新人教数学 9年级下：达标训练（26.1二次函数）

达标训练基础·巩固1.已知抛物线的解析式为y=(x-2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是()A.(-2,1)B.(2，1)C.(2，-1)D.(1,2)思路解析：形如y=(x-k)2＋h的抛物线的顶点坐标为(k，h).答案：B2.二次函数y=3(x-1)2+2的最小值是()A.-2B.-1C.2D.1思路解析：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，当a＞0时，函数有最小值，当时，y最小值=.答案：C3.在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b(a≠0，b≠0)的图象的大致位置是()思路解析：a、b的符号确定了抛物线和直线的位置.[来源:学。科。网]选项A中，由直线的位置可以知道a<0，b>0；由抛物线的开口知道a>0，相互矛盾；选项B中，由直线的位置可以知道a>0，b>0；由抛物线的开口知道a<0，相互矛盾；选项C中，由直线的位置可以知道a>0，b>0；由抛物线的位置知a>0，b<0，相互矛盾；选项D中，由直线的位置可以知道a<0，b<0；由抛物线的位置知道a<0，b<0，两者结论一致；答案：D4.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处，发现停放有一辆故障车，此时刹车________(填“会”或“不会”)有危险.思路解析：刹车距离指在汽车这段距离中能停下来，因此本题要根据v=100计算出s的值，若s≤80，则刹车没有危险.当v=100时，s=×1002=100>80，此时刹车有危险.答案：有5.(1)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系为________，是________次函数，自变量的取值范围是________.(2)菱形的两条对角线的和为26cm，则菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系为________，是________次函数，自变量的取值范围是________.(1)思路解析：根据题意写出表达式，注意自变量的取值范围.先写出半径的表达式：，再用面积公式表示y=π·()2=.[来源:]答案：，二，x>0(2)思路解析：菱形的面积等于对角线乘积的一半.答案：S=x(26-x)，或填S=-x2+13x，二，0＜x＜26.6.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.[来源:学§科§网Z§X§X§K](1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)、B(1，0)、C(-1，2)；(2)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)，且与y轴交于点(0，-3)；(4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4.思路解析：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求；(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求；(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求.解：(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).由已知，这个函数的图象过(0,-1)，可以得到c=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点，可以得到解这个方程组，得所以所求二次函数的关系式是y=2x2-2x-1.(2)因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到1=a(0-1)2-3.解得a=4.所以所求二次函数的关系式是y=4(x-1)2-3=4x2-8x+1.(3)因为抛物线与x轴交于点(-3，0)、(5，0)，所以设二次函数的关系式为y=a(x+3)(x-5).又由于抛物线与y轴交于点(0，3)，可以得到-3=a(0+3)(0-5).解得a=.所以，所求二次函数的关系式是y=(x+3)(x-5)，即y=.(4)因为抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为y=a(x-3)2-2.由已知可知抛物线的对称轴为x=3.因为抛物线与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0).[来源:]把x=1，y=0代入y=a(x-3)2-2，得a=.所以y=(x-3)2-2，即y=x2-3x-.综合•应用7.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是()A.先往左上方移动，再往左下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动C.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动思路解析：b的变化影响顶点的位置.找出顶点随b的变化规律.y=x2-bx+1=(x-)2+1-b2，其顶点为(,1-b2).当b从-1到1的变化过程中，顶点的横坐标从-→0→变化，纵坐标恒大于或等于0，从0→1→0变化，即顶点位置在第二象限从低到高向右移动，到达y轴上的(0，1)，继续向右移动到达第一象限，在第一象限向右下方移动.实际上，还可以设顶点的横坐标为m，纵坐标为n，则m=，n=1-b2，消去b，得到顶点的移动路径满足n=-4m2+1(-≤m≤)，也是抛物线在第二象限和第一象限的一段，因此顶点先往右上方移动，再往右下方移动.答案：C8.已知y=(k+2)xk2+k-4是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大.则k=_________，其顶点坐标为_________，对称轴是_________.