x)−↘+极小值↗所以当x=lna时,f(x)min=lna+1.(C)当lna>1,即a>e时,f′(x)<0在区间(0,1)上恒成立,所以函数f(x)在区间[0,1]上是减函数.北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案ꢀ第4页（共7页）a所以当x=1时,f(x)min=1+.eaa61,,综上,f(x)min=lna+1,1<a<e,a1a>e.+,e(3)方法一:设g(x)=f(lna−x)−f(lna+x)aa1ex=lna−x+−(lna+x+)=−2x+ex−,elna−xelna+x1所以g′(x)=−2+ex+.ex1ex1令h(x)=−2+ex+,则h′(x)=ex−.ex1因为x>0,所以ex>1,0<<1.ex所以h′(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为h(x)>h(0)=0,所以g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增.所以g(x)>g(0)=0.所以g(x)=f(lna−x)−f(lna+x)>0.所以f(lna−x)>f(lna+x).方法二:设g(x)=f(lna−x)−f(lna+x)aa1ex=lna−x+−(lna+x+)=−2x+ex−,elna−xelna+x1所以g′(x)=−2+ex+.ex1ex1因为x>0,所以ex>0,>0,且ex,,ex√1ex1ex所以−2+ex+所以g′(x)>0.>2ex·−2=0.所以函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.所以g(x)>g(0)=0.min所以g(x)=f(lna−x)−f(lna+x)>0.所以f(lna−x)>f(lna+x).21.(2023朝阳高三上期中21)北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练四参考答案ꢀ第5页（共7页）12313(1)A=21是Γ数表,3332d(a,a)+d(a,a)=2+3=5.1,12,22,23,3(2)由题可知d(ai,j,ai+1,j+1)=|ai,j−ai+1,j|+|ai+1,j−ai+1,j+1|=1(i=1,2,3;j=1,2,3).当ai+1,j=1时,有d(ai,j,ai+1,j+1)=(ai,j−1)+(ai+1,j+1−1)=1,所以ai,j+ai+1,j+1=3.当ai+1,j=2时,有d(ai,j,ai+1,j+1)=(2−ai,j)+(2−ai+1,j+1)=1,所以a+a=3.i,ji+1,j+1所以ai,j+ai+1,j+1=