北京市首都师大附中朝阳学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在下列四个亚运会图标中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．中，作边上的高，如图所示各图作法正确的是（）A． B．C． D．3．若三角形的两边长分别为7和9，则第三边的长不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．154．如图，，，，点在边上，则的度数为（）A． B． C． D．5．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（）A． B． C． D．6．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（）A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形7．如图，在中，平分，于点，的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（）A． B． C． D．8．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．9．一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为________．10．已知等腰三角形的两边长分别为2和8，则第三边长为________．11．如图，点是角平分线的交点，过点作分别与，相交于点，，若，，，则的周长为________．12．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点．请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是：________．（写出一个即可）13．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为________．14．如图，中，，于点，于点，于点，，则________．15．如图，，于，于，且，点从向运动，速度为，点从向运动，速度为，、两点同时出发，运动________秒后与全等．16．如图1纸片，将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则________．（用含的式子表示）三、解答题：本题共10小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题5分）已知，如图，在中，点为线段上一点，，过点作且，求证：．18．（本小题5分）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出关于直线的对称图形；（2）的面积为________．19．（本小题5分）如图，在中，是中线，，．（1）求与的周长差．（2）点在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．20．（本小题5分）如图，在边长为1的小正方形网格中，线段的端点均在格点上．（1）在图1中画出一个面积为6的等腰三角形（点在格点上）；（2）在图2中画出一个等腰直角三角形（点在格点上），并直接写出的面积．21．（本小题5分）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．（1）求的度数；（2）若，求的度数．22．（本小题5分）如图，，，，连结、，试着判断与的关系，并证明你的结论．23．（本小题5分）如图，在中，．（1），的角平分线相交于点，求的度数；（2），的三等分线分别相交于点，，求，的度数；（3），的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示），________（，为整数，结果用含和的式子表示）．24．（本小题5分）如图由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．（1）在网格中找一格点，使与全等，直接写出满足条件的所有点坐标________；（2）利用全等的知识，仅用不带刻度的直尺，在网格中作出的高，保留作图痕迹．25．（本小题6分）如图，在平面直角坐标系中，，，且．（1）如图1，为轴负半轴上一点，连，过点作，使，连．求证：；（2）如图2，若有一等腰，，连接，取中点，连、．试探究和的关系．26．（本小题6分）已知和都是等腰直角三角形，，连接，，点为中点．（1）如图1，求证：；（2）将绕点旋转到如图2所示的位置，连接，，过点作于点．①探究和的关系，并说明理由；②连接，求证：，，三点共线．答案和解析1．【答案】D【解析】解：，，无法找到一条直线，使得图形沿直线折叠后，能够完全重合，故不是轴对称图形；图形能够找到一条直线，使得图形沿直线折叠后，能够完全重合，是轴对称图形；故选：D．根据轴对称图形的定义，判断即可．本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．2．【答案】C【解析】解：由题意可知，C选项是作边上的高．故选：C．根据三角形的高的定义可得答案．本题考查作图-基本作图、三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解答本题的关键．3．【答案】A【解析】解：设第三边的长为，由题意得：，，故选：A．首先设第三边的长为，根据三角形的三边关系定理可得，然后再根据的取值范围确定答案．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．【答案】C【解析】解：，，，，，，，，故选：C．根据全等三角形的性质得出，进而解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出解答．5．【答案】A【解析】解：如图所示：则点关于直线对称的点的坐标为，故选：A．作出点关于直线对称的点即可求解．本题考查坐标与图形-对称，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．【答案】B【解析】解：由题意，这个正多边形可能是正十二边形，正八边形，正六边形，所以不可能是正十边形，故选：B．通过动手操作可得结论．本题考查剪纸问题，解题关键是理解题意，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型．7．【答案】D【解析】解：如图：平分，平分，，，设，，，由外角的性质得：，，，解得：，，，，．故选：D．由题意平分，平分，推出，，设，设，，想办法用含和的代数式表示和即可解决问题．本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8．【答案】B【解析】解：，，，，，，，故①符合题意；，如图，记，的交点为，，，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．，由全等三角形的对应高相等可得：，，，，，平分，故④符合题意；故选：B．先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记，的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④符合题意．