专题1.3 集合的基本运算（解析版）

专题1.3集合的基本运算1．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合2．集合运算的相关结论交集并集补集3．德·摩根公式：，.一、单选题1．已知集合，，若，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】河南省2020-2021学年高二下学期期末（理）【答案】C【分析】由给定条件可得，再结合集合A，B即可求出m的范围．【解析】因，则有，而集合，，于是得，所以的取值范围是．故选C2．已知集合，，则A． B．C． D．【试题来源】2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）【答案】A【分析】先求出集合B，直接根据交集的定义求解即可．【解析】集合，，所以．故选A．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4}，集合B＝{2，4，5}，则如图中的阴影部分表示A．{2，4} B．{1，3}C．{5} D．{2，3，4，5}【试题来源】2020-2021学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）【答案】C【分析】由文氏图可得阴影部分表示，经计算即可得解．【解析】根据题意可得阴影部分表示，而，所以，故选C4．已知集合，则A．{1} B．{-1}C．{1，2} D．{1，2，3，4}【试题来源】2021年天津市红桥区学业水平考试【答案】A【分析】直接根据集合的交集运算求解即可．【解析】因为，所以故选A5．已知全集，集合或，，若，则实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】湖北省武汉市第十一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】A【分析】根据或可以求出，再根据、利用数轴法可推理出实数的取值范围．【解析】或，利用数轴法可知故选A6．已知或，，则A． B．C． D．【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考【答案】C【分析】利用集合的交、补运算求即可．【解析】由题设，，而，所以．故选C7．集合，，则中的元素个数为A．4 B．5C．6 D．7【试题来源】青桐鸣2022届高三上学期10月大联考（理）【答案】A【分析】根据给定条件写出集合M中小于的元素即可．【解析】因集合中元素都小于，而，则集合M中n取1，2，3，4时所对元素4，7，10，13均在集合Q中，而n取不小于5的正整数所对集合M中元素都大于，于是得中元素只有4，7，10，13，共4个，所以集合中的元素个数为4．故选A8．设集合，则A． B．C． D．【试题来源】山东省师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】由交集的定义计算即可．【解析】因为，所以．故选D．9．已知集合，，则A． B．C． D．【试题来源】河北省邢台市“五岳联盟”2022届高三上学期10月联考【答案】B【分析】求得集合后，根据补集定义可得结果．【解析】，，．故选B．10．已知集合，0，1，，则A． B．0，C．0，1， D．0，1，【试题来源】江苏省南通市如皋市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】A【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解．【解析】因为，0，1，，所以，故选A．11．设集合，，则等于A． B．C． D．【试题来源】山东省枣庄市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】直接根据交集的定义计算即可得解．【解析】因为，，所以．故选D．12．已知全集，，A． B．或C． D．或【试题来源】山东省枣庄市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】B【分析】根据补集的知识确定正确选项．【解析】，所以或．故选B13．设全集，集合，，则的取值为A．-3 B．3C．-1 D．1【试题来源】山东省东营市广饶县第一中学2021-2022学年高三上学期10月月考【答案】C【分析】由题意可得，进而得到且，即得解．【解析】因为，所以且，所以．故选C．14．已知为实数，，，若，则的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】福建省厦门同安第一中学2021-2022学年高一10月第一次月考【答案】A【分析】根据，得到，结合集合间的包含关系，即可求解．【解析】由题意，集合，，因为，可得，根据集合的包含关系，可得，即的取值范围为．故选A．15．已知集合，，则A． B．C． D．【试题来源】贵州省贵阳市五校（贵阳民中贵阳九中贵州省实验中学贵阳二中贵阳八中）2022届高三上学期联合考试（二）（文）【答案】C【分析】直接进行交集运算即可求解．【解析】因为，，所以，故选C．16．已知集合，，则A． B．C． D．【试题来源】海南省海口市海南昌茂花园学校2022届高三上学期第一次月考【答案】C【分析】直接根据交集的定义计算可得；【解析】因为，，所以故选C17．设集合，，则A． B．C． D．【试题来源】海南省三亚华侨学校（南新校区）2021-2022学年高一10月月考【答案】C【分析】结合集合并集的概念即可求出结果．【解析】因为集合，，则，故选C．18．若集合，，则A． B．C． D．【试题来源】辽宁省渤海大学附属高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】利用交集的定义，即得解【解析】由题意，利用交集的定义，故选D19．设集合，，则A． B．C． D．【试题来源】北京市八一学校2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系【解析】对于集合M：，k∈Z，对于集合N：，k∈Z，因为2k+1是奇数集，k+2是整数集所以故选B20．已知集合，，则A． B．C． D．【试题来源】北京市海淀外国语实验学校2022届高三9月月考【答案】C【分析】根据交集的概念和运算直接求解出结果．