2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理5.3.1-5.3.2组合组合数及其性质课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(三十三)组合组合数及其性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m的值为()A．6B．7C．8D．9B[∵Aeq\o\al(3,m)＝Ceq\o\al(3,m)Aeq\o\al(3,3)＝6Ceq\o\al(3,m)．∴6Ceq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，∴Ceq\o\al(3,m)＝Ceq\o\al(4,m)，∴m＝3＋4＝7．]2．若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，则n＝()A．12B．13C．14D．15C[∵Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，∴Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14．]3．集合{0，1，2，3}中含有3个元素的子集的个数是()A．4B．5C．7D．8A[由于集合中的元素是没有依次的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0，1，2，3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是Ceq\o\al(3,4)＝4．]4．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路途共有()A．125条B．126条C．127条D．128条B[要使路途最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(5,5)＝126种走法，故从A地到B地的最短路途共有126条．]5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为()A．Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,198) B．Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)C．Ceq\o\al(3,200)－Ceq\o\al(4,197) D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)B[分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)种抽法；其次类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)种抽法．因此共有(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197))种抽法．]二、填空题6．设A＝{x|x＝Ceq\o\al(n,4)，n∈N＋}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．{1，4}[当n＝0时，Ceq\o\al(0,4)＝1；当n＝1时，Ceq\o\al(1,4)＝4；当n＝2时，Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2×1)＝6；当n＝3时，Ceq\o\al(3,4)＝Ceq\o\al(1,4)＝4；当n＝4时，Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(0,4)＝1，∴A＝{x|x＝Ceq\o\al(n,4)，n∈N＋}＝{1，4，6}．又∵B＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．]7．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．eq\f(1,2)[∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝eq\f(1,2)．]8．7名志愿者中支配6人在周六、周日两天参与社区公益活动，若每天支配不同的3人，则不同的支配方案共有________种．(用数字作答)140[可分步完成此事，第一步选周六的3人共有Ceq\o\al(3,7)种方法；其次步选周日的志愿者共有Ceq\o\al(3,4)种方法．由分步乘法计数原理可知：不同的支配方案共有Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(3,4)＝140(种)．]三、解答题9．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求m的值．[解]由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21，又0≤m≤5，所以m＝2．10．(1)设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个？(2)10位同学聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？[解](1)从5个元素中取出3个元素并成一组，就是集合A的子集，元素无序，则共有Ceq\o\al(3,5)＝10(个)．(2)每两人握手一次就完成这一件事，则共有握手次数为Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(次)．11．Ceq\o\al(97,98)＋2Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)＝()A．Ceq\o\al(97,99)B．Ceq\o\al(97,100)C．Ceq\o\al(98,99)D．Ceq\o\al(98,100)B[Ceq\o\al(97,98)＋2Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)＝Ceq\o\al(97,98)＋Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)＝Ceq\o\al(97,99)＋Ceq\o\al(96,99)＝Ceq\o\al(97,100)．]12．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有()A．70个B．80个C．82个D．84个A[分两类，第1类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)种方法；第2类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)种方法．故满意条件的三角形共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝70(个)．]13．(多选题)若Ceq\o\al(4,n)＞Ceq\o\al(6,n)，则n的值可以是()A．6B．7C．8D．9ABCD[∵Ceq\o\al(4,n)＞Ceq\o\al(6,n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(4,n)＞C\o\al(6,n)，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！n－4！)＞\f(n！,6！n－6！)，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10＜0，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜n＜10，,n≥6.))∵n∈N*，∴n＝6，7，8，9．]14．(一题两空)在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形，共有________个交点．126080[第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,10)＝1260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,10)＝80(个)．]15．(1)求Ceq\o\al(3n,13＋n)＋Ceq\o\al(3n－1,12＋n)＋Ceq\o\al(3n－2,11＋n)＋…＋Ceq\o\al(17－n,2n)的值；(2)求满意eq\f(C\o\al(5,n－1)＋C\o\al(3,n－3),C\o\al(3,n－3))＝eq\f(19,5)的n的值．[解](1)由原式知，n满意3n≤13＋n且17－n≤2n，又∵n∈N＋，∴n＝6．∴原式＝Ceq\o\al(18,19)＋Ceq\o\al(17,18)＋Ceq\o\al(16,17)＋…＋Ceq\o\al(11,12)＝Ceq\o\al(1,19)＋Ceq\o\al(1,18)＋Ceq\o\al(1,17)＋…＋Ceq\o\al(1,12)＝124．(2