2024-2025学年高考数学一轮复习专题1.1集合知识点讲解含解析

专题1.1集合【考纲解读与核心素养】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在详细情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能运用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.4.培育学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象实力.【学问清单】1.元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：若对随意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.特殊提示:1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).【典例剖析】高频考点一集合的基本概念例1.(2024课标II理2)已知集合，则中元素的个数为 （）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A方法二：依据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)探讨一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.(2)依据元素与集合的关系求参数时要留意检验集合中的元素是否满意互异性.(3)集合中的元素与方程有关时留意一次方程和一元二次方程的区分.【变式探究】(2024豫南九校联考一)已知集合，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D．【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满意什么限制条件．（3）依据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要留意检验集合是否满意元素的互异性高频考点二：集合间的基本关系例2.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合，则满意条件的集合的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以依据子集的定义，集合必需含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【方法技巧】(1)推断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可干脆利用数轴、图示法进行推断；当集合中含有参数时，须要对满意条件的参数进行分类探讨或采纳列举法．(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽视任何非空集合是它自身的子集．(3)依据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解．【变式探究】1.设集合，对随意实数x恒成立，且，则下列关系中成立的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】，或．∴．∴．∴．2.（2024·银川高级中学高三月考（理））已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，，故选B.高频考点三：集合的基本运算例3.（2024·北京高考真题（文））已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（）A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】∵，∴，故选C.例4．（2024·全国高考真题（理））已知集合，则=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，则．故选C．例5.（2024·山西省高三其他（理））已知集合，，则()A． B．C． D．【答案】A【解析】因为或，，所以，，，故选：A【规律方法】如何解集合运算问题(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从探讨集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再探讨其关系并进行运算，可使问题简洁明白、易于解决.(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合学问和相应数学学问来解决.【变式探究】1．（2024·福建省高三其他（文））设全集集合则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】故选：D.2.（2024·河南省高三月考（文））已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}【答案】D【解析】∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．3．（2024·浙江省高三二模）已知集合集合则（）A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D．【答案】B【解析】因为集合，集合，所以，故选：B高频考点四：利用集合的运算求参数例6.（2024·江苏省高考真题）已知集合，，若，则实数的值为________【答案】1【解析】由题意，明显，所以，此时，满意题意，故答案为1．例7.已知集合，，且，若，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，所以，又因为B≠，所以有QUOTE解得，故选D．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）留意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要留意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满意“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往简洁忽视空集的状况，肯定要先考虑时是否成立，以防漏解．【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要留意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用视察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【易错警示】在求出参数后，留意结果的验证(满意互异性)．【变式探究】（2024·上海高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】集合，，若，则、有公共元素，所以故答案为：高频考点五：集合的新定义问题例8.（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐性阅读，分析含义，精确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等学问将生疏的集合转化为我们熟识的集合，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发觉可以运用集合性质的一些因素，并合理利用.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、解除、对比、特值法等进行求解或解除错误选项，当不满意新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速推断结果的目的.【变式探究】1．（2024·新余市第六中学高一期中）设集合是非空集合，定义且，已知，，则=__________.【答案】或【解析】如图所示：，因为，所以.故答案为：.2.（辽宁阜新试验中学2024-2025年模拟）已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于随意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；②M＝{(x，y)|y＝log2x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是()A．①④ B．②③C．③④ D．②④【答案】C【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对随意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1，0)时，不存在B∈M满意题意．对于③④，对随意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sinx＋1的图象相交，即③④满意题意，故选C.3.若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，eq\f(1,x)∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B冲突．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对随意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，eq