2023年高三解答题导数7大常考题型总结（原卷版）

2023年高三解答题导数7大常考题型总结【题型目录】题型一：导数中证明不等式问题题型二：导数中的隐零点问题题型三：导数中的零点问题题型四：导数中的同构问题题型五：导数中的极值点偏移问题题型六：导数中的双变量问题【题型总结】题型一：导数中证明不等式问题【例1】已知函数.(1)当时，证明：；(2)讨论的单调性.【例2】已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：．【例3】已知函数.(1)求该函数在点处的切线方程；(2)证明：当时，.【例4】已知函数有两个不同的零点x1，x2.(1)当时，求证：；(2)求实数a的取值范围；【例5】已知函数（）.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.【题型专练】1．已知函数．(1)若在上恒成立，求实数a的值；(2)证明：当时，．2．已知函数，．(1)判断函数的单调性；(2)证明：．3．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，．4．已知函数.(1)判断0是否为的极小值点，并说明理由；(2)证明：.5．设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．6．设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.题型二：导数中的隐零点问题【例1】已知函数（）．(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；(2)证明：当时，．【例2】已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：．【例3】已知函数.(1)若，求在上的最大值与最小值之差；(2)若，证明：【例4】已知函数．(1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值；(2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：．【例5】设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；(2)求的单调区间；(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.【题型专练】1.已知函数.(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.2.已知函数，．(1)判断函数的单调性；(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．3.已知函数(为自然对数的底数，)．(1)求的单调区间和极值；(2)设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.4.已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率为．(1)求实数的值;(2)若，且存在使成立，求的最小值．5.已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.6.已知函数满足对任意的恒成立，其中e为自然对数的底数.（1）求a的值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.题型三：导数中的零点问题【例1】已知函数．(1)若函数存在零点，求实数m的取值范围．(2)求证：当时，．【例2】已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.【例3】已知函数．(1)求函数的极值；(2)若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．【例4】已知函数．(1)证明：当时，为增函数；(2)若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，．【例5】设函数，其中．函数是函数的导函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；(3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．【例6】已知函数，．(1)当时，证明：；(2)当时，判断零点的个数并说明理由．【题型专练】1．已知函数，．(1)若直线与曲线相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．2．已知函数.(1)讨论的最值；(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.3．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．4．已知，．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．5．已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．6．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.7．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．8．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.9．已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.题型四：导数中的同构问题【例1】已知函数(1)若是的一个极值点，求的最小值；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【例2】已知函数．(1)讨论f(x)的单调性．(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．【例3】已知函数，其中，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．【题型专练】1．已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若，，且满足，求证：.2．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．3.已知函数.（1）求的单调区间与极值.（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.题型五：导数中的极值点偏移问题【例1】设函数（）.(1)求函数的单调区间；(2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.【例2】已知函数（a为实数）．(1)求函数的单调区间；(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证．(3)若有两个零点，，证明：．【例3】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设函数，若有两个极值点，证明：．【例4】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，证明：.【例5】已知函数，的导函数为.(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.【题型专练】1．已知函数，．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．2．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若是的两个不相等的零点，证明：.3．已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．(1)已知函数，，求实数取值的集合；(2)已知函数有两个不同极值点、．①求实数的取值范围；②证明：．4.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．题型六：导数中的双变量问题【例1】已知函数有两个极值点、.(1)求的取值范围；(2)若时，不等式恒成立，求的最小值.【例2】已知函数（）.(1)讨论函数的单调性；(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.【例3】已知函数（是自然对数的底数）(1)求在处的切线方程.(2)存在成立，求a的取值范围.(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.【例4】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.【题型专练】1.已知函数．(1)若，求方程的解；(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．2．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在定义域内有两个极值点，求证：.3．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数，且，，，求的取值范围．题型七：导数与数列不等式问题【例1】已知函数，，．令，．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．【例2】已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立．(1)求a，b的值；(2)求实数k的最小值；(3)证明：．【例3】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围；(3)设，，证明：．【例4】已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)设表示不超过x的最大整数，证明：，．【例5】已知函数，．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；(3)设时，证明：．【题型专练】1．已知，且0为的一个极值点．(1)求实数的值；(2)