《正切函数的性质与图象》学习任务单

《正切函数的性质与图象》学习任务单一、学习目标1、能够准确说出正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等性质，就像能清楚说出自己好朋友的特点一样准确。2、可以熟练画出正切函数的图象，就像画家能轻松画出自己擅长的画作一样。3、会利用正切函数的性质解决一些简单的数学问题，就像厨师会用食材做出美味菜肴一样。二、学习内容与任务分解（一）正切函数的定义复习1、任务回忆在直角三角形中，正切函数是怎么定义的呢？如果一个直角三角形，一个锐角是\（＼alpha\），对边是\（a\），邻边是\（b\），那么\（＼tan\alpha=＼）什么呢？找一个生活中的直角三角形例子，比如一个斜坡，它的坡面与水平面形成一个直角三角形，量出坡面的垂直高度和水平长度，计算一下这个角的正切值。2、互动环节让同学们分组讨论自己找到的直角三角形例子，然后每组选一个代表来说一说他们组的例子和计算结果。老师可以在同学们讨论的时候在教室里走动，听听大家的想法，适时给予指导。3、反馈与评价自我评估：如果能准确说出正切函数在直角三角形中的定义，并且能正确计算生活中例子的正切值，那这部分就掌握得不错啦。教师评价：老师根据同学们的回答和计算结果进行评价，如果回答正确且思路清晰，给予表扬；如果有错误，指出错误并引导同学们改正。（二）正切函数的定义域和值域1、任务对于正切函数\（y＝＼tanx\），想想看，＼（x\）能不能取任意值呢？为什么？试着写出正切函数\（y=＼tanx\）的定义域，并且用区间的形式表示出来。那正切函数的值域又是什么呢？它有没有最大值和最小值呢？可以通过观察正切函数的图象来思考这个问题哦。这里给大家讲个小故事，有一次我在做一个工程测量，需要计算一个角度的正切值，但是我发现如果角度是\（90^｛＼circ}＼）的时候，我的测量仪器就没办法按照常规方法计算正切值了，这是为什么呢？2、互动环节让同学们互相交流自己对定义域和值域的理解，并且互相解释为什么正切函数有这样的定义域和值域。对于小故事中的问题，让同学们讨论并尝试回答。3、反馈与评价自我评估：能够正确写出定义域和值域，并且能清楚解释原因的同学，在这部分就学得很好。如果还能回答小故事中的问题，那就更棒了。教师评价：老师检查同学们写的定义域和值域，对于解释合理的同学给予肯定，对于存在错误的同学，详细讲解正切函数在\（x＝k\pi+＼frac{＼pi}｛2}＼）（＼（k\inZ\））时无定义的原因。（三）正切函数的周期性1、任务观察\（＼tan(x＋＼pi)＼）和\（＼tanx\）的关系，通过计算几个特殊值来验证，比如\（x＝＼frac{＼pi}｛4}＼）时，＼（＼tan(＼frac{＼pi}｛4}＋＼pi)＼）和\（＼tan\frac{＼pi}｛4}＼）的值。得出正切函数的周期是多少呢？并思考为什么正切函数的周期是这个值而不是其他值。再想一个生活中的周期现象，比如四季更替，然后把它和正切函数的周期做个比较，有什么相同和不同之处呢？2、互动环节让同学们分组分享自己计算的结果和对正切函数周期的理解，以及生活中周期现象与正切函数周期的比较。每组可以选出一个代表来给全班同学汇报。3、反馈与评价自我评估：如果能正确计算特殊值，得出正切函数的周期，并且能合理比较生活中的周期现象，就说明这部分知识掌握得不错。教师评价：老师根据同学们的汇报进行评价，对于周期概念理解准确的同学给予表扬，对于存在疑惑的同学进行重点讲解。（四）正切函数的奇偶性1、任务回忆一下函数奇偶性的定义，奇函数满足什么条件，偶函数满足什么条件呢？然后来判断正切函数\（y＝＼tanx\）是奇函数还是偶函数。可以通过计算\（＼tan(x)＼）和\（＼tanx\）的关系来判断。举一个奇函数和一个偶函数的生活例子，比如奇函数可以是路程关于时间的函数（当考虑往返运动时），偶函数可以是一个正方形的面积关于边长的函数，再解释一下为什么它们是奇函数或者偶函数，然后再解释正切函数为什么是奇函数。2、互动环节同学们互相分享自己举的例子和对正切函数奇偶性的判断过程。互相提问，如果有同学对正切函数的奇偶性判断有不同意见，可以互相讨论。3、反馈与评价自我评估：能准确回忆函数奇偶性定义，正确判断正切函数奇偶性并且能合理举例解释的同学，这部分知识就掌握得很好。教师评价：老师检查同学们的判断过程和举例，对于正确的同学给予鼓励，对于错误的同学进行纠正并重新讲解奇偶性的判断方法。（五）正切函数的单调性1、任务先画出正切函数\（y＝＼tanx\）在\（（＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}）＼）上的图象，观察图象是上升还是下降的，从而得出正切函数在这个区间上的单调性。那正切函数在整个定义域内的单调性是怎样的呢？根据正切函数的周期性来思考这个问题。假设你是一个汽车销售员，汽车的销售量\（y\）和汽车的价格\（x\）之间存在一种类似正切函数单调性的关系，你要怎么向顾客解释这种关系呢？2、互动环节同学们交换自己画的图象，互相检查图象是否正确，并且互相交流对正切函数单调性的理解。对于汽车销售的例子，大家可以讨论怎样解释更合理。3、反馈与评价自我评估：图象画得正确，能准确说出正切函数单调性的同学，这部分知识就过关了。如果还能很好地解释汽车销售的例子，那就更优秀了。