【解析】因为，，所以，故选C．21．已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是A． B．C． D．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】D【分析】由题意可得，讨论和两种情况，即可得的值，再写成集合形式即可．【解析】因为，所以，当时，此时满足，所以符合题意；当时，，若，则或，解得或，综上所述：实数的取值组成的集合是，故选D．22．已知，，则A．[2，3] B．（2，3]C． D．【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】D【分析】根据集合的补集运算和交集运算求解即可．【解析】因为，，所以或，．故选D．23．已知集合，均为全集的子集，且，，则A． B．C． D．【试题来源】河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第二次月考（文）【答案】A【分析】根据韦恩图即可求解．【解析】因为，，所以，因为，所以且，作出韦恩图如图所示：所以，故选A．24．如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．【试题来源】湖北省武汉市洪山高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】根据集合运算和韦恩图求解即可．【解析】由图可知，阴影部分在M和S的公共部分，所以阴影部分在中，因为阴影部分不在P中，所以阴影部分在中，所以阴影部分在中．故选B．25．满足，且的集合的个数是．A．7 B．8C．9 D．10【试题来源】湖北省武汉市第ー中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】B【分析】先根据，可知集合中必含有，，而不含，进一步分析可得答案．【解析】因为，所以，，，又，所以、、、、、、、共8个；故选B26．已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则A． B．C． D．【试题来源】2021-2022学年高一数学同步辅导讲义与检测（人教A版2019必修第一册）【答案】B【分析】求函数的值域求得，由此求得．【解析】在上递减，所以，的对称轴为轴，所以，所以．故选B27．已知为全集，则下列说法错误的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】D【分析】根据集合的交并补运算，逐项分析，即可求解．【解析】A正确，因为，，所以；B正确，，即集合，中均无任何元素，可得．C正确，因为，，所以；D错误，若，则集合，不一定为空集，只需两个集合中无公共元素即可，故选D．28．设集合，，若，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考A【答案】D【分析】根据集合并集的运算性质进行求解判断即可．【解析】因为，所以有，故选D29．已知集合，，则A．{2} B．{1，2}C．{0，1，2} D．{}【试题来源】北京市北京师范大学附属中学2022届高三10月月考【答案】A【分析】根据交集的定义即得解【解析】由题意，根据交集的定义可得，故选A.30．已知有限集X，Y，定义集合，且，表示集合X中的元素个数．若，则A．3 B．4C．5 D．6【试题来源】北京市北京师范大学附属中学2022届高三10月月考【答案】A【分析】利用新定义及并集运算，即可得到结果．【解析】因为，所以，，所以，所以，故选A二、多选题1．已知集合A=，集合，则下列关系正确的是A． B．C． D．【试题来源】广西浦北中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】ACD【分析】由已知可求得，依次判断各选项即可得出结果．【解析】A=，，．，A正确，，B错误，，C正确，，D正确．故选ACD2．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则；下列情况中可能出现的有A．有4个元素，有7个元素 B．有4个元素，必有6个元素C．有3个元素，有5个元素 D．有3个元素，有4个元素【试题来源】湖北省武汉市第ー中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】ACD【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可．【解析】取，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，所以选项C可能；，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，所以选项D可能；，4，8，，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，所以选项A可能，排除选项B．故选ACD3．设集合，，且，则满足条件的实数的值是A．-2 B．2C．1 D．0【试题来源】广东省揭阳普宁市普师高级中学2022届高三上学期第一次阶段考试【答案】ABD【分析】根据集合中元素的互异性，可知且，再由，可知或，从而可求出足条件的实数的值．【解析】已知，，可知且，由于，可知或，若，当时，满足题意；当时满足题意，若或，当时，满足题意；当不满足题意，综上得，满足条件的实数的值是-2，0，2．故选ABD．4．设全集，集合，，则A． B．C． D．集合的真子集个数为8【试题来源】山东省菏泽市东明县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】AC【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可．【解析】因为全集，集合，，所以，，，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为，因此选项D不正确，故选AC5．设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是A． B．或C． D．