思路解析：根据定义，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数.这里x的系数不为0，指数为2.考虑到当x>0时，y随x的增大而增大，还必须x的系数大于0.由题意，得解得k=2.二次函数为y=4x2，则顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.答案：2，(0，0)，y轴9.某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.1-6所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？图26.1-6思路解析：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=ax2(a<0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解：由题意，得水面与涵洞的一个交点坐标为(0.8，-2.4)，又因为该点在抛物线上，将它的坐标代入y=ax2(a<0)，得-2.4=a×0.82所以.[来源:]因此函数关系式是.10.把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x2，求b、c的值.思路解析：抛物线y=x2的顶点为(0，0)，只要求出抛物线y=x2+bx+c的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值.解：y=x2+bx+c=x2+bx+.向上平移2个单位，得到y=(x+)2+c-+2，再向左平移4个单位，得到y=(x++4)2+c-+2，[来源:]其顶点坐标是(，)，而抛物线y=x2的顶点为(0，0)，则解得方法二把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x2，也就意味着把抛物线y=x2向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线y=x2+bx+c.那么，本题还可以用下列方法来解：抛物线y=x2向下平移2个单位，得到y=x2-2；再向右平移4个单位，得到y=(x-4)2-2，即y=x2-8x+14.所以b=-8，c=14.11.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨论后，同学们做了以下三种试验:请根据以上图案回答下列问题:(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m，当AB为1m，长方形框架ABCD的面积是__________m2;(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为xm，长方形框架ABCD的面积为S=________(用含x的代数式表示)；当AB=_______m时,长方形框架ABCD的面积S最大;[来源:Z*xx*k]在图案③中，如果铝合金材料总长度为lm，设AB为xm，当AB=________m时,长方形框架ABCD的面积S最大.(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律.探索:如图案④，如果铝合金材料总长度为lm共有n条竖档时,那么当竖档AB多少时，长方形框架ABCD的面积最大.思路解析：用函数考虑.当AB为xm，列出面积的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.(1)图案①中，当AB为1m时，AD=(6-1×2)÷3=(m)，面积是S=1×=(m2).(2)图案②中，当AB为x(0<x<2)时，AD=(6-3x)÷3=2-x，面积是S=x(2-x);对于S=x(2-x)=-x2+2x，当x=1时，S有最大值.图案③中，当AB为x(0<x<)时，AD=(l-4x)÷3=，面积是S=(x2-x)，当时，S有最大值.[来源:学.科.网](3)图案④中，当AB为x(0<x<)时，AD=(l-nx)÷3=，面积是S=(x2-x)，当时，S有最大值.解：(1).(2)-x2+2x，1，.(3)设AB长为xm，那么AD为，S=x·.当时，S最大.回顾•展望12.(2010广东广州模拟)抛物线y=x2-1的顶点坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(1,0)D.(-1,0)答案：B13.(广西南宁模拟)函数y=ax2-a与(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()思路解析：两个函数都只有一个待定系数a，可以讨论a>0和a<0两种情况的图形.①当a>0时，抛物线y=ax2-a开口向上，与y轴的交点在x轴下方，同时双曲线的位置应该在一、三象限，所以选项B不符合题目要求;②当a<0时，抛物线y=ax2-a开口向下，与y轴的交点在x轴上方，双曲线的位置应该在二、四象限，所以选项A符合题目要求.答案：A14.(广西南宁模拟)图1是水滴进玻璃容器的示意图(滴水速度不变)，图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象.给出下列对应：(1)a→e；(2)b→f；(3)c→h；(4)d→g.其中正确的是()[来源:]A.(1)和(2)B.(2)和(3)C.(1)和(3)D.(3)和(4)思路解析：滴水速度不变，图象中水的高度随时间的变化跟容器的形状有关.容器a、b是圆柱体形状，其体积与水的高度成正比，所以a→g，b→f.容器c是圆台形，水的体积相当于圆台，所以c→h.容器d是圆锥体形状，水的体积相当于倒置的圆锥，d→e.答案：B15.(2010吉林长春模拟)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M(1,-2)、N(-1,6).(1)求二次函数y=x2+bx+c的关系式.(2)把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，BC=5.将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.思路解析：根据点