教师评价：老师查看同学们的图象和对单调性的回答，对于图象准确、回答正确的同学给予肯定，对于有问题的同学进行指导。（六）正切函数图象的绘制1、任务我们已经知道了正切函数的一些性质，现在根据这些性质来完整地画出正切函数\（y＝＼tanx\）的图象。要注意图象的渐近线，也就是\（x＝k\pi+＼frac{＼pi}｛2}＼）（＼（k\inZ\））这些直线的位置，图象是无限接近这些直线但不相交的。我曾经看到一个画家在画一幅山水画，他要画一条蜿蜒的河流，河流在靠近山的地方有一些特殊的走向，就像正切函数图象靠近渐近线的样子。你在画正切函数图象的时候，可以想象自己是那个画家，怎么把图象画得又准确又好看呢？2、互动环节同学们互相展示自己画的图象，互相指出优点和不足之处。分享自己在画图象过程中的小技巧，比如如何确定特殊点的位置。3、反馈与评价自我评估：如果图象完整、准确，渐近线画得正确，那图象绘制这部分就完成得很好。教师评价：老师对同学们画的图象进行评价，挑选出画得好的图象进行展示，对存在问题的图象进行修改和讲解。（七）利用正切函数性质解题1、任务已知\（y=＼tanx\）在区间\（（a,b)＼）上单调递增，且\（＼tana＝1\），＼（＼tanb＝1\），求\（a\）和\（b\）的值（＼（a,b\in(＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}）＼））。若\（y＝＼tan(x＋＼varphi)＼）（＼（＼varphi\neq0\））是奇函数，求\（＼varphi\）的取值集合。对于正切函数\（y＝＼tanx\），当\（x\in0,＼frac{＼pi}｛4}＼）时，求\（y\）的取值范围。想象你是一个建筑师，要根据正切函数的性质来设计一个屋顶的倾斜角度，已知屋顶的正切值在一定范围内，你要怎么确定这个角度的取值范围呢？2、互动环节同学们分组讨论这些问题的解法，互相分享自己的思路。每组派一个代表把小组的解题思路和答案写在黑板上，然后全班一起讨论。3、反馈与评价自我评估：如果能正确解答这些问题，并且解题思路清晰，就说明对正切函数性质的应用掌握得很好。教师评价：老师根据同学们的解答情况进行评价，对于解题正确、思路新颖的同学给予表扬，对于存在错误的同学进行详细的讲解和纠正。三、学习步骤（一）基础知识学习（30分钟）1、自己回顾正切函数在直角三角形中的定义，然后完成正切函数定义复习部分的任务。2、学习正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等性质，按照每个性质对应的任务要求进行学习，边学边思考相关的互动问题。（二）图象绘制（30分钟）1、根据正切函数的性质，先尝试自己画出正切函数\（y＝＼tanx\）在\（（＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}）＼）上的图象。2、然后逐步扩展到整个定义域内的图象绘制，注意渐近线的位置。（三）互动交流（30分钟）1、按照每个任务中的互动环节要求，和同学们进行分组讨论、互相交流。2、在交流过程中，认真听取其他同学的想法，积极分享自己的见解，并且互相检查任务完成的情况。（四）问题解决（30分钟）1、独立完成利用正切函数性质解题部分的习题。2、在解题过程中，如果遇到困难，可以回顾前面学习的性质和图象知识，也可以向同学或者老师请教。（五）总结与反馈（20分钟）1、自己总结正切函数的性质和图象的特点，回顾学习过程中的易错点。2、老师对同学们的学习情况进行整体评价，对同学们存在的共性问题进行集中讲解，对个别同学的特殊问题进行单独辅导。四、学习资源1、教材：高中人教A版必修4教材，教材上有正切函数的相关定义、性质推导和图象示例，可以随时翻阅查看。2、网络资源：可以在网上搜索正切函数的动画演示，比如在哔哩哔哩等视频网站上，有很多数学老师或者爱好者制作的正切函数性质和图象的动画，有助于更直观地理解。五、习题答案1、对于“已知\（y＝＼tanx\）在区间\（（a,b)＼）上单调递增，且\（＼tana=－1\），＼（＼tanb＝1\），求\（a\）和\（b\）的值（＼（a,b\in(＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}）＼））”。答案：＼（a＝＼frac{＼pi}｛4}＼），＼（b=＼frac{＼pi}｛4}＼）。因为\（y＝＼tanx\）在\（（＼frac{＼pi}｛2}，＼frac{＼pi}｛2}）＼）上单调递增，且\（＼tan(＼frac{＼pi}｛4}）＝－1\），＼（＼tan\frac{＼pi}｛4}＝1\）。2、对于“若\（y=＼tan(x＋＼varphi)＼）（＼（＼varphi\neq0\））是奇函数，求\（＼varphi\）的取值集合”。答案：因为\（y＝＼tanx\）是奇函数，＼（y=＼tan(x＋＼varphi)＼）是奇函数，则\（＼tan(x+＼varphi)＝＼tan(x＋＼varphi)＼），即\（＼tan(x+＼varphi)＋＼tan(x＋＼varphi)＝0\）。根据正切函数的和角公式\（＼tan(A＋B)＝＼frac{＼tanA+＼tanB}｛1＼tanA\tanB}＼），可得\（＼frac{＼tan(x)＋＼tan\varphi}｛1+＼tanx\tan\varphi}＋＼frac{＼tanx+＼tan\varphi}｛1-＼tan