【试题来源】2021-2022学年高一数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版必修第一册）【答案】CD【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果．【解析】集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合．故选CD．6．已知集合，，若，则a的值为A．0 B．1C．2 D．3【试题来源】河北省张家口市第一中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】AC【分析】分别代入的值，然后计算是否满足，由此确定出的取值．【解析】当时，，满足；当时，，，不满足；当时，，满足；当时，由知，，不满足；故选AC．7．已知，，若，则实数a的取值范围可以为A． B．C． D．【试题来源】河北省石家庄市第一中学2021-2022学年高一上学期10月开学适应性测试【答案】BD【分析】先化简集合，求出，由已知得，可得端点间的关系，从而即可求解．【解析】由题意知，，，由，，则，解得所以选项BD，满足条件．故选BD．8．已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是A． B．C． D．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】BD【分析】由题可知，利用包含关系即可判断．【解析】因为，所以，若是的真子集，则，故A错误；由可得，故B正确；由可得，故C错误，D正确．故选BD．9．已知集合则下列说法正确的是A．集合 B．集合可能是C．集合可能是 D．可能属于A【试题来源】山东省日照市五莲县第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】AC【分析】根据题意，结合集合的关系依次讨论各选项即可得答案．【解析】由题知，所以对于A选项，由于，所以，故正确；对于B选项，由于，故集合不可能是，故错误；对于C选项，由于，故当时，集合可能是，故正确；对于D选项，，所以，故错误．故选AC10．设集合，，，则下列关系中正确的是A． B．C． D．【试题来源】湖北省武汉市第ー中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】BC【解析】由题意可知，表示二次函数图象上任意一点的坐标构成的集合．，故选BC.11．已知集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．【试题来源】福建省三明第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】ABD【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，即可得出正确选项．【解析】由于，即是的子集，故，，故A正确，C错误；从而，故BD正确．故选ABD．12．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是A．已知，，则B．已知或，，则或C．如果，那么D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2021-2022学年高一上学期10月阶段测试一【答案】BCD【分析】由题意可知即先求，的交集，然后求其以为全集的补集，结合差集定义依次判断各个选项即可．【解析】由题意可知，即先求，的交集，然后求其以为全集的补集．对于A：根据差集的定义可知若，，则，故选项A不正确；对于B：或，，则或，故或，故选项B正确；对于C：如果，则，故，故选项C正确；对于D：因为，故选项D正确．故选BCD13．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素【试题来源】2021-2022学年高一数学同步辅导讲义与检测（人教A版2019必修第一册）【答案】ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【解析】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能．故选ABD．14．设，，若，则实数的值可以是A．0 B．C． D．2【试题来源】广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考【答案】ABC【分析】根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案．【解析】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意；若，则，因为，所以或，则或．综上：或或．故选ABC．15．对任意，定义．例如，若，则，下列命题中为真命题的是A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若，则【试题来源】四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2021-2022学年高一上学期9月检测【答案】ABD【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证．【解析】根据定义．对于A：若，则，，，，所以，故A正确；对于B：若，则，，，，所以，故B正确；对于C：若，则，，则．故C错；对于D：左边，右边所以左=右．故D正确．故选ABD．【名师点睛】数学中的新定义题目解题策略：（1）仔细阅读，理解新定义的内涵；（2）根据新定义，对对应知识进行再迁移．三、填空题1．设集合，，，则__________．【试题来源】上海市实验学校2022届高三上学期第一次月考【答案】【分析】先求集合A与集合B的并集，再与集合C求交集【解析】因为，，所以，因为，所以，故答案为2．设集合，，若，则实数__________．【试题来源】上海市延安中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】或【分析】分析可得，可得出关于实数的等式，即可求得结果．【解析】因为，则，因为，，则或．解得或．故答案为或．3．已知集合，，则__________．【试题来源】上海市向明中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】【分析】由补集定义可直接得到结果．