2024-2025学年八年级数学下册第十六章二次根式16.3二次根式的加减精讲精练含解析新版新人教版

Page116.3二次根式的加减学问点解读学问点1：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。学问点2：二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。学问点3：二次根式的混合运算(1)明确运算的依次，即先乘方、开方，再乘除，最终算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.对点例题解析【例题1】（2024•常德）计算：92-【答案】32．【解析】原式=32＝32．【点拨】干脆化简二次根式进而合并得出答案．【例题2】（2024•山东省滨州市）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝．【答案】2+4．【解析】依据二次根式的混合计算解答即可．原式＝，故答案为：2+4．【例题3】计算【答案】见解析。【解析】设，则【例题4】（2024山东枣庄）视察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发觉的规律，计算：+++…+，其结果为．【答案】2024．【解析】依据题意找出规律，依据二次根式的性质计算即可．+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2024+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2024达标训练题一、选择题1．（2024•泰州）下列等式成立的是（）A．3+42=72 B．3×2=5 C．3【答案】D【解析】A．3与42不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B．3×C．3÷16D．(-【点拨】依据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一推断即可得．2.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b【答案】A．【解析】干脆利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用肯定值以及二次根式的性质化简得出答案．由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．3.计算eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))的结果是()A．－eq\r(3)B.eq\r(3)C．－eq\f(11,3)eq\r(3)D.eq\f(11,3)eq\r(3)【答案】B【解析】eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＝4eq\r(3)－3eq\r(3)＝eq\r(3)4．下列计算正确的是()A.eq\r(3)＋eq\r(2)＝eq\r(5)B.eq\r(3)×eq\r(2)＝6C.eq\r(12)－eq\r(3)＝eq\r(3)D.eq\r(8)÷eq\r(2)＝4【答案】C【解析】eq\r(12)－eq\r(3)＝2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3).5.下列计算正确的是（）A． ab•ab=2ab B． （2a）3=2a3C． 3﹣=3（a≥0） D． •=（a≥0，b≥0）【答案】D【解析】此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等学问，正确驾驭相关性质是解题关键．分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．A．ab•ab=a2b2，故此选项错误；B．（2a）3=8a3，故此选项错误；C．3﹣=2（a≥0），故此选项错误；D．•=（a≥0，b≥0），正确．6．下列运算正确的是（）A．﹣=B．=﹣3C．a•a2=a2D．（2a3）2=4a6【答案】D【解析】干脆利用二次根式加减运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、二次根式的性质分别化简推断即可．A．﹣无法计算，故此选项错误；B．=3，故此选项错误；C．a•a2=a3，故此选项错误；D．（2a3）2=4a6，正确．7．计算3﹣2的结果是（）A．B．2C．3D．6【答案】A【解析】干脆利用二次根式的加减运算法则求出答案．原式=（3﹣2）=．8．下列计算正确的是（）A．B．xy2÷C．2D．（xy3）2=x2y6【答案】D【解析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则化简推断即可．A．无法化简，故此选项错误；B．xy2÷=2xy3，故此选项错误；C．2+3，无法计算，故此选项错误；D．（xy3）2=x2y6，正确．9．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】干脆利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．A．=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B．=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C．=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D．==，与不是同类二次根式，故此选项错误。10.下列计算正确的是（）A． B． =2 C． （）﹣1= D． （﹣1）2=2【答案】B【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂．依据二次根式的加减法对A进行推断；依据二次根式的除法法则对B进行推断；依据负整数整数幂对B进行推断；依据完全平方公式对D进行推断．A.与不能合并，所以A选项错误；B.原式==2，所以B选项正确；C.原式==，所以C选项正确；D.原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D选项正确．11．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣【答案】C【解析】未知数的值已给出，利用代入法即可求出．把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．二、填空题12．（2024•衡阳）27-3【答案】23．【解析】原式＝33-3=【点拨】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．13.（2024贵州遵义）计算的结果是【答案】【解析】14.（2024•南京）计算﹣的结果是．【答案】0【解析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．原式＝2﹣2＝0．15.计算：﹣2等于．【答案】2．【解析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．原式=3﹣=2．16.（﹣）×=．【答案】8【解析】此题考查了二次根式的混合运算，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键．原式利用乘法安排律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．解答： 解：原式=﹣=9﹣1=817．计算：（+）2﹣=．【答案】5【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，驾驭运算依次，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．原式=2+2+3﹣2=5．18．实数a在数轴上的位置如图，化简+a=．【答案】1【解析】本题考查了实数的性质与化简，=a（a≥0）是解题关键．依据二次根式的性质，可化简二次根式，依据整式的加法，可得答案．+a=1﹣a+a=119．当a=﹣1时，代数式的值是．【答案】．【解析】依据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，∴====；解答题20．（2024•铜仁市）计算：2÷12-（﹣1）2024-4-【答案】见解析。【分析】原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；【解析】（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；21.推断下列各组根式是否是同类根式：【答案】见解析。【解析】几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以推断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。所以两个根式是同类根式。22.化简：【答案】见解析。【解析】，所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简洁。原式23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【答案】见解析。【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．先依据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．原式=3﹣1+2﹣1=1+2．24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发觉一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．擅长思索的小明进行了以下探究：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探究并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探究的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+2=（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【答案】（1）m2+3n2，2mn．（2）4、1．（3）13【解析】依据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；首先确定好m、n的正整数值，然后依据（1）的结论即可求出a、b的值；依据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．25.求值：【答案】见解析。【解析】快速、精确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必需驾驭，要特殊留意运算依次和有意识的运用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。26.当.【答案】3【解析】，将代入，原式=3.27．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．【答案】见解析。【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂。依据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．28.先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满意+|b﹣|=0．【答案】见解析。【解析】先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再依据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．原式=[﹣]•=（﹣）•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣29．已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．【答案】见解析。【解析】依据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．∵x=1﹣，y=1+，∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，xy=（1﹣）（1+）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）=7+4．30.计算：（-3）0—++．【答案】-2．【解析】视察，可以首先去肯定值以及二次根式化简，再合并同类项．（-3）0—++=1-3+-1+=-3++-=-2．31.用配方法化简【答案】见解析。【解析】原式32.计算【答案】见解析。【解析】因为所以原式注：逆用法则进行转换，再应用“互为相反数的两数和为零”的性质。33.已知，求的值。【答案】见解析。【解析】因为，所以它的倒数而则34．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他探讨了一列数，这列数特别奇异，被称为斐波那契数列（依据肯定依次排列着的一列数称为数列）．后来人们在探讨它的过程中，发觉了很多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花