本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．9．【答案】8【解析】解：多边形的外角的个数是，所以多边形的边数是8．故答案为：8．利用任何多边形的外角和是，用除以一个外角度数即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．10．【答案】8【解析】解：当2的边长为腰时，三角形的三边为2、2、8，，不满足三角形的三边关系；当8的边长为腰时，三角形的三边为2、8、8，满足三角形的三边关系，三角形的第三边长为8，故答案为：8．根据5和8为腰长分类讨论即可．本题主要考查的是等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．11．【答案】12【解析】解：平分，，，，，，同理，，的周长是，故答案为：12．根据角平分线性质和平行线的性质推出，推出，同理，代入三角形周长公式求出即可．本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能求出、是解此题的关键．12．【答案】（答案不唯一）【解析】解：，，垂足分别为、，，在中，，又，，在和中，，，，所以根据添加或；根据添加．可证．故填空答案：或或．根据垂直关系，可以判断与有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．13．【答案】2【解析】解：过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，，，为上一动点，当点与点重合时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案．本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．14．【答案】6【解析】解：在与中，，，，，，，．故答案为6．先利用证明，得出，又，将代入即可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，利用面积公式得出是解题的关键．15．【答案】4【解析】解：当时，，则，的运动时间是：（秒），的运动时间是：（秒），则当秒时，两个三角形全等；当时，，，则运动的时间是：（秒），运动的时间是：（秒），故不能成立．综上所述，运动4秒后，与全等．故答案为：4．分当时和当时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得和运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键利用全等三角形的对应边相等．16．【答案】【解析】解：，，，，，由折叠性质得，，．故答案为：．先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可．本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题．17．【答案】证明：，，在和中，，，．【解析】证出，证明，由全等三角形的性质可得出结论．此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．18．【答案】解：（1）如图，关于直线的对称图形即为所求；（2）7．【解析】解：（1）见答案；（2）的面积．故答案为：7．（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（2）把三角形的没见面看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．19．【答案】解：（1）的周长，的周长，是中线，，与的周长差：；（2）由图可知：的周长，四边形的周长，又的周长与四边形的周长相等，是的中点，，，，又，，，，，．【解析】（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；（2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得．本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．20．【答案】解：（1）如图1，等腰三角形即为所求．（2）如图2，等腰直角三角形即为所求．由勾股定理得，，的面积为．【解析】（1）以为腰，画出底是6，高是2的等腰三角形即可．（2）取格点，使，且即可；利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式计算的面积即可．本题考查作图-应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．21．【答案】解：（1）、是、的角平分线，，在中，，，；（2）在中，是高，，，，，是的角平分线，，，．【解析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；（2）根据三角形内角和定理求得，，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解．本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．22．【答案】解：，；，，，在与中，，；延长交于，交于，则，，，，．【解析】证明得到，延长交于，交于，则，根据全等三角形的性质得到，即可证得．此题考查了全等三角形的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）、的平分线交于点，，，，，，，；（2），的三等分线分别相交于点，，，，，，，，，，，，，；（3），的等分线分别相交于点，，，，，，，；同理，．（1）首先根据、的平分线交于点与的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数；（2）首先根据、的三等分线分线交于点，可得，，，，又由的内角和为，可得结论；（3）根据，的等分线分别相交于点，得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．24．【答案】或【解析】解：（1）如图，点和均满足题意，则满足条件的所有点坐标为或．故答案为：或．（2）如图，即为所求．（1）利用全等三角形的判定与性质确定点的位置，即可得出答案．（2）借助网格，结合三角形的高的定义画图即可．本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的高的定义是解答本题的关键．25．【答案】（1）证明：，，，．如图1中，作于．，，，，，，，，．，，，，是等腰直角三角形，．（2）解：结论：，．理由：延长到，使得，连接，，，延长交于．在和中，，，，，，，在四边形中，，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，，．【解析】（1）利用非负数的性质即可解决问题，如图1中，作于．证明，推出．，再证明是等腰直角三角形即可解决问题．（2）延长到，使得，连接，，，延长交于．利用全等三角形的性质证明是等腰直角三角形即可．考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．26．【答案】（1）证明：和都是等腰直角三角形，，