数学达标训练：第二讲五与圆有关的比例线段

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精更上一层楼基础·巩固1点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则(）A.OC2=CA·CBB.OC2=PA·PBC。PC2=PA·PBD。PC2=CA·CB思路解析：根据OC⊥CP，可知C为中点,再由相交弦定理即有PC2=CA·CB。答案：D2如图2—图2A。1B。C.-1D。思路解析：过点B作BB′⊥MN，交O于点B′，连结AB′交MN于点P,此时点P使AP＋BP最小。易知B与B′点关于MN对称,依题意∠AON=60°,则∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=90°,AB′=。故PA＋PB的最小值为2。答案：D3如图2-5-图2思路分析：简单型的比例线段问题，主要是证两个三角形相似。这样，如何证得两个三角形相似，就成为关键问题，可以利用两角对应相等，也可以利用一角相等，夹边对应成比例。证明:连结AC。∵AB是直径，∴∠ACB=90°.又BD⊥MN,∴∠BDC=90°。∴∠ACB=∠CDB.又MN切⊙O于C，∴∠DCB=∠A.∴△ACB∽△CDB。∴AB∶CB=CB∶BD。则BC2=BD·AB。4如图2—5—图2思路分析:由于本题要证的成比例的四条线段在同一条直线上,因此不存在相似三角形，所以必须转移其中一条或两条，以构成两个能够相似的三角形，注意到同圆半径相等的性质,所以将AD换成AB，通过等线段代换，可以达到目的.证明:分别连结、、BF。∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠ABC=∠F.又∠BAF公共，∴△ABE∽△BFA。∴AB2=AE·AF.∵AB=AD,∴AD2=AE·AF。5如图2-5—图2求证：（1)PA=PD;（2）BP2=AD·DE。思路分析:（1)中因为PA与PD在同一个三角形中，所以可以通过说明两角相等解决问题;（2)中则运用切割线定理转换线段。证明：(1)连结AB，证明△BED∽△AEB得∠DBE=∠DAB.又可证∠PAD=∠ADP，∴PA=PD。(2)PA2=PB·PC且PD=CD=PC，PA=PD，∴PD=2PB=PB＋BD.∴PB=BD=PD。又BD·CD=AD·DE，∴可证得结论，且PD=CD。6如图2—图2思路分析:图形中有两条切线，故运用切割线定理得线段和角的关系，在Rt△OPB中运用射影定理，有OB2=OP·OM，代换其中的OB为OC，可得三角形相似，即得角的相等关系。证明：连结OB，由切线长定理,得PA=PB,PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB,在Rt△OPB中,OB2=OP·OM，∵OB=OC，∴OC2=OP·OM，即。∴△OCP∽△OMC。∴∠OPC=∠OCM。综合·应用7如图2-图2思路分析：求PD，可使用割线定理PC·PB=PD·PE，显然PA切⊙O，∴PA2=PC·PB.可求得PB，但PE=PD＋DE,DE为⊙O直径,所以求⊙O的直径成为解题的关键。解:∵PA切⊙O,∴PA2=PC·PB.又PB=PC＋BC，∴BC=11。连结AO，并延长与⊙O交于K，与CB交于G,则GA=PAtan∠GPA=PAtan30°=2。又Rt△GPA中，∠GPA=30°，∴PG=2GA=4.∴CG=3，GB=8。由相交弦定理GC·GB=AG·GK,可得GK=12，∴直径为14。∴由割线定理有PC·PB=PD·PE,得PD=-7.8如图2—图2思路分析：由切割线定理PA2=PB·PC，由已知条件可得BC长,又通过△ACE∽△ADB,得AD·AE=CA·BA,从而求CA、BA的长即可.解：连结CE，∵PA2=PB·PC，PA=10，PB=5，∴PC=20。∴BC=15.又PA切⊙O，∴∠PAB=∠ACP。∠P公共，∴△PAB∽△PCA.∴=。∵BC为⊙O直径，∴∠CAB=90°.∴AC2＋AB2=BC2=225.∴可解得AC=，AB=。但AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB,∠ABC=∠E。∴△ACE∽△ADB。∴。∴AD·AE=AB·AC=×=90。9如图2—图2思路分析：可通过勾股定理、直角三角形斜边上的中线定理、切线的性质定理以及弦切角定理、切割线定理来写结论。解:如：OD=AB，CD⊥OD，∠CDB=∠BAD，CD2=CB·CA或OD2＋CD2=CO2等.10在直径为AB的半圆形区域内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其他两边分别为6米和8米。先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，图2-5-20的设计方案是使AC=图2（1）求△ABC的边AB上的高h。（2）设DN=x,当x取何值时，水池DEFN的面积最大？(3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树,请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。思路分析:（1）利用三角形的面积，即斜边×斜边上的高=两直角边的积；（2）求最值问题时，利用三角形相似得到比例式，转变成二次函数即可.解:(1)∵直径AB为△ABC的斜边，∴AB==10米.∴h==4。8米.（