【解析】由补集定义可知．故答案为．4．已知集合，，则__________．【试题来源】上海市新场中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】利用交集的定义可求得结果．【解析】由已知条件可得．故答案为．5．若集合，．则集合__________．【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】【分析】首先列举法表示集合，结合补集可确定结果．【解析】，又，．故答案为．6．已知集合A＝{﹣3，a2，1+a}，B＝{a﹣3，a2+1，2a﹣1}，若A∩B＝{﹣3}，则a＝__________．【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】﹣1【分析】根据集合交集的运算性质进行求解即可．【解析】由A∩B＝{﹣3}可得，﹣3∈B，所以2a﹣1＝﹣3或a﹣3＝﹣3或a2+1＝﹣3（舍）．当2a﹣1＝﹣3时，a＝﹣1，此时A＝{﹣3，0，1}，B＝{﹣3，﹣4，2}，此时A∩B＝{﹣3}，符合题意，当a﹣3＝﹣3时，a＝0，此时A＝{﹣3，1，0}，B＝{﹣1，﹣3，1}，A∩B＝{﹣3，1}不符合题意，应舍去．所以a＝﹣1，故答案为﹣1．7．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有__________．【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2021-2022学年高一上学期9月月考【答案】8【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可．【解析】由题意：赞成A的人数30，赞成B的人数为33，设对A、B都赞成的学生数为x，则对A、B都不赞成的学生数x+1，如图可得x+30﹣x+33﹣xx+1＝50，所以x＝21，x+1＝8．故答案为8．8．已知集合，且，则集合B为__________．【试题来源】山东省日照市五莲县第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】由题知，进而得，再解方程即可得答案．【解析】因为，且，所以，所以，解得，所以，故答案为.9．设全集U＝R，集合，集合P＝（1，3），则＝__________．【试题来源】北京市第四中学2020-2021学年高一上学期适应性考试【答案】【分析】根据集合的交并补运算即可求解．【解析】因为集合或，又集合，所以，则．故答案为．10．已知集合，，则__________．【试题来源】上海市延安中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】【分析】利用交集定义求解即可．【解析】由题知．故答案为11．已知集合，，，则__________．【试题来源】广西浦北中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】【分析】先求出的补集，再和求交集即可．【解析】依题意得，故，故答案为12．将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为__________．【试题来源】福建省厦门松柏中学2021-2022学年高一10月第一次月考【答案】【分析】根据韦恩图所表示的阴影部分的意义直接写出结论即可．【解析】由韦恩图知，阴影部分在集合A中有一部分，另一部分在集合C中，即阴影部分在集合中，而阴影部分不在集合B中，则它必在集合B的补集中，所以，阴影部分表示为．故答案为13．已知为实常数，集合，集合，且，则实数的取值范围为__________．【试题来源】上海市控江中学2021-2022学年高一上学期九月月考【答案】【分析】由题意，可得，再结合关系列出不等式组，即得解【解析】由题意，，，，，故答案为，14．已知集合，集合，则__________．【试题来源】浙江省精诚联盟2021-2022学年高一上学期10月联考【答案】【分析】化简集合A，B，根据交集运算即可．【解析】因为，，所以，故答案为15．已知全集，集合，，则中所有元素的和构成的集合为__________．【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】【分析】首先求出集合，然后通过讨论集合中元素的个数以及集合与集合之间的关系，并结合根与系数之间的关系即可求解．【解析】由题意知，集合中元素满足，因为，所以，即，故，①若中有两个相等的实数根，则由判别式可知，，即，易知，此时，所有元素之和为2020；②若中有两个不相等的实数根、，且，由根与系数之间的关系可知，，则中所有元素之和为，③若2021恰好为中元素，即，则，由根与系数关系可知，所有元素之和为．故答案为．四、双空题1．已知全集则__________，__________．【试题来源】浙江省金华市方格外国语学校2020-2021学年高二下学期4月月考【答案】【分析】根据交集、补集的概念即可求出结果．【解析】根据交集的概念可得，根据补集的概念可得，故答案为；．2．设集合，，，且，则__________，__________．【试题来源】2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）【答案】【分析】根据可求得、的值，可求得的值，进而可求得．【解析】因为，，且，所以，，且，所以，在集合中，，即，解得或．当时，在集合中，，则，故，即，矛盾；当时，则，所以，，解得．综上所述，，．故答案为；．3．若集合，，，，且，则实数，的值分别是__________，__________．【试题来源】2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）【答案】40【分析】首先可判断且，即可求出，从而确定，，即可求出，即可得解；【解析】集合，，，，且，若，则显然不成立，即，所以，即，，，，即，实数，的值分别是，．故答案为4，0．4．已知全集，，，，则实数a的值为__________；集合__________．【试题来源】河北省张家口市第一中学2020-2021学年高一上学期10月月考【答案】1【分析】根据，求得，再根据集合的并集与补集的概念及运算，即可求解．【解析